包立平，王　攀

(杭州電子科技大學大學理學院，浙江 杭州 310018)

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完全競爭市場中易逝品廣告投入的奇攝動解

包立平，王攀

(杭州電子科技大學大學理學院，浙江 杭州 310018)

摘要：在完全競爭市場中，價格服從隨機微分方程的情況下，研究了易逝品的最優(yōu)訂貨量與廣告投入，應用Feynman-Kac公式得到最優(yōu)訂貨量與廣告投入的微分方程，采用奇攝動漸近展開的方法得到了上述微分方程的形式漸近解，并得到形式漸近解的一致有效估計.

關鍵詞：完全競爭市場；易逝品；訂貨量；廣告投入；奇攝動

0引言

在非完全競爭市場中，不確定環(huán)境下零售商的最優(yōu)訂貨量和廣告投入問題已得到廣泛的關注.文獻[1]在易逝品最優(yōu)定價、訂貨量和廣告投入的聯(lián)合確定中建立了關于價格、訂貨量和廣告投入的數學模型，并以廣告投入和價格為決策變量，求出了最優(yōu)廣告投入和價格.文獻[2]在單周期庫存模型中加入廣告投入這一因素，假定需求是廣告的增凹函數，研究了最優(yōu)廣告投入和訂貨量.文獻[3]在Newsboy問題中考慮廣告對需求的影響，建立了廣告投入策略與訂貨量策略聯(lián)合確定的隨機模型，證明了不確定環(huán)境下的最優(yōu)廣告投入應小于確定環(huán)境下的最優(yōu)廣告投入.文獻[4]應用微分對策理論構建了動態(tài)廣告模型，并用動態(tài)規(guī)劃原理和最優(yōu)控制理論研究了制造商和零售商的合作廣告策略問題.但上述研究均考慮非完全競爭市場中訂貨量和廣告投入的確定，僅建立了關于簡單隨機變量的數學模型.文獻[5]根據廣告投入和銷售量的關系建立了數學模型，并設計了一種廣告投入策略并對模型進行求解，但對此模型的研究僅能為短時期內廣告投入對銷售的影響提供依據.本文主要研究的是完全競爭市場中單個零售商的決策問題.首先，建立關于訂貨量和廣告投入的模型，應用Feynman-Kac公式得到了關于平均最優(yōu)訂貨量和廣告投入的數學表達式；然后，采用奇攝動漸近展開的方法得到了其形式漸近展開式；最后，應用De Giorgi 迭代技術證明了形式漸近展開式的一致有效性.

1模型建立

設易逝品的價格P(t)滿足如下的隨機微分方程：

(1)

其中，r為期望回報率，σ為風險因子，ω為標準的Brown運動，ε>0為小參數.

假設有如下條件：

1)隨機需求下市場需求函數采用混合函數D(P,A)=d1(P)+d2(A).其中，d1(P)為非增函數，d2(A)為非減函數，A為廣告投入；

首先求最優(yōu)廣告投入和訂貨量.令Π(Q,P,A)是價格為P，廣告投入為A和訂貨量為Q時的利潤，那么有：

(2)

其中，C為單位成本，S為單位缺貨成本，R為易逝品期末的殘值.

(3)

下面討論平均最優(yōu)廣告投入與訂貨量.

設u(P,t)=EP,tA(P(T))，則由式(1)及Feynman-Kac公式得：

(4)

設v(P,t)=EP,tQ(P(T))，則由式(1)及Feynman-Kac公式得：

(5)

對式(4)作對數變換，即令x=lnP，則式(4)變?yōu)?/p>

(6)

同理，式(5)變?yōu)?/p>

(7)

2形式漸近展開

對u(x,t)作如下的形式漸近展開：

u(x,t)=u0(x,t)+εu1(x,t)+ε2u2(x,t)+…+εnun(x,t)+…,

(8)

(9)

定理1假設滿足條件1和條件2，則有

u0(x,t)=A(ex+r(t-T)),

(10)

(11)

證明由一階線性偏微分方程的解法，式(10)可從下式解得：

(12)

令y=x-rT，則u0(x,T)=Φ(y)=Φ(x-rT)=A(ex)=A(ey+rT)，故u0(x,t)=A(ey+rt)=A(ex+r(t-T)).

同理，由一階擬線性偏微分方程的解法，式(11)可從下式解得：

(13)

由一階擬線性偏微分方程的通解結構可得式(11)中第1式.

定理1得證.

同理，若設

v(x,t)=v0(x,t)+εv1(x,t)+ε2v2(x,t)+…+εnvn(x,t)+…,

(14)

將式(14)代入式(7)，則有以下定理.

定理2假設滿足條件1和條件2，則

v0(x,t)=Q(ex+r(t-T)),

(15)

(16)

3一致有效估計

定理3當滿足條件1和條件2時，記

(17)

證明將式(17)代入式(6)中第1式得：

(18)

在式(18)兩端同乘以ψχ[τ1,τ2]并在Ω上積分整理可得：

令Ik=∫Ωψ2dx，則有

4算例

下面求此時的u0(x,t),v0(x,t).

5結束語

本文建立了完全競爭市場中易逝品的廣告模型，運用Feynman-Kac公式得到了關于易逝品的平均最優(yōu)廣告投入與平均最優(yōu)訂貨量的數學表達式，采用奇攝動漸近展開的方法得到了其形式漸近展開式.根據線性拋物型方程的極大值原理和奇攝動漸近展開的余項估計方法，應用DeGiorgi迭代技術得到了上述形式漸近解的一致有效性，從而得到了完全競爭市場中易逝品的最優(yōu)廣告投入與訂貨量的求解方法.并通過一個算例驗證了上述方法的可行性，這表明應用Feynman-Kac公式建立平均最優(yōu)廣告投入與平均最優(yōu)訂貨量的模型，并使用奇攝動漸近展開方法進行求解是有效的，從而對于確定廣告投入與進行銷售管理有一定的指導意義.

參考文獻

[1]熊中楷,彭志強.易逝品最優(yōu)定價、訂貨量和廣告投入的聯(lián)合確定[J].工業(yè)工程與管理,2009,14(2)：32-37.

[2]KHOUJAMJ.Optimalordering,discounting,andpricinginthesingle-periodproblem[J].InternationalJournalofProductionEconomics, 2000, 65(2): 201-216.

[3]周永務,楊善林.Newsboy型商品最優(yōu)廣告費用與訂貨策略的聯(lián)合確定[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2002,22(11)：59-63.

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[5]周靜，楊繼明,尹家兵.不確定環(huán)境下影響銷售的廣告投入數學模型研究[J].湖南工程學院學報(自然科學版),2013,23(3)：51-53.

[6]包立平.高維歐式期權定價模型的奇攝動解[J].應用數學與計算數學學報,2011,25(2)：194-204.

Singular Perturbation Solutions of Advertising Investment for Perishable Goods in the Perfectly Competitive Market

BAO Liping, WANG Pan

(SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

Abstract：In perfectly competitive market, in the case of price subject to stochastic differential equations, the optimal order quantity and advertising investment of the perishable goods(PG) is researched, applying Feynman-Kac formula to get the optimal order quantity and advertising investment differential equations, using the singular perturbation asymptotic expansion method to get the formal asymptotic solution of differential equations, and obtain the uniformly valid estimation.

Key words：fully competitive market; perishable goods; order quantity; advertising investment; singular perturbation

DOI：10.13954/j.cnki.hdu.2016.04.016

收稿日期：2015-11-09

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51175134)

作者簡介：包立平(1962-)，男，浙江定海人，副教授，微分方程奇攝動理論.

中圖分類號：O175.2

文獻標識碼：A

文章編號：1001-9146(2016)04-0076-04