王利華

（西華師范大學商學院,四川南充637002）

CVaR準則下基于損失厭惡的零售商訂貨決策問題

王利華

（西華師范大學商學院,四川南充637002）

目前，多數(shù)學者在研究報童的利潤最大化問題時，他們通常忽略了報童的風險偏好問題，或者是認為報童對于風險的偏好是中性的。然而，一些研究指出實踐中的管理者在做訂貨決策時，其簽訂的訂單會偏離于使利潤最大化的最優(yōu)訂貨量。一些學者通過引入行為偏好來解釋這種決策偏見。文章在觀察實際情形的基礎(chǔ)下，引入報童的風險偏好和損失偏好。尋求的最優(yōu)訂貨量需要滿足兩個目標：（1）零售商的剩余產(chǎn)品損失和缺貨的機會成本之和最小；（2）零售商預期損失的條件風險最小。在一個給定的置信水平下，找到一個滿足上述兩個目標的最優(yōu)訂貨量，幫助零售商優(yōu)化訂貨決策。

報童模型；損失厭惡；風險厭惡；CVaR

0　引言

在供應鏈管理中，人們研究報童問題通常是研究一次性的業(yè)務決策，是指報童在面臨不確定的市場需求下向供應商做出的訂貨決策。標準的報童問題已經(jīng)得到廣泛的研究，但是報童模型作為一個簡單化的通用模型仍然在許多領(lǐng)域適用，并逐漸的擴展到更復雜的模型。本文中的報童模型是由一個供應商和一個零售商組成的一級供應鏈。

在傳統(tǒng)的報童模型中，報童是風險中性的，報童通過預測市場需求，決策出一周期內(nèi)的最優(yōu)訂貨量，使自己的利潤最大化。然而市場需求是不確定的，如果最優(yōu)訂貨量高于實際的市場需求，那么報童就面臨著遺留損失，即有多余的產(chǎn)品銷售不出去。相反，如果最優(yōu)訂貨量小于實際的市場需求，那么報童就會有缺貨的損失，我們一般稱之為缺貨懲罰。因此，報童作出的訂貨決策要盡可能的與實際需求保持一致，避免以上的兩種損失，使自己的預期收益最大化。

然而，最近的一些研究表明，零售商在實際決策中作出的訂貨量并不總是與預期的最優(yōu)訂貨量保持一致，即偏離于利潤最大化下的訂貨量。一些學者做過類似的實驗，對于高利潤和低利潤的產(chǎn)品，零售商為使自己的收益最大化，出售低利潤產(chǎn)品的零售商往往會作出高于最優(yōu)訂貨量的訂貨決策，而出售高利潤產(chǎn)品的零售商一般會作出低于最優(yōu)訂貨量的訂貨決策。這種現(xiàn)象在報童模型中被成為決策偏見，于是許多學者便尋求可以解釋這種決策偏見的原因，并得到了一些有趣的結(jié)論。

顯而易見，在不確定的市場需求下，零售商面臨著來自市場內(nèi)部和外部的風險。例如，由于經(jīng)濟危機導致消費者需求的急劇下降，或者是供應產(chǎn)品成本的突然上升，都會使報童面臨著重大的損失風險。于是，學者們觀察到報童一個很明顯的心理特征，相對于利潤最大化的目標，報童對使自己的損失最小化更加敏感。事實上，報童偏離于最優(yōu)訂貨量的訂貨決策，正是由于其更加關(guān)注損失的規(guī)避。查爾斯和韋伯斯特（2009）將損失厭惡引入報童模型的問題中，表明如果對缺貨的懲罰是持續(xù)存在的，一個風險厭惡的報童將比風險中性的報童訂貨更多或更少，這剛好證明了在報童模型中決策偏見的存在。Shapira在1986年對50個美國的高層管理者作過采訪，MacCrimmon和Wehrung在1996年對509個美國和加拿大的高層管理者進行問卷調(diào)查，分別得出了報童模型中的決策偏見是與損失厭惡密切相關(guān)的。在目前的文獻中，已開始有部分的學者將認知心理學的偏好理論引入報童模型中，并取得了很好的效果。對于關(guān)注報童模型的損失厭惡問題相對較少，本文正是想通過損失厭惡這一視角，來研究報童模型的擴展型問題。

區(qū)別于傳統(tǒng)報童模型中追求利潤最大化的動機，本文中的報童由于個人的有限理性和心理偏好，更多的是關(guān)注損失最小化。在隨機的市場需求下，報童對損失的厭惡，會做出使預期損失最小化的最優(yōu)訂貨量。報童的預期包括剩余產(chǎn)品損失和缺貨的機會成本，剩余產(chǎn)品的損失與回購價格相關(guān)，缺貨的機會成本與批發(fā)價格和零售價相關(guān)，同時這兩者直接受市場需求變化的影響。由于需求的隨機性，零售商在預期損失最小化下做出的最優(yōu)訂貨量有可能使自己的實際損失更大。

在考慮零售商的損失厭惡時，由于其實際損失與市場需求是息息相關(guān)的，所以不能忽視零售商面臨的市場風險。在本文中，我們假定零售商的風險偏好時風險厭惡的，實際情況下大多數(shù)都是如此。CVaR是一種常用的風險度量工具，因此我們用CVaR來研究零售商面臨損失的風險值。給定一個置信水平α，可以得到一個使預期損失風險值最小的最優(yōu)訂貨量。

綜上所述，在預期損失最小化和預期損失風險值最小化的條件下分別可以得到一個最優(yōu)訂貨量。但是，只有將兩者結(jié)合起來，才能得到一個更優(yōu)的訂貨量。本文引入一個損失厭惡系數(shù)λ，表示零售商對預期損失的重視程度，相當于分配給預期損失的權(quán)重系數(shù)，1-λ則表示零售商分配給預期損失條件風險值的權(quán)重系數(shù)。通過損失厭惡系數(shù)調(diào)整后的預期損失可表示為：

在不同的損失厭惡系數(shù)下，說明零售商對預期損失不同的重視程度，并可得到一個最優(yōu)的訂貨量。通過λ的調(diào)整，可以更好的參照零售商的心理偏好，幫忙零售商做出更優(yōu)化的訂貨決策。

1　模型假設

本文研究的報童問題是單一的供應商和單一的零售商在單一周期里的訂貨決策問題。在傳統(tǒng)報童問題中，一般是不考慮缺貨懲罰的，因此零售商關(guān)于損失厭惡的心理容易被忽視。市場需求是隨機的，零售商基于市場需求的預測向供應商訂貨，供應商做出回應與零售商簽訂合同。

1.1研究假設

在零售商和供應商的訂貨契約中，零售商擁有主動權(quán)。本文更是從零售商的心理偏好出發(fā)，以零售商的個體利益為度量標準，對零售商的訂貨量進行優(yōu)化決策。為剔除相關(guān)因素的干擾，直接研究零售商在損失厭惡和風險厭惡心理下的決策行為，本文作出如下四點假設。

假設1：市場需求是不確定的，為一隨機變量，且其密度函數(shù)和分布函數(shù)均存在。

假設2：供應商的生產(chǎn)能力是充足的，零售商根據(jù)需求預測與供應商簽訂訂單，供應商能夠滿足所有的訂貨量。即在考慮零售商的風險來源時，不用考慮供應商供貨不足的問題，零售商唯一需要考慮的風險是來自市場的需求變動。

假設3：供應商的批發(fā)價不隨訂貨量的變動而變動，零售商的零售價格也不受市場需求量的影響，假設供應商的批發(fā)價和零售商的零售價均為常量。

假設4：零售商不僅關(guān)注市場風險，更關(guān)注回購多余產(chǎn)品和缺貨懲罰下的機會成本，在平衡二者之間制定最優(yōu)訂貨量。

1.2建立模型

本文研究的報童問題可以描述為：在一個單周期的銷售季度內(nèi)，一個零售商以批發(fā)價c從供應商處訂購所銷售的產(chǎn)品,然后以單位零售價r銷售給顧客，零售商對于風險是態(tài)度是厭惡的，同時零售商的目標是追求預期損失的最小化。假設實際的市場需求x為隨機變量，零售商賣剩的產(chǎn)品可以以回收價格s回購,且當零售商缺貨時會面臨缺貨懲罰，單位產(chǎn)品的機會成本為p。

本文需要用到的符號為：

x—零售商面臨的市場需求，為隨機變量，其密度函數(shù)和累積分布函數(shù)分布為f(·)和F(·);

q—零售商的訂貨量；

r—產(chǎn)品的零售價格；

w—供應商的批發(fā)價格；

s—剩余存貨的回購價格；

p—缺貨懲罰的機會成本；

P(q)—零售商的銷售利潤；

L(q)—零售商的銷售損失；

α—條件風險的置信水平；

λ—損失厭惡系數(shù)，λ和1-λ分別是分配給預期損失和條件風險值的權(quán)重；

E(l)—零售商調(diào)整損失系數(shù)后的銷售損失。

零售商做出訂貨決策，在訂單q下的銷售利潤為：

在訂單q下的預期損失為：

（1）和（2）均為零售商在風險中性下的銷售利潤和預期損失，而本文要考慮零售商的風險偏好，引入CVaR條件風險值，調(diào)整后的最小化預期損失為：

2　模型分析

在單一供應商和單一零售商組成的報童模型中，市場需求是一個隨機變量，其密度函數(shù)和累積分布函數(shù)分布為f(·)和F(·)。在本文中，可以設定r≥w≥s，且F(0)=0，F(xiàn)(+∞)=1。F(·)是單調(diào)遞增函數(shù)，其反函數(shù)是存在的。聰明的零售商會對顧客市場進行準確預測，并盡可能滿足市場需求以獲得最大化的利潤。整個銷售市場中只有一個零售商，不存在零售商之間的相互競爭行為，同時供應商的批發(fā)價和零售商的零售價都是固定不變的。零售商最大的動機是追求預期損失的最小化，其實際損失可表示為：

2.1損失厭惡下的最優(yōu)訂貨量

在隨機的市場需求下，零售商是不能準確計算出自己的實際收益或?qū)嶋H損失，所以零售商是基于需求預測和自己的心理偏好做出的訂貨決策。在存在剩余品回購和缺貨懲罰的情況下，零售商使預期損失最小化的訂貨量需滿足的條件為：

定理1因此，根據(jù)（2）和（4）可得到最優(yōu)的訂貨量為

定理1表示為使零售商預期損失最小化的訂貨量，并且表明零售商的預期損失和缺貨的機會成本p、批發(fā)價格w及回購價格s是相關(guān)聯(lián)的。在本文中，我們可以假定缺貨的機會成本p=r-w。那么最優(yōu)訂貨量還可以表示為：

推論1由（5）可知，對于p≥0，s≥0，w≥0，最優(yōu)訂貨量q*0隨著缺貨成本p和回購價格s單調(diào)遞增，隨著批發(fā)價格w單調(diào)遞減。

通過推論1，最優(yōu)訂貨量q*0隨著缺貨成本p和回購價格s單調(diào)遞增，隨著批發(fā)價格w單調(diào)遞減。在實際的訂貨決策中，當缺貨的機會成本較大的，零售商會更加傾向通過增加訂貨量來避免缺貨懲罰。同時，如果零售商剩余產(chǎn)品的回購價格較高時，零售商的剩余產(chǎn)品損失就會降低，零售商就會增加訂貨量，在滿足市場需求上更有保障。顯而易見，如果批發(fā)價格較高，那么利潤空間就會變小，零售商的剩余產(chǎn)品損失變大，所以零售商會降低訂貨量。

在上面，我們獲得了使預期損失最小的最優(yōu)訂貨量。然而，僅僅考慮零售商的損失厭惡偏好是不夠的，零售商的預期損失不僅與缺貨的機會成本p、批發(fā)價格w及回購價格s相關(guān)，也和市場需求相關(guān)。因此零售商在損失厭惡下做出的訂貨決策也是存在風險的，我們在接下里的研究模型中考慮零售商的風險厭惡偏好，幫助零售商做出更優(yōu)的訂貨決策。

2.2風險厭惡下的最優(yōu)訂貨量

由于市場需求的不確定，零售商在損失厭惡下做出的最優(yōu)訂貨量有可能造成更大的損失，為了降低這種風險，零售商有必要調(diào)整自己的訂貨決策。在不同的市場環(huán)境下，零售商所面臨的風險是不同的，這里只考慮零售商面臨需求變化的風險。在不確定的報童模型中，CVaR是度量風險的一種有效工具。本文中，我們采用CVaR理論來控制零售商所面臨的潛在風險，分析在α置信水平下風險最低的最優(yōu)訂貨量。對于一個給定的置信水平α下，有關(guān)預期損失L(q)的風險值α-VaR為：

同時，在置信水平α下，對于零售商預期損失的條件風險值α-CVaR為：

對比（7）和（8)，CVaR度量方法更加關(guān)注于預期損失的最小化。在置信水平α下，使用CVaR度量方法可以保障零售商在更大的可能下獲得使預期損失最小的訂貨量。因此，接下來需要分析使CVaRα[L(q)]最小的訂貨量，即:

定理2零售商在風險厭惡偏好下的最優(yōu)訂貨量為：

不難發(fā)現(xiàn)，推論2、推論3與推論1的結(jié)論是一致的。即當缺貨的機會成本p和回購價格s增加時，零售商由于對風險的厭惡，會增加訂貨量。

2.3平衡預期損失和預期損失CVaR下的最優(yōu)訂貨量

CVaR是很好的風險度量工具，然而使用CVaR仍然有些限制。相比于VaR，CVaR更加關(guān)注零售商所承受的風險，而忽略了零售商本身損失的大小。Gotoh和Takana在2007年在研究引入CVaR的擴展報童模型，通過平衡預期受益和條件風險值做出訂貨決策。由于本文中研究的零售商關(guān)注預期損失甚于預期受益，所以我們試圖將預期收益和CVaR結(jié)合起來，通過平衡預期損失和條件風險值。為實現(xiàn)這一目標，我們假定

其中，λ∈(0，1)表示零售商對于損失厭惡的權(quán)重，即相比于預期損失的條件風險值CVaR，零售商認為對損失的規(guī)避更加重要。在算式（12）中，λ越大，表明零售商對損失更加關(guān)注。算式（12）很好的將零售商的損失厭惡和風險厭惡都考慮進來，接下來可得出在此模型下零售商的最優(yōu)訂貨量。

定理3對于損失厭惡和風險厭惡的零售商，如果滿足

事實上，定理1和定理2都可以看作是定理3的特殊情況，即當λ=1和λ=0時。

零售商在平衡預期損失和預期損失的條件風險值時，最優(yōu)訂貨量均隨著缺貨成本p和回購價格s單調(diào)遞增。定理3的這兩個推論與定理1和定理2相似，但是對于α∈(0，1)和λ∈(0，1)，最優(yōu)訂貨量的變動情況未知。

2.4數(shù)值分析

在上述的模型分析中，我們得到了一些定理和推論。于是，我們給出數(shù)值驗證零售商在損失厭惡和風險厭惡下的最優(yōu)訂貨量。我們假定市場需求x符合指數(shù)分布e(0.02)，令w=5，p=3，s=1，然后我們計算在給定不同的置信水平α和損失厭惡系數(shù)λ下，零售商的最優(yōu)訂貨量。得出的數(shù)值，如下表中所示。

q*2 α λ 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.0 27.98 27.98 27.98 27.98 27.98 27.98 27.98 27.98 27.98 27.98 27.98 0.1 28.17 28.15 28.14 28.12 28.10 28.08 28.06 28.04 28.02 28.00 27.98 0.2 28.77 28.70 28.64 28.56 28.49 28.41 28.33 28.25 28.17 28.07 27.98 0.3 29.83 29.69 29.54 29.38 29.22 29.04 28.85 28.66 28.45 28.22 27.98 0.4 31.43 31.19 30.94 30.66 30.37 30.05 29.71 29.33 28.92 28.47 27.98 0.5 33.74 33.38 32.98 32.56 32.09 31.58 31.02 30.39 29.68 28.89 27.98 0.6 37.00 36.49 35.94 35.32 34.64 33.68 33.01 32.03 30.89 29.57 27.98 0.7 41.72 41.04 40.28 39.43 38.48 37.38 36.13 34.65 32.89 30.73 27.98 0.8 49.04 48.13 47.12 45.97 44.66 43.14 41.35 39.18 36.48 32.33 27.98 0.9 62.58 61.36 59.99 58.43 56.62 54.50 51.94 47.37 38.36 32.33 27.98

在表中，當α=0，即只考慮零售商的損失厭惡偏好時，有唯一的最優(yōu)訂貨量=27.98。當λ=0時，在不同的置信水平下，零售商的最優(yōu)訂貨量不同。可以看出，最優(yōu)訂貨量隨著置信水平α單調(diào)遞增，隨著損失厭惡系數(shù)λ單調(diào)遞減。

3　結(jié)論

傳統(tǒng)的報童模型中，研究對象主要是風險中性下的報童，一般是滿足利潤最大化下做出的最優(yōu)訂貨量。然而，實際中的訂貨決策中，零售商的訂貨量往往會偏離于預期利潤最大化下的最優(yōu)訂貨量，學者一般稱為決策偏見。目前，大多數(shù)有關(guān)報童問題的研究對象，都已經(jīng)從簡單的經(jīng)典報童模型擴展為稍復雜的報童模型，以更加貼近實際的市場情況。在大量的文獻中，學者們引入了行為學和認知心理學來解釋零售商的決策偏見，從公平偏好、風險厭惡、損失厭惡、前景理論、錨定理論以及有限理性等行為因素研究對報童模型中運作決策從產(chǎn)生的影響。本文的創(chuàng)新點在于，通過引入CVaR，考慮了零售商的損失厭惡和風險厭惡兩種心理偏好，來解釋零售商在訂貨時產(chǎn)生的決策偏見問題。

本文假定的報童模型中，剩余產(chǎn)品損失和缺貨懲罰是與市場需求相關(guān)的，即在隨機的市場需求下，零售商會面臨著需求風險。所以在文中，我們通過CVaR準則來度量零售商面臨的損失風險。在本文的模型建立中，分別計算出了在預期損失最小化和損失的條件風險值最小化的最優(yōu)訂貨量，且表明在一定條件下最優(yōu)訂貨量隨著回購價格和缺貨的機會成本單調(diào)遞增。最后，我們引入損失厭惡系數(shù)λ平衡了預期損失和CVaR，得到調(diào)整后的最優(yōu)訂貨量。調(diào)整后的最優(yōu)訂貨量不僅與批發(fā)價格和銷售價有關(guān)，也和損失厭惡系數(shù)相關(guān)，通過調(diào)整損失厭惡系數(shù)，可以得到不同的最優(yōu)訂貨量。

本文的結(jié)果是有參考價值的，在考慮了損失厭惡系數(shù)之后，可以更好的模擬零售商的心理偏好。同實際情況相參照，如果損失厭惡系數(shù)較大，那么該零售商具有更大的損失偏好，應該對實際的損失更加重視。那么該零售商在制定決策時，會使自己的實際損失在更大的可能性上最小。如果損失厭惡系數(shù)較小，那么該零售商具有更大的風險偏好，應該更多關(guān)注市場帶來的損失風險，使自己面臨的風險最低。在現(xiàn)實的供應鏈管理中，會有更多的因素影響報童的訂貨決策，本文為管理者在制定訂貨決策時，提供一個良好的決策參照模型。

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（責任編輯/易永生）

F724

A

1002-6487（2016）19-0045-04

國家社會科學基金一般項目（13BJL010）

王利華（1981—），女,四川江油人，博士，講師，研究方向：電子商務、企業(yè)管理。