溫 馨，郭永江

(北京郵電大學理學院，北京 100876)

帶有庫存限制與需求更新的供應鏈訂貨策略研究

溫 馨，郭永江

(北京郵電大學理學院，北京 100876)

針對季節(jié)性產(chǎn)品的銷售，研究了帶有庫存限制與需求更新的供應鏈的訂貨策略問題。該問題中供應鏈由一個供應商與一個零售商構(gòu)成，假設(shè)零售商有兩次訂貨機會，分別發(fā)生在得到需求信號前后，且第一次訂貨受到了零售商庫存的限制。對于該問題，首先利用導數(shù)的性質(zhì)和逆推的方法，通過參數(shù)指標設(shè)置求解出無庫存限制時的最優(yōu)訂貨策略，再利用凹函數(shù)的性質(zhì)得到在不同情況下有庫存限制時的最優(yōu)訂貨策略，使得供應鏈能夠協(xié)調(diào)。最后通過算例驗證了結(jié)果的正確性，并對最優(yōu)的訂貨策略作了進一步解釋。

庫存限制；需求信號；供應鏈；回購合同

隨著經(jīng)濟發(fā)展，企業(yè)間經(jīng)濟聯(lián)系越來越緊密，企業(yè)所處的供應鏈關(guān)系著企業(yè)的生存發(fā)展。一個風險程度低、反應速度快、協(xié)調(diào)性高的供應鏈可以使企業(yè)在市場競爭中處于有利位置。基于對期望收益的最大化以及合同的協(xié)調(diào)性等指標的考量，采用各種數(shù)學方法對供應鏈結(jié)構(gòu)進行計算和評價，是供應鏈管理領(lǐng)域非常重要的研究內(nèi)容。

經(jīng)典的供應鏈管理問題不考慮零售商的庫存問題，但事實上零售商的庫存是有限的，很多學者研究了有庫存限制的供應鏈模型。Pasternack[1]研究了有庫存限制的報童模型，利用收益共享合同來分配利潤；Lim等[2]提出了零售商批發(fā)季節(jié)性產(chǎn)品且有庫存限制的問題，在這個問題中零售商只有一次訂貨機會，并利用收益共享合同協(xié)調(diào)了供應鏈。經(jīng)典的供應鏈問題不考慮第二次訂貨的問題，但事實上零售商根據(jù)市場情況進行再次訂貨也是合理的。Fisher等[3]提出零售商的需求更新可能改善整個供應鏈；Donohue[4]提出了零售商在出售季之前得到需求信號并進行第二次訂貨的模型；李健等[5]研究了帶有需求更新的兩階段電子商務(wù)供應鏈模型，并設(shè)計了訂購合同使供應鏈協(xié)調(diào)。簡惠云等[6]研究了一般的二階段并帶有需求更新的供應鏈模型。胡覺亮等[7]和尚文芳等[8]分別研究了二階段帶有需求更新的服裝供應鏈模型和延期供給的易逝品供應鏈模型。宋華明等[9]研究了帶有需求更新的供應鏈的合作問題，并論證了合作策略的必要性。

在回購合同(buy-back contract)中，零售商在出售季之前以一個固定的批發(fā)價向供應商訂購產(chǎn)品，出售季之后，如果零售商有剩余產(chǎn)品，供應商再以一個固定的回購價格回購這些產(chǎn)品。對于回購合同，Pasternack[10]針對報童問題對回購合同進行了詳細分析，并指出回購合同能夠協(xié)調(diào)供應鏈。鄧欣[11]利用回購合同研究了損失厭惡偏好的供應鏈模型。在回購合同中，供應商會回購零售商的剩余產(chǎn)品，這樣可能導致零售商的不理性訂貨，Porteus[12]的研究表明，零售商的不理性訂貨是不穩(wěn)定的。Padmanabhan等[13]研究了一個供應商利用回購合同來處理多個零售商之間競爭的問題。除了回購合同之外，還有一些其它的合同也可以用于利潤的分配，如批發(fā)價合同、收益共享合同、數(shù)量柔性合同以及銷售回扣合同等。Lariviere等[14]在報童模型下對批發(fā)價合同進行了全面分析，Cachon等[15]在一般情況下對收益共享合同提供了一個完整的分析，Tsay[16]研究了利用數(shù)量柔性合同進行協(xié)調(diào)的供應鏈，Taylor[17]研究了利用銷售回扣合同進行協(xié)調(diào)的供應鏈。因為回購合同在實際中很普遍且一般情況下能協(xié)調(diào)供應鏈，故本文也采用了回購合同。

本文針對季節(jié)性產(chǎn)品的銷售，研究了零售商帶有庫存限制且有兩次訂貨機會的供應鏈的訂貨策略，零售商的兩次訂貨分別發(fā)生在得到需求信號前后，零售商的第一次訂貨受到庫存的限制，在進行第二次訂貨時對市場需求有了更進一步了解，供應商直接發(fā)貨給消費者，故第二次訂貨不受庫存的限制。第二次訂貨對總的訂貨量進行了調(diào)整使得利潤盡可能增大。本文利用回購合同進行利潤分配，首先通過數(shù)學推導和參數(shù)設(shè)置，利用導數(shù)的性質(zhì)和逆推的方法，求解出無庫存限制時的最優(yōu)訂貨策略，然后再利用分類討論的方法和凹函數(shù)的性質(zhì)得到有庫存限制時不同情況下最優(yōu)的訂貨策略。該供應鏈模型在實際中很常見，為了更好地利用本文所得的最優(yōu)訂貨策略，本文給出了相應的實例。

一、帶有庫存限制與需求更新的供應鏈模型

本文研究零售商有庫存限制且有兩次訂貨機會的供應鏈模型：一個供應商和一個有庫存限制的零售商，單一的出售季與隨機需求。零售商在出售季之前有一次得到需求信號的機會，在出售季之前零售商有兩次機會向供應商訂貨，第一次訂貨發(fā)生在得到需求信號之前，第二次訂貨發(fā)生在得到需求信號之后。為了方便，本文把整個過程分為兩個階段，第一階段為得到需求信號之前，第二階段為得到需求信號與出售季之間。第一階段的訂貨選擇源于市場需求分析與以往的經(jīng)驗且受制于零售商的有限庫存。第二階段的訂貨選擇源于新得到的需求信號，零售商對所有的需求有了比較全面的了解。零售商第二次訂貨時，供應商生產(chǎn)產(chǎn)品并在出售季開始時直接發(fā)貨給消費者，故零售商第二次訂的產(chǎn)品并不占用零售商的庫存。如果第一次訂貨量大于正常需求量，那么第二次訂貨就不會存在，即第二階段的訂貨量為零，否則第二階段還需要訂貨。

(一)符號定義與模型假設(shè)

V:零售商的庫存容量；

v:單位產(chǎn)品所占的體積；

D:小范圍內(nèi)的市場需求；

ξ：得到的需求信號；

G(·):需求信號ξ的分布函數(shù)；

g(·):需求信號ξ的密度函數(shù)；

F(·|ξ)：得到需求信號ξ之后，需求D的分布函數(shù)；

f(·|ξ)：得到需求信號ξ之后，需求D的密度函數(shù)；

p:單位產(chǎn)品的零售價；

w1:第一階段單位產(chǎn)品的批發(fā)價；

w2:第二階段單位產(chǎn)品的批發(fā)價；

b:單位產(chǎn)品的回購價格；

c1:第一階段單位產(chǎn)品的成本；

c2:第二階段單位產(chǎn)品的成本；

q1:零售商在第一階段的總訂貨量；

q2:整個過程中零售商的總訂貨量；

π2(q2|q1,ξ):給定q1與ξ，總訂貨量為q2時供應鏈的利潤函數(shù)；

πr2(q2|q1,ξ):給定q1與ξ，總訂貨量為q2時零售商的利潤函數(shù)；

πs2(q2|q1,ξ):給定q1與ξ，總訂貨量為q2時供應商的利潤函數(shù)；

q2(q1,ξ):給定q1與ξ，使供應鏈利潤最大的q2；

π1(q1):整個過程中，總訂貨量為q2(q1,ξ)，第一階段總訂貨量為q1時供應鏈的利潤函數(shù)；

πr1(q1):整個過程中，總訂貨量為q2(q1,ξ)，第一階段總訂貨量為q1時零售商的利潤函數(shù)；

πs1(q1):整個過程中，總訂貨量為q2(q1,ξ)，第一階段總訂貨量為q1時供應商的利潤函數(shù)。

假設(shè)：供應商在每一階段按零售商的訂貨量生產(chǎn)產(chǎn)品；F(·|ξ)嚴格單增，p為常數(shù)；產(chǎn)品的成本包括庫存費用、運輸費用以及生產(chǎn)費用等其他費用；出售季結(jié)束之后產(chǎn)品的剩余價值為零；需求信號ξ與需求D單位一樣且ξ≥0；c1

(二)模型分析與求解

本節(jié)求解帶有庫存限制與需求更新的供應鏈的最優(yōu)訂貨策略。首先考慮無庫存限制的情況，利用逆推的方法找到第一、二階段的最優(yōu)訂貨量；然后考慮有庫存限制的情況，利用凹函數(shù)的性質(zhì)，得到帶有庫存限制與需求更新的供應鏈的最優(yōu)訂貨策略。

得到需求信號ξ之后，需求D的分布函數(shù)為：

F(x|ξ)=P(D≤x|ξ),

當需求信號ξ增大時，需求D增大，p(D≤x|ξ)減小，故F(x|ξ)隨著ξ的增大而減小。

1.求解無庫存限制時帶有需求更新的供應鏈的最優(yōu)訂貨策略

首先分析第二階段，為了方便，把產(chǎn)品的售出及剩余產(chǎn)品的回購均看作是第二階段發(fā)生的。第二階段供應鏈的利潤函數(shù)等于賣出去產(chǎn)品所得收益減去第二階段的成本。給定q1與ξ，總訂貨量為q2時供應鏈的利潤函數(shù)為：

π2(q2|q1,ξ)=pS(q2|ξ)-c2(q2-q1)=pS(q2|ξ)-c2q2+c2q1,

其中：

此時，

(1)

q2(q1,ξ)=q1.

給定q1、ξ總訂貨量為q2時零售商的利潤函數(shù)：πr2(q2|q1,ξ)=pS(q2|ξ)+b[q2-S(q2|ξ)]-w2(q2-q1) =(p-b)S(q2|ξ)-(w2-b)q2+w2q1.

給定q1、ξ總訂貨量為q2時供應商的利潤函數(shù)：

πs2(q2|q1,ξ)=

w2(q2-q1)-c2(q2-q1)-b[q2-S(q2|ξ)].

考慮回購參數(shù){w2,b}引入常數(shù)λ≥0，使得：

(2)

則λ∈(0,1)，且

πr2(q2|q1,ξ)=λπ2(q2|q1,ξ)-λc2q1+w2q1,

πs2(q2|q1,ξ)=(1-λ)π2(q2|q1,ξ)+λc2q1-w2q1,

故給定q1、ξ后，供應鏈、零售商和供應商最優(yōu)總訂貨量均為q2(q1,ξ)。

下面分析整個供應鏈，把在第二階段中找到的給定q1與ξ之后最優(yōu)總訂貨量q2(q1,ξ)代入整個過程的供應鏈利潤函數(shù)中，尋找最優(yōu)的q1。

定義函數(shù)ξ(q1)，使得：

(3)

即給定一個q1就可以找到一個函數(shù)ξ(q1),當需求信號為ξ(q1)時，最優(yōu)總訂貨量為：

ξ(q1)恰好把需求信號劃分成了兩部分：當ξ>ξ(q1)時，第二階段需要訂貨，此時

q2(q1,ξ)>q1,

且滿足式(1)。此時q2(q1,ξ)與q1無關(guān)。當ξ≤ξ(q1)時，第二階段不需要訂貨，此時

q2(q1,ξ)=q1.

供應鏈的利潤函數(shù)等于賣出去產(chǎn)品所得的收益減去兩個階段的成本。整個過程中，總訂貨量為q2(q1,ξ)，第一階段訂貨量為q1時應鏈的利潤函數(shù)：

π1(q1)=E[π2(q2(q1,ξ)|q1,ξ)]-c1q1=pE[S(q2(q1,ξ)|ξ)]-c2E[q2(q1,ξ)]+ c2q1-c1q1.

定理1π1(q1)關(guān)于q1是凹函數(shù)。

證明：首先對π1(q1)求一階導，

S[q1|ξ(q1)]g[ξ(q1)ξ′(q1)-

S[q2(q1,ξ(q1))|ξ(q1)]g[ξ(q1)]ξ′(q1)

其中q2[q1,ξ(q1)]=q1。

則

故π1(q1)是凹函數(shù)。□

(4)

整個過程中，總訂貨量為q2(q1,ξ)，第一階段訂貨量為q1時零售商的利潤函數(shù)：

πr1(q1)=E[πr2(q2(q1|ξ)|q1,ξ)]-w1q1=λE[π2(q2(q1,ξ)|q1,ξ)]-(w1-w2+λc2)q1.

整個過程中，總訂貨量為q2(q1,ξ)，第一階段訂貨量為q1時供應商的利潤函數(shù)：

πs1(q1)=E[πs2(q2(q1,ξ)|q1,ξ)]-c1q1+w1q1.

選擇w1使得

w1-w2+λc2=λc1

(5)

則

πr1(q1)=λπ1(q1),

πs1(q1)=(1-λ)π1(q1),

故供應鏈、零售商和供應商第一階段的最優(yōu)訂貨量均為q1*。

綜上所述，在無庫存限制時，第一、二階段的最優(yōu)訂貨量分別為q1*、q2(q1*,ξ)-q1*,總訂貨量為q2(q1*,ξ)。

2.求解帶有庫存限制與需求更新的供應鏈的最優(yōu)訂貨策略

從第1節(jié)的分析中可知，在兩個階段中供應鏈最優(yōu)的訂貨量均是零售商和供應商的最優(yōu)訂貨量，且第二階段和整個過程供應鏈利潤函數(shù)均為凹函數(shù)。

零售商第一階段的訂貨量受到庫存的限制，第二階段的訂貨量不受庫存的限制，在第二階段供應商生產(chǎn)產(chǎn)品并直接發(fā)貨給消費者。

設(shè)

(6)

二、算例分析

(一)實例分析

考慮某種在單一季節(jié)出售的產(chǎn)品，并且假設(shè)小范圍內(nèi)需求的變動對市場價格無影響。單位產(chǎn)品所占體積：

v=0.5m×0.5m×1.5m=0.375m3,

第一、二階段產(chǎn)品的成本分別為c1=80元、c2=100元，產(chǎn)品的零售價p=200元，零售商的庫存容量：

V=10m×10m×3m=300m3,

假設(shè)需求信號ξ～U(800,1200)，給定ξ之后，需求D～U(ξ-200,ξ+200),零售商和供應商通過協(xié)商決定各自利潤占供應鏈利潤的一半，即λ=0.5，則由式(2)得b=100元，w2=150元，再由式(5)得w1=140元，由式(6)可得：

由式(3)

得

故此時第二階段的最優(yōu)訂貨量為

總的最優(yōu)訂貨量為

如果

V=10m×5m×3m=150m3,

其它量不變，則由式(6)

則

則此時第二階段的最優(yōu)訂貨量為

總的最優(yōu)訂貨量為

如果在第二階段開始時觀察到的需求信號ξ=300，零售商的庫存容量

V=10m×5m×3m=150m3,

其它量不變，則由式(6)

(二)應用總結(jié)

三、結(jié) 語

本文針對季節(jié)性產(chǎn)品的銷售，研究了帶有庫存限制與需求更新的供應鏈，該供應鏈利用回購合同進行利潤分配，本文利用逆推的方法和凹函數(shù)的性質(zhì)，通過參數(shù)設(shè)置，分別得到了不同情況下第一、二階段的最優(yōu)訂貨量，該最優(yōu)訂貨量能夠協(xié)調(diào)供應鏈且使得供應鏈、零售商和供應商利潤均達到最大。在實際中也可以直接利用這個模型使得各自利潤最大。為了進一步理解該模型及最優(yōu)的訂貨策略，給出了相應的算例。本文只研究了一個供應商和一個帶有庫存限制的零售商的供應鏈，事實上一個供應商對多個帶有庫存限制的零售商的情況很普遍，零售商可以通過各種促銷增加銷售量，產(chǎn)品過了銷售季還有剩余價值，批發(fā)價會隨著訂貨量的變化而變化等，這些情況有待進一步研究。

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(責任編輯： 康 鋒)

Ordering Strategy for a Supply China with Limited Storage Capacity and Demand Updating

WENXin,GUOYongjiang

(School of Sciences, Beijing University of Posts and Telecommunications, Beijing 100876, China)

In this paper, we studied the ordering strategy for a supply chain with limited storage capacity and demand updating in the setting of the sale of seasonal products. The supply chain consists of one supplier and one retailer. The retailer is assumed to have two opportunities to place order before and after receiving demand signals respectively, and the first order is limited by the storage capacity. We obtained the optimal ordering strategy with no storage capacity limit by setting parameter indexes according to the properties of derivative with backstepping method, and then got the optimal ordering strategy with limited storage capacity according to the properties of the concave function in different cases, to balance the supply chain. At last, we verified the correctness of the result via numerical example, and further explained the optimal ordering strategy.

storage capacity limit; demand signal; supply chain; buy-back contract

10.3969/j.issn.1673-3851.2017.08.003

2017-02-26 網(wǎng)絡(luò)出版日期：2017-06-21

國家自然科學基金項目(11471053)

溫馨(1991-)，女，山西晉中人，碩士研究生，主要從事供應鏈管理方面的研究。

F274

A

1673- 3851 (2017) 04- 0299- 07