【名師檔案】

魏光明，南京市中華中學(xué)附屬小學(xué)副校長，中學(xué)高級教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級教師，江蘇省“333高層次人才培養(yǎng)工程”培養(yǎng)對象。長期致力于小學(xué)數(shù)學(xué)“核心知識”教學(xué)研究，多次應(yīng)邀作省級以上公開課和專題講座，先后主持《小學(xué)數(shù)學(xué)“核心知識”教學(xué)的理論與實踐研究》等3個相關(guān)的省級立項課題，并在《人民教育》《江蘇教育》《教學(xué)與管理》《中小學(xué)數(shù)學(xué)》等期刊發(fā)表數(shù)萬字相關(guān)成果。

眾所周知，一些重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、方法、思想，或者說“核心知識”，學(xué)生需要經(jīng)歷一個長線的認(rèn)識過程，才能逐步感悟、理解和掌握。因而，我們需要依據(jù)前后知識之間存在的內(nèi)在邏輯關(guān)系和不同階段學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，著眼一個長線的教學(xué)過程，可以是幾個課時、一個單元，也可以是一個學(xué)期、一個年級、一個學(xué)段，甚至更長的階段，有目的、有計劃地進(jìn)行系統(tǒng)的長程設(shè)計，將每節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容置于整體知識體系之中，引導(dǎo)學(xué)生在知識生長過程中逐步達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)，發(fā)展學(xué)習(xí)能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

問題1：長程設(shè)計需要關(guān)注什么？

數(shù)學(xué)本身具有嚴(yán)密的邏輯性，教材內(nèi)容一般分散編排、螺旋上升，不同學(xué)段的學(xué)生具有不同的認(rèn)知水平和思維方式，且學(xué)生必須通過獨立思考才能有意義地建構(gòu)知識，因此，數(shù)學(xué)教學(xué)需要進(jìn)行長程設(shè)計，關(guān)注階段性和一致性，科學(xué)地處理好局部知識與整體知識、階段發(fā)展和長遠(yuǎn)發(fā)展的關(guān)系。

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的總體目標(biāo)，教材選擇若干典型知識，架構(gòu)起了“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”（“空間與幾何”）、“統(tǒng)計與概率”、“綜合與實踐”（“實踐與綜合應(yīng)用”）四個領(lǐng)域的總體內(nèi)容；根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的學(xué)段目標(biāo)和學(xué)生的年齡特點、認(rèn)知水平，教材又將選定的知識切分成若干個單元，分散到不同學(xué)段，再分散到不同年級、不同學(xué)期。顯然，對于初步教學(xué)的知識，我們不能用該學(xué)段結(jié)束時才應(yīng)該達(dá)成的學(xué)段目標(biāo)來要求和評價學(xué)生；對于編排在低學(xué)段的知識，也不能超越學(xué)生的認(rèn)知水平，要求學(xué)生提前達(dá)成應(yīng)該在后續(xù)學(xué)段達(dá)成的目標(biāo)。所以，數(shù)學(xué)教學(xué)不能急于求成，而應(yīng)關(guān)注階段，聚焦當(dāng)下，循序漸進(jìn)，逐步達(dá)標(biāo)。具體教學(xué)中，我們應(yīng)該根據(jù)內(nèi)容進(jìn)度和具體學(xué)情，科學(xué)地擬訂簡約、具體、明確的階段目標(biāo)尤其是課時目標(biāo)和環(huán)節(jié)目標(biāo)，按照知識自然生長的節(jié)奏，把握好當(dāng)前知識的教學(xué)尺度，逐級遞進(jìn)，螺旋上升，有效地達(dá)成每一個節(jié)點的教學(xué)目標(biāo)，避免教學(xué)內(nèi)容所涉及的知識超出相應(yīng)的階段目標(biāo)，給學(xué)生帶來學(xué)習(xí)困難。

另一方面，我們不能因為關(guān)注階段性而孤立地看待、分析和教學(xué)特定的知識，而應(yīng)立足知識的整體性，借助知識本質(zhì)和數(shù)學(xué)思想在知識發(fā)生、發(fā)展、應(yīng)用過程中的一致性，打通不同階段的顯性知識及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法之間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在具體教學(xué)中，我們應(yīng)該緊扣知識的數(shù)學(xué)實質(zhì)和通性通法，找準(zhǔn)知識的生長點、延伸點，選擇、重組或創(chuàng)編教學(xué)內(nèi)容，讓知識有邏輯地生長、多方向地聯(lián)結(jié)，并借助生長慣性擴(kuò)展知識的廣度，增加知識的深度，促進(jìn)學(xué)生正確、清晰、全面地理解數(shù)學(xué)對象、內(nèi)容、方法之間的邏輯關(guān)系，厘清正在學(xué)習(xí)的知識從哪里來，現(xiàn)在處于哪里，還要到哪里去，從而更加準(zhǔn)確地把握各個階段的教學(xué)內(nèi)容及其應(yīng)該達(dá)成的目標(biāo)，學(xué)會用一條清晰的線索串聯(lián)起不同階段甚至不同領(lǐng)域的知識，給知識注入自然生長和結(jié)構(gòu)化的“基因”。

問題2：如何進(jìn)行長程設(shè)計？

數(shù)學(xué)教學(xué)中，無論是課程目標(biāo)的達(dá)成，還是學(xué)生學(xué)習(xí)能力的形成和提高、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升和完善，都需要經(jīng)歷一個長期的、循序漸進(jìn)的過程。下面以蘇教版教材中“把一個數(shù)改寫成用‘萬或‘億作單位的數(shù)”的教學(xué)為例，談?wù)勅绾芜M(jìn)行教學(xué)的長程設(shè)計。

從教材內(nèi)容的編排來看，這一知識被劃分為兩個階段：第一階段安排在四年級上冊，內(nèi)容是“把整萬數(shù)、整億數(shù)改寫成用‘萬或‘億作單位的數(shù)”，要求學(xué)生在掌握萬級和億級的計數(shù)單位、對應(yīng)數(shù)位及數(shù)的組成、整萬數(shù)和整億數(shù)的一般讀寫方法的基礎(chǔ)上，知道“萬”與整數(shù)末尾的4個0、“億”與整數(shù)末尾的8個0之間具有等價關(guān)系，學(xué)會用先去掉整數(shù)末尾的4個0或8個0，再加上“萬”或“億”作單位的方法，簡便地表示整萬數(shù)、整億數(shù)；第二階段安排在五年級上冊，內(nèi)容是“把較大的數(shù)改寫成用‘萬或‘億作單位的小數(shù)”，要求學(xué)生在掌握小數(shù)的意義和性質(zhì)、把整萬數(shù)和整億數(shù)改寫成用“萬”或“億”作單位的數(shù)的基礎(chǔ)上，知道一個較大的數(shù)可以分成整萬數(shù)或整億數(shù)以及萬位或億位后面的尾數(shù)兩個部分，學(xué)會用先在萬位或億位右邊點上小數(shù)點，再將小數(shù)化簡，最后加上“萬”或“億”作單位的方法，簡便地表示一個較大的數(shù)。認(rèn)清這兩個階段，有利于教師清晰地教、學(xué)生清晰地學(xué)，也有利于教學(xué)評價的設(shè)計。

但是，僅僅達(dá)到上面的要求是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，因為在這樣的教學(xué)中，學(xué)生獲得的知識是散點狀的，不利于他們把握知識體系和完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在第二階段教學(xué)時，我們還應(yīng)該思考并讓學(xué)生感悟：兩個階段的方法之間存在怎樣的內(nèi)在聯(lián)系？是否存在通性通法？能否推廣到其他內(nèi)容領(lǐng)域？等等。比如，可以通過比較，讓學(xué)生感悟和理解兩種方法是一致的，不存在前后矛盾，“去掉整數(shù)末尾的4個0或8個0”，其實就是“在萬位或億位右邊點上小數(shù)點，再將小數(shù)化簡”，只是后者更具一般性而已。并且，它們都只是改變了數(shù)的表達(dá)形式，沒有改變數(shù)的大小。教學(xué)“小數(shù)除法”之后，我們還可以再次聚焦這一知識，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到“在萬位或億位右邊點上小數(shù)點”與“一個數(shù)除以10000或100000000”之間是等價的，也就是將一個數(shù)的小數(shù)點向左移動4位或8位。在此基礎(chǔ)上，我們還可以引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握“把一個數(shù)改寫成用‘萬或‘億作單位的數(shù)”，其實質(zhì)就是把以“一”為計數(shù)單位的數(shù)改寫成以“萬”或“億”為計數(shù)單位的數(shù)，方法就是用這個數(shù)除以“進(jìn)率”10000或100000000。從這里拓展開去，學(xué)生就能很容易地理解和解決與這一知識鏈條相關(guān)的其他數(shù)學(xué)問題，學(xué)會從不同角度觀察和思考，并在長線學(xué)習(xí)過程中溝通知識間的聯(lián)系，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)探索意識和能力。

由此可見，數(shù)學(xué)教學(xué)可以借鑒“逆向設(shè)計”的成功經(jīng)驗，基于課程標(biāo)準(zhǔn)找尋知識邏輯生長的“因子”，讓學(xué)生在經(jīng)歷分解、聯(lián)結(jié)和拓展的“慢”且“長”、盡可能體現(xiàn)數(shù)學(xué)自身發(fā)展軌跡的過程中，獲得數(shù)學(xué)結(jié)果，體驗數(shù)學(xué)結(jié)果形成的過程及其蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提升以數(shù)學(xué)思考和問題解決為核心的、未來可持續(xù)發(fā)展的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，實現(xiàn)知識獲得過程、思維發(fā)展過程與生命成長過程同步。

（作者單位：南京市中華中學(xué)附屬小學(xué)）

閱讀延伸

長程設(shè)計關(guān)注大視野，強(qiáng)調(diào)教學(xué)的前后一致性，自然涉及推理、遷移、同化和順應(yīng)。

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程之中。

遷移是一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的影響，不僅存在于某種經(jīng)驗內(nèi)部，也存在于不同經(jīng)驗之間。

皮亞杰認(rèn)為，知識建構(gòu)涉及圖式、同化、順應(yīng)和平衡四個重要概念。同化是指將外部環(huán)境中的有關(guān)信息吸收進(jìn)來并結(jié)合到兒童已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)（也稱“圖式”）中，即個體將外界刺激所提供的信息整合到自己原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)內(nèi)的過程。順應(yīng)是指外部環(huán)境發(fā)生變化，而原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)無法同化新環(huán)境提供的信息時所引起的兒童認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生重組和改造的過程，即個體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)因外部刺激的影響而發(fā)生改變，進(jìn)而達(dá)到理解的過程。就本質(zhì)而言，同化是認(rèn)知結(jié)構(gòu)數(shù)量的擴(kuò)充（圖式擴(kuò)充），順應(yīng)是認(rèn)知結(jié)構(gòu)性質(zhì)的改變（圖式改變）。兒童的認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是通過同化和順應(yīng)過程逐步建構(gòu)起來的，如果對具體知識的學(xué)習(xí)不能正確把握是同化問題還是順應(yīng)問題，學(xué)生就會出現(xiàn)理解錯誤和偏差，導(dǎo)致教學(xué)效果不盡如人意。

為了更加全面、深入地了解數(shù)學(xué)教學(xué)的長程設(shè)計，可以參閱下列資料：

1.《立足整體·梳理結(jié)構(gòu)·長程設(shè)計·階段突破——以小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決的結(jié)構(gòu)教學(xué)為例也談減負(fù)增效》（馬美南，http：//www.czedu.gov.cn/Disp.Aspx？serid=5883）

2.《課程標(biāo)準(zhǔn)與教學(xué)一致性建構(gòu)：美國科羅拉多州經(jīng)驗》（李峰，《當(dāng)代教育科學(xué)》，2012年第10期）

3.《聚焦單元設(shè)計 促進(jìn)“理解”教學(xué)》（鄭丹丹，《現(xiàn)代教育科學(xué)·普教研究》，2012年第2期）