姜付錦

（武漢市黃陂一中 湖北 武漢 430030）

文獻(xiàn)［1］從運(yùn)動(dòng)的微分動(dòng)力學(xué)方程角度對小球2的軌道進(jìn)行了分析：小球2會(huì)不斷地離心、近心……并求出了小球2到圓心點(diǎn)的距離范圍.文獻(xiàn)［2，3］運(yùn)用角動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律求出了小球2運(yùn)動(dòng)過程中到圓心的距離范圍，但他們都沒有對軌道進(jìn)行分析.筆者認(rèn)為這個(gè)模型可等效成小球2的質(zhì)量不變而速度變化，利用軟件MathCAD對這它進(jìn)行了如下分析，文中若有不當(dāng)之處，請各位同仁批評指正.

1 建立模型

如圖1所示 ，光滑水平面上O點(diǎn)有一小孔，不可伸長的輕質(zhì)光滑細(xì)線穿過該孔，兩端系上質(zhì)量分別為m1和m2的小球.小球2始終限制在水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，小球1始終限制在豎直方向運(yùn)動(dòng)，試分析兩小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

圖1

1.1 小球2離圓心O的最大距離和最小距離

若小球1的重力恰好可以提供小球2的向心力，則小球2做勻速圓周運(yùn)動(dòng).設(shè)此時(shí)小球2的速度為v0，半徑為r0，則有

設(shè)小球2的初速度為

若n＞1，則小球2要做離心運(yùn)動(dòng)；若n＜1，則小球2要做近心運(yùn)動(dòng).當(dāng)小球2與圓心O點(diǎn)的距離有最值時(shí)，小球2只有垂直于線的速度（切向速度），沿線方向的速度（徑向速度）為零.由于細(xì)繩長度不變，小球1的速度與小球2的徑向速度相等，故此時(shí)小球1的速度為零.由于小球2受到的合外力為細(xì)線的拉力，拉力是有心力，故小球2的角動(dòng)量守恒.設(shè)此時(shí)小球2的速度為v，到圓心的距離為r，則有

若把兩個(gè)小球組成一個(gè)系統(tǒng)，由于只有小球1的重力做功，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，設(shè)細(xì)線的長度為l，取水平面為零勢能面，則有

聯(lián)立式（1）～ （4），得

此方程的解為

將r3＜0舍去，式中

當(dāng)n＞1時(shí)，f（n）＞1，小球2到圓心的最近距離為r0，最遠(yuǎn)距離為

當(dāng)n＜1時(shí)，f（n）＜1，小球2到圓心距離的最近距離為

最遠(yuǎn)距離為r0.若則小球2到是圓心的最遠(yuǎn)距離為

最近距離為r0.

圖2

1.2 對小球2軌道的分析

圖3

建立如圖3所示的柱坐標(biāo)系（ρ，φ，z），小球1所受內(nèi)力、外力沿z方向，初始靜止，運(yùn)動(dòng)只能在z軸上.兩小球組成的系統(tǒng)受如下外力作用：重力m1g和m2g、水平面對小球2的支持力均平行于z軸，則有M（e）＝0，故小球2的角動(dòng)量守恒

m2g和支持力不做功，內(nèi)力為線的張力，m1g為保守力，故系統(tǒng)機(jī)械能守恒

依線不可伸長條件

聯(lián)立式（5）～ （7）得

與平方反比中心力場不同的是，上述方程一般情況下不可解.但可通過圖4分析解的特征.可等價(jià)為質(zhì)量m＝m1＋m2的小球在如下勢場中的一維運(yùn)動(dòng)

圖4

當(dāng)E0＝E0C時(shí)，與勢能曲線只有一個(gè)交點(diǎn)ρ＝ρ0.小球“靜止”對應(yīng)實(shí)際運(yùn)動(dòng)為小球2以半徑ρ0做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，小球1靜止.

當(dāng)E0＞E0C時(shí)，與勢能曲線有兩個(gè)交點(diǎn)ρ1，ρ2，小球1“在ρ1和ρ2之間往復(fù)運(yùn)動(dòng)”.對應(yīng)實(shí)際運(yùn)動(dòng)為小球2做復(fù)雜的軌道運(yùn)動(dòng)，如圖5所示（可能閉合也可能不閉合），軌道極徑在ρ1和ρ2之間；小球1沿豎直方向做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，z軸坐標(biāo)在ρ1～l0和ρ2～l0之間.

圖5

2 用MathCAD進(jìn)行數(shù)值模擬

2.1 建立模型

如圖6所示，以水平面上的小孔O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.在某一時(shí)刻小球2的位置坐標(biāo)為P（x，y），小球2受到的合力為繩子的拉力，動(dòng)力微分方程如下

式中

圖6

圖7

小球1受力如圖7，動(dòng)力學(xué)微分方程如下

由于小球2在運(yùn)動(dòng)過程中細(xì)繩的長度不變，所以有

設(shè)兩球質(zhì)量相等，則有

2.2 數(shù)值模擬

為了研究的方便，設(shè)兩個(gè)物體的質(zhì)量m＝1kg，小球2到圓心的距離為10m，重力加速度g＝10m／s2.小球2的初速度為得到以下圖像［3］.

圖8

圖9

圖10

圖11

2.3 圖形分析

圖8是小球2的運(yùn)動(dòng)軌跡；圖9是系統(tǒng)的機(jī)械能與時(shí)間的關(guān)系，機(jī)械能總量為E＝100J；圖10是小球2到圓心距離與時(shí)間關(guān)系，小球2與圓心的最近距離為10m，最遠(yuǎn)距離為16.177m；圖11是小球2的角動(dòng)量與時(shí)間關(guān)系，小球2的角動(dòng)量守恒

在理論上，兩小球的總機(jī)械能為

小球2的角動(dòng)量為

小球2到圓心的最遠(yuǎn)距離為

即最遠(yuǎn)距離為16.18m，通過對比可以發(fā)現(xiàn)MathCAD數(shù)值模擬與理論分析相同.

3 結(jié)語

通過以上3種方法的分析，不難發(fā)現(xiàn)兩個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與小球1的初速度有密切關(guān)系.當(dāng)v＝v0時(shí)，小球1做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，小球2不動(dòng)；當(dāng)v＞v0或v＜v0時(shí)，小球1限制在r1和r2之間范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)，小球2在豎直方向上往復(fù)運(yùn)動(dòng).

1 魏永政，於恒永.圓周運(yùn)動(dòng)過程中向心力的變化.中學(xué)物理，2011（1）：42～43

2 王文濤，龍玉梅.對“圓周運(yùn)動(dòng)過程中向心力的變化”一文的再研究.中學(xué)物理，2013（1）：71

3 周柏衍.理論力學(xué)教程2版.北京：高等教育出版社，1986.99～100

4 姜付錦，朱木清.MathCAD在物理研究中的應(yīng)用http：／／www.pep.com.cn／gzwl／jszx／ztts／2011hybd／2z／201202／t20120223＿1102974.htm