林 希，李小光

(1．西安航空學(xué)院 理學(xué)院，陜西 西安 710077；2.西安航空學(xué)院 黨委(學(xué)院)辦公室，陜西 西安 710077)

1 前言

單一片真空泵由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單生產(chǎn)成本低被廣泛地應(yīng)用在現(xiàn)代汽車剎車助力系統(tǒng)中。圖1為單葉片真空泵的基本結(jié)構(gòu)。葉片兩端通常為圓柱面。當(dāng)轉(zhuǎn)子被驅(qū)動(dòng)旋轉(zhuǎn)時(shí)，葉片將隨轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)并同時(shí)作徑向滑動(dòng)，葉片兩端柱面理論上必須保持和泵體內(nèi)腔面相切以形成線接觸密封。因此，單葉片真空泵泵體內(nèi)腔曲面的投影是一條特殊設(shè)計(jì)的封閉曲線。工程計(jì)術(shù)人員在設(shè)計(jì)單葉片真空泵時(shí)，其主要任務(wù)之一就是尋找一條滿足上述要求的曲線。在設(shè)計(jì)時(shí)，通常是先確定葉片密封柱面中心的軌跡，實(shí)際泵體內(nèi)腔形線則是葉片端面圓的包絡(luò)線。葉片密封柱面中心的軌跡一般由一段參考曲線和一段生成曲線組成。當(dāng)轉(zhuǎn)子逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，葉片密封柱面中心點(diǎn)A將沿著參考曲線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的位置，點(diǎn)B的軌跡形成生成曲線。顯然點(diǎn)A和點(diǎn)B是封閉曲線的兩個(gè)連接點(diǎn)。為了保證真空泵平穩(wěn)運(yùn)行，封閉曲線在點(diǎn)A和點(diǎn)B處至少是一階連續(xù)的。參考文獻(xiàn)[1]已顯示圓弧或橢圓曲線均可用作設(shè)計(jì)中的參考曲線。然而，一般的橢圓曲線僅能保證在連接點(diǎn)處是一階連續(xù)的。亦就是說(shuō)，葉片的徑向滑動(dòng)速度是連續(xù)的但徑向滑動(dòng)的加速度則不一定是連續(xù)的。由于加速度的不連續(xù)會(huì)引起力的沖擊而導(dǎo)致振動(dòng)和噪聲。因此，理想的情況是找到一條參考曲線使得參考曲線和生成曲線在連接點(diǎn)處不僅是一階連續(xù)的而且是二階連續(xù)的。本文將在橢圓曲線族中尋找一條最優(yōu)參考曲線使得參考曲線和生成曲線在連接點(diǎn)處是二階連續(xù)的。

2 葉片徑向滑動(dòng)速度和加速度

如圖1所示，假定在設(shè)計(jì)中，葉片密封柱面中心距L，密封柱面半徑r和轉(zhuǎn)子半徑R 是給定的(設(shè)計(jì)輸入?yún)?shù))。由于葉片被假定是剛性的，點(diǎn)A和點(diǎn)B的徑向滑動(dòng)速度和加速度是相同的。因此本文僅給出點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡方程。在圖1所示的坐標(biāo)系中，當(dāng)葉片圓弧密封面的中心點(diǎn)A沿參考曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)， 它的極徑可以用下式表示：

ρA(θ)=g(θ) 0θπ

(1)

式中g(shù)(θ)是給定的參考曲線，θ為極角。當(dāng)點(diǎn)A在生成曲線上運(yùn)行時(shí)，它的極徑為：

圖1 真空泵幾何結(jié)構(gòu)

(2)

方程(1)和(2)實(shí)際上就是參考曲線和生成曲線的極坐標(biāo)表示。

葉片徑向滑動(dòng)速度V和加速度a可以被表示為：

(3)

(4)

式中t是時(shí)間變量，ω=dθ/dt是轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角速度并在設(shè)計(jì)中被假定為常數(shù)。

顯然，葉片徑向滑動(dòng)速度和加速度連續(xù)的條件變?yōu)閰⒖记€和生成曲線極徑對(duì)極角的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)在連接點(diǎn)處分別相等。對(duì)(1)和(2)求導(dǎo)，葉片徑向滑動(dòng)速度連續(xù)的條件可表示為：

(5)

加速度連續(xù)的條件為：

(6)

當(dāng)參考曲線g(θ)為一般橢圓曲線時(shí)，參考文獻(xiàn)[1]已顯示條件(5)是滿足的。本文將用條件(6)來(lái)尋找最佳橢圓曲線。

3 橢圓參考曲線參數(shù)的確定

當(dāng)橢圓被選作為單葉片真空泵設(shè)計(jì)中的參考曲線時(shí)，橢圓的中心通常被放置在y軸上以得到關(guān)于y軸對(duì)稱的封閉曲線。因此，橢圓的直角坐標(biāo)方程為:

(7)

式中a，b，e為待定參數(shù)。如果用橢圓的半軸比率k=a/b作為一個(gè)參數(shù)，方程(7)可被表示為：

x2+k2(y+e)2=k2b2

(8)

由于在y軸方向的橢圓半軸長(zhǎng)度b=e+R-r且當(dāng)y=0時(shí)，x=L/2。這些條件代入方程(8)，橢圓偏心距e可以用葉片長(zhǎng)度L，轉(zhuǎn)子半徑R,葉片端面圓弧半徑r和橢圓半軸比率k表示為：

(9)

橢圓的偏心距e將決定真空泵的排量。 橢圓半軸比率k為可選任意參數(shù)。對(duì)于給定的參數(shù)L，R，r，本文下面將推導(dǎo)出一個(gè)最優(yōu)的k值。

參考曲線橢圓(8)的極坐標(biāo)表示為：

(10)

式中

(11)

(12)

同樣地，對(duì)(10)表示的g(θ)求二階導(dǎo)數(shù)并代入連接點(diǎn)的極角值可以得到：

(13)

代(13)進(jìn)入加速度連續(xù)條件(5)可得如下方程：

k2e2-(k2-1)(R-r)(2e+R-r)=0

(14)

將(9)表示的e代入方程(14)可解得最優(yōu)橢圓的k值為：

(15)

設(shè)計(jì)時(shí)，對(duì)于給定的參數(shù)L，R，r，用(15)計(jì)算出最優(yōu)k值。將最優(yōu)k值和給定參數(shù)代入(9)式可得參考橢圓曲線的最優(yōu)偏心距e。用所得的最優(yōu)偏心距，參考曲線橢圓在y軸方向的半軸長(zhǎng)度b可以被計(jì)算。參考文獻(xiàn)[1]已給出了計(jì)算泵腔封閉曲線的基本公式。

4 結(jié)語(yǔ)

當(dāng)橢圓曲線被選作單葉片真空泵設(shè)計(jì)中的參考曲線時(shí)，一般可以保證葉片徑向滑動(dòng)的速度是連續(xù)的。但是，葉片徑向滑動(dòng)的加速度卻不一定是連續(xù)的。為了減小振動(dòng)和噪聲，設(shè)計(jì)人員總是希望能夠找到可產(chǎn)生二階連續(xù)的泵腔曲線的參考曲線。本文給出了滿足這一要求的橢圓參考曲線。供單葉片真空泵的設(shè)計(jì)人員在選擇參考曲線時(shí)參考。

[1] 林希.汽車單葉片真空泵設(shè)計(jì)中的數(shù)學(xué)理論[J]. 西安航空學(xué)院學(xué)報(bào)，2013 (1)： 79-81.

[2] 何璧生.旋片式真空泵的結(jié)構(gòu)原理和設(shè)計(jì)計(jì)算(上篇)[J]. 通用機(jī)械，2003(5)： 31-35.

[3] 何璧生.旋片式真空泵的結(jié)構(gòu)原理和設(shè)計(jì)計(jì)算(下篇)[J]. 通用機(jī)械，2003(6)： 22-25.

[4] 楊乃恒.真空獲得設(shè)備[M].北京:冶金工業(yè)出版社, 2001.

[5] 張波.FUZZY-PID復(fù)合控制[J]. 自動(dòng)化與儀器儀表，2001 (3) ：21-23.