施健斌

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出：“合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等判斷某些結(jié)果。”“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式”，合情推理能力是推理能力的重要組成部分。培養(yǎng)小學(xué)生的合情推理能力，不僅是人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、探索解決問題的思路和方法的需要，更是今后工作、生活和終身學(xué)習(xí)的需要。

“數(shù)與代數(shù)”在小學(xué)數(shù)學(xué)的四個(gè)內(nèi)容領(lǐng)域中占有很大的比重，其中的定義、定律、性質(zhì)、法則和規(guī)律的得出，都是通過合情推理的思維方式得來的。在這些數(shù)學(xué)知識(shí)的大量背景材料中，既是凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，又是培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的最好教學(xué)資源。

如何培養(yǎng)學(xué)生合情推理的能力？《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“教師在教學(xué)過程中，應(yīng)該設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、嘗試、估計(jì)、歸納、類比、畫圖等活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力?！睘榇耍P者在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)實(shí)踐中，以新課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，根據(jù)小學(xué)生的年齡特點(diǎn)和思維發(fā)展水平，主要采用歸納推理和類比推理的方法，讓學(xué)生在獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，發(fā)展合情推理能力。

一、應(yīng)用不完全歸納推理，發(fā)展學(xué)生合情推理能力

歸納推理是合情推理的主要形式之一，它是指“由某類事物中部分對(duì)象所具有的某些特征，推出該類事物也具有這些特征的推理”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，因?yàn)樾W(xué)生的年齡比較小，積累的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)不多，一般都用不完全歸納的推理形式，即通過對(duì)事物部分對(duì)象的分析得出一般性結(jié)論的推理方法。在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中應(yīng)用不完全歸納法，根據(jù)是否發(fā)現(xiàn)了歸納對(duì)象的因果規(guī)律，采取了以下兩種歸納推理的方法。

第一種是枚舉歸納法。它是通過枚舉而沒有碰到矛盾事實(shí)的歸納方法。例如，在“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”的教學(xué)中，蘇教版（下同）教材安排了兩個(gè)例題：例1讓學(xué)生在四個(gè)圓形圖中，依次找出與第一個(gè)圓形（ ）相等的分?jǐn)?shù)，并填入等式，得 = = ；例2用一張涂色部分是 的正方形紙，讓學(xué)生經(jīng)過四次對(duì)折，依次找出與 相等的分?jǐn)?shù)，用等式表示： = = = 。操作之后，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察例1、例2等式中的分母、分子是怎樣變化的。學(xué)生在從左到右、從右到左的有序而全面的觀察中，發(fā)現(xiàn)每個(gè)等式中的分母、分子，依次同時(shí)乘（或除）2、3、4……圖中陰影部分的大小沒有變，也就說明分?jǐn)?shù)的大小沒有變。學(xué)生在此基礎(chǔ)上根據(jù)同一屬性在一些同類對(duì)象中不斷重復(fù)，而沒有遇上矛盾的情況，經(jīng)過歸納、概括得出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。為了證明它的正確性，教師又讓學(xué)生在“練一練”中用“涂一涂、填一填”的方法，也得出了 = 、 = ，說明所有的分?jǐn)?shù)都具有這種性質(zhì)。

應(yīng)用枚舉歸納法能幫助我們提供嘗試探究數(shù)學(xué)規(guī)律的線索和方向，比較迅速地從數(shù)學(xué)事實(shí)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。尤其是枚舉歸納法比較簡單具體，容易為思維能力尚不發(fā)達(dá)的小學(xué)生所接受，不失為培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力和抽象概括能力的思維形式。例如，加法、乘法的運(yùn)算定律和減法的性質(zhì)等都是用枚舉歸納法得出的。

第二種是科學(xué)歸納法。它是在分析并發(fā)現(xiàn)某類事物的因果規(guī)律之后，得出關(guān)于該類事物的一般結(jié)論的不完全歸納法?？茖W(xué)歸納法是枚舉歸納法的延伸與發(fā)展。

例如，小數(shù)乘法分兩段教學(xué)。小數(shù)乘整數(shù)的方法，教材中采用枚舉歸納法，先把小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為小數(shù)加法，再把小數(shù)看作整數(shù)進(jìn)行乘法計(jì)算，在小數(shù)加法豎式中和是幾位數(shù)，就在小數(shù)乘法算式的積中點(diǎn)上幾位，讓學(xué)生在比較歸納中得出計(jì)算方法。接著教學(xué)小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)引起小數(shù)大小的變化，用科學(xué)歸納法教學(xué)小數(shù)乘小數(shù)，計(jì)算“1.15×2.8”時(shí)，因?yàn)橄劝研?shù)看作整數(shù)相乘，1.15擴(kuò)大了100倍，2.8擴(kuò)大了10倍，這樣計(jì)算的積擴(kuò)大了1000倍（100×10），于是計(jì)算的結(jié)果要還原為小數(shù)，積就應(yīng)該縮小1000倍，所以積中應(yīng)有三位小數(shù)，即等于兩個(gè)因數(shù)中小數(shù)位數(shù)的和，進(jìn)而歸納得出小數(shù)乘法的通用法則：先按整數(shù)乘法算出積，再看因數(shù)中一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。從此，不再分小數(shù)乘整數(shù)、整數(shù)乘小數(shù)的法則。在教學(xué)這道題的過程中，學(xué)生對(duì)其中小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)引起小數(shù)大小的變化與小數(shù)乘法的計(jì)算法則之間的因果關(guān)系都非常明確，算理更清晰，算法更具有普遍性，邏輯性更強(qiáng)。學(xué)生在學(xué)會(huì)了法則的同時(shí)，又受到了合情推理方法的教學(xué)與訓(xùn)練。

二、應(yīng)用類比推理，發(fā)展學(xué)生合情推理能力

類比推理是由兩個(gè)事物的某些屬性相同，推出它們另一屬性也可能相同的一種推理方式。歸納推理是從特殊到一般的推理，類比推理是由歸納推理派生出來的，從特殊到特殊的推理，是合情推理的又一重要形式。應(yīng)用類比推理可以引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和方法，去聯(lián)想、猜測和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的新知識(shí)、新規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和合情推理能力。

在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中，類比與聯(lián)想是常用的思維方法。聯(lián)想就是由一個(gè)事物想起另一個(gè)事物，由這個(gè)知識(shí)想到其他知識(shí)的思維形式。應(yīng)用類比與聯(lián)想，可以溝通新舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)新知的探究與發(fā)現(xiàn)。

第一是數(shù)學(xué)知識(shí)的類比與聯(lián)想。例如，除法算式與分?jǐn)?shù)和比都有相除的意義，在教學(xué)“比的基本性質(zhì)”時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想商不變規(guī)律和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，類推出比的基本性質(zhì)：比的前項(xiàng)、后項(xiàng)都擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，比值不變。

第二是學(xué)習(xí)方法的類比與聯(lián)想。在數(shù)學(xué)知識(shí)之間，往往不僅在結(jié)構(gòu)上具有一致性，而且在學(xué)習(xí)方法上具有相似性，先前知識(shí)的學(xué)法為后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)作了遷移的準(zhǔn)備。例如，小數(shù)除法的教材編排體系，推理的形式與根據(jù)，都與小數(shù)乘法相似。在教學(xué)“小數(shù)除法的計(jì)算法則”時(shí)，只要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)小數(shù)點(diǎn)位置移動(dòng)引起小數(shù)大小變化的規(guī)律，在計(jì)算時(shí)把除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)去掉，轉(zhuǎn)化為整數(shù)，除數(shù)擴(kuò)大多少倍，被除數(shù)也擴(kuò)大多少倍，然后按照小數(shù)除以整數(shù)的方法計(jì)算。這樣學(xué)生既懂了算理，又理解了每步計(jì)算的意義。

第三是探究思路的類比與聯(lián)想。嘗試探究數(shù)學(xué)知識(shí)的思路與方法，不是憑空想象，而是根據(jù)一定的思路或經(jīng)驗(yàn)作出探索性判斷，是在已有思路與方法的基礎(chǔ)上的合情推理。例如，在教學(xué)“體積單位”時(shí)，先讓學(xué)生回憶長度和面積單位，后猜測度量體積單位的思路與方法。學(xué)生說，度量長度單位是用1厘米、1分米、1米去量物體；度量面積是用1平方厘米、1平方分米、1平方米去度量物體的面。在此基礎(chǔ)上，不少學(xué)生會(huì)類比聯(lián)想到度量物體的體積應(yīng)該是長、寬、高都是1厘米、1分米、1米的正方體。通過學(xué)具操作，既理解了體積單位，又理解了它們之間的進(jìn)率。這樣，學(xué)生充分利用了已有思路的類比與聯(lián)想，從幾何圖形的點(diǎn)、線、面、體聯(lián)系中，成功地實(shí)現(xiàn)了一維空間到二維空間，再到三維空間的飛躍。

類比推理是培養(yǎng)學(xué)生合情推理的有效方法之一，但值得注意的是類比推理的根據(jù)不夠充分，有時(shí)所得的結(jié)論是或然的。例如，由長方形面積公式可以直接推出正方形面積公式：邊長×邊長，但不能推出平行四邊形的面積計(jì)算公式，底邊與另一鄰邊相乘。

三、合情推理與演繹推理相結(jié)合，不斷提高推理水平

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，合情推理和演繹推理是主要的思維形式。演繹推理是從已有的數(shù)學(xué)事實(shí)和確定的規(guī)則出發(fā)，按照邏輯推理的法則加以證明和計(jì)算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成。合情推理用于探索思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，演繹推理用于證明結(jié)論。因此，在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中，還要注意合情推理和演繹推理的有機(jī)結(jié)合，促進(jìn)其和諧發(fā)展，讓學(xué)生的推理水平提高到新的高度。

大量教學(xué)實(shí)踐證明，合情推理與演繹推理是密切聯(lián)系，相互促進(jìn)的。例如，教學(xué)乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法：“28×12”，先讓學(xué)生估算，積可能是300多；接著通過口算，把12分解成6乘2或10加2，分別與28相乘，積都是336；再接著進(jìn)行豎式計(jì)算：先用個(gè)位上的2與28相乘，積是56，在此基礎(chǔ)上類比，猜十位上的“1”與28相乘，所得的積是280；最后把兩次乘得的積相加，結(jié)果是336，進(jìn)而得出乘數(shù)是兩位數(shù)的計(jì)算法則，并通過“試一試”及驗(yàn)算，證明其筆算過程與方法的正確性與普遍性。這樣的探索過程，既應(yīng)用了合情推理，也體現(xiàn)了合情推理與演繹推理的有機(jī)結(jié)合，有效地促進(jìn)了算理、法則的有效合成和推理水平的提高。

總之，合情推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，而學(xué)生合情推理水平的提高關(guān)鍵在教師。如果教師在日常教學(xué)中，注重在新課程標(biāo)準(zhǔn)的指引下，深入鉆研教材，在“數(shù)與代數(shù)”的具體內(nèi)容中挖掘推理因素，并在實(shí)施過程中確定教學(xué)定位及其價(jià)值取向，有意識(shí)、有計(jì)劃、合理靈活地應(yīng)用推理形式，就能讓學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的同時(shí)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)創(chuàng)新。？筻endprint

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出：“合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等判斷某些結(jié)果?！薄巴评硎菙?shù)學(xué)的基本思維方式”，合情推理能力是推理能力的重要組成部分。培養(yǎng)小學(xué)生的合情推理能力，不僅是人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、探索解決問題的思路和方法的需要，更是今后工作、生活和終身學(xué)習(xí)的需要。

“數(shù)與代數(shù)”在小學(xué)數(shù)學(xué)的四個(gè)內(nèi)容領(lǐng)域中占有很大的比重，其中的定義、定律、性質(zhì)、法則和規(guī)律的得出，都是通過合情推理的思維方式得來的。在這些數(shù)學(xué)知識(shí)的大量背景材料中，既是凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，又是培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的最好教學(xué)資源。

如何培養(yǎng)學(xué)生合情推理的能力？《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“教師在教學(xué)過程中，應(yīng)該設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、嘗試、估計(jì)、歸納、類比、畫圖等活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力?！睘榇耍P者在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)實(shí)踐中，以新課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，根據(jù)小學(xué)生的年齡特點(diǎn)和思維發(fā)展水平，主要采用歸納推理和類比推理的方法，讓學(xué)生在獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，發(fā)展合情推理能力。

一、應(yīng)用不完全歸納推理，發(fā)展學(xué)生合情推理能力

歸納推理是合情推理的主要形式之一，它是指“由某類事物中部分對(duì)象所具有的某些特征，推出該類事物也具有這些特征的推理”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，因?yàn)樾W(xué)生的年齡比較小，積累的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)不多，一般都用不完全歸納的推理形式，即通過對(duì)事物部分對(duì)象的分析得出一般性結(jié)論的推理方法。在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中應(yīng)用不完全歸納法，根據(jù)是否發(fā)現(xiàn)了歸納對(duì)象的因果規(guī)律，采取了以下兩種歸納推理的方法。

第一種是枚舉歸納法。它是通過枚舉而沒有碰到矛盾事實(shí)的歸納方法。例如，在“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”的教學(xué)中，蘇教版（下同）教材安排了兩個(gè)例題：例1讓學(xué)生在四個(gè)圓形圖中，依次找出與第一個(gè)圓形（ ）相等的分?jǐn)?shù)，并填入等式，得 = = ；例2用一張涂色部分是 的正方形紙，讓學(xué)生經(jīng)過四次對(duì)折，依次找出與 相等的分?jǐn)?shù)，用等式表示： = = = 。操作之后，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察例1、例2等式中的分母、分子是怎樣變化的。學(xué)生在從左到右、從右到左的有序而全面的觀察中，發(fā)現(xiàn)每個(gè)等式中的分母、分子，依次同時(shí)乘（或除）2、3、4……圖中陰影部分的大小沒有變，也就說明分?jǐn)?shù)的大小沒有變。學(xué)生在此基礎(chǔ)上根據(jù)同一屬性在一些同類對(duì)象中不斷重復(fù)，而沒有遇上矛盾的情況，經(jīng)過歸納、概括得出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。為了證明它的正確性，教師又讓學(xué)生在“練一練”中用“涂一涂、填一填”的方法，也得出了 = 、 = ，說明所有的分?jǐn)?shù)都具有這種性質(zhì)。

應(yīng)用枚舉歸納法能幫助我們提供嘗試探究數(shù)學(xué)規(guī)律的線索和方向，比較迅速地從數(shù)學(xué)事實(shí)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。尤其是枚舉歸納法比較簡單具體，容易為思維能力尚不發(fā)達(dá)的小學(xué)生所接受，不失為培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力和抽象概括能力的思維形式。例如，加法、乘法的運(yùn)算定律和減法的性質(zhì)等都是用枚舉歸納法得出的。

第二種是科學(xué)歸納法。它是在分析并發(fā)現(xiàn)某類事物的因果規(guī)律之后，得出關(guān)于該類事物的一般結(jié)論的不完全歸納法?？茖W(xué)歸納法是枚舉歸納法的延伸與發(fā)展。

例如，小數(shù)乘法分兩段教學(xué)。小數(shù)乘整數(shù)的方法，教材中采用枚舉歸納法，先把小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為小數(shù)加法，再把小數(shù)看作整數(shù)進(jìn)行乘法計(jì)算，在小數(shù)加法豎式中和是幾位數(shù)，就在小數(shù)乘法算式的積中點(diǎn)上幾位，讓學(xué)生在比較歸納中得出計(jì)算方法。接著教學(xué)小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)引起小數(shù)大小的變化，用科學(xué)歸納法教學(xué)小數(shù)乘小數(shù)，計(jì)算“1.15×2.8”時(shí)，因?yàn)橄劝研?shù)看作整數(shù)相乘，1.15擴(kuò)大了100倍，2.8擴(kuò)大了10倍，這樣計(jì)算的積擴(kuò)大了1000倍（100×10），于是計(jì)算的結(jié)果要還原為小數(shù)，積就應(yīng)該縮小1000倍，所以積中應(yīng)有三位小數(shù)，即等于兩個(gè)因數(shù)中小數(shù)位數(shù)的和，進(jìn)而歸納得出小數(shù)乘法的通用法則：先按整數(shù)乘法算出積，再看因數(shù)中一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。從此，不再分小數(shù)乘整數(shù)、整數(shù)乘小數(shù)的法則。在教學(xué)這道題的過程中，學(xué)生對(duì)其中小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)引起小數(shù)大小的變化與小數(shù)乘法的計(jì)算法則之間的因果關(guān)系都非常明確，算理更清晰，算法更具有普遍性，邏輯性更強(qiáng)。學(xué)生在學(xué)會(huì)了法則的同時(shí)，又受到了合情推理方法的教學(xué)與訓(xùn)練。

二、應(yīng)用類比推理，發(fā)展學(xué)生合情推理能力

類比推理是由兩個(gè)事物的某些屬性相同，推出它們另一屬性也可能相同的一種推理方式。歸納推理是從特殊到一般的推理，類比推理是由歸納推理派生出來的，從特殊到特殊的推理，是合情推理的又一重要形式。應(yīng)用類比推理可以引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和方法，去聯(lián)想、猜測和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的新知識(shí)、新規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和合情推理能力。

在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中，類比與聯(lián)想是常用的思維方法。聯(lián)想就是由一個(gè)事物想起另一個(gè)事物，由這個(gè)知識(shí)想到其他知識(shí)的思維形式。應(yīng)用類比與聯(lián)想，可以溝通新舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)新知的探究與發(fā)現(xiàn)。

第一是數(shù)學(xué)知識(shí)的類比與聯(lián)想。例如，除法算式與分?jǐn)?shù)和比都有相除的意義，在教學(xué)“比的基本性質(zhì)”時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想商不變規(guī)律和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，類推出比的基本性質(zhì)：比的前項(xiàng)、后項(xiàng)都擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，比值不變。

第二是學(xué)習(xí)方法的類比與聯(lián)想。在數(shù)學(xué)知識(shí)之間，往往不僅在結(jié)構(gòu)上具有一致性，而且在學(xué)習(xí)方法上具有相似性，先前知識(shí)的學(xué)法為后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)作了遷移的準(zhǔn)備。例如，小數(shù)除法的教材編排體系，推理的形式與根據(jù)，都與小數(shù)乘法相似。在教學(xué)“小數(shù)除法的計(jì)算法則”時(shí)，只要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)小數(shù)點(diǎn)位置移動(dòng)引起小數(shù)大小變化的規(guī)律，在計(jì)算時(shí)把除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)去掉，轉(zhuǎn)化為整數(shù)，除數(shù)擴(kuò)大多少倍，被除數(shù)也擴(kuò)大多少倍，然后按照小數(shù)除以整數(shù)的方法計(jì)算。這樣學(xué)生既懂了算理，又理解了每步計(jì)算的意義。

第三是探究思路的類比與聯(lián)想。嘗試探究數(shù)學(xué)知識(shí)的思路與方法，不是憑空想象，而是根據(jù)一定的思路或經(jīng)驗(yàn)作出探索性判斷，是在已有思路與方法的基礎(chǔ)上的合情推理。例如，在教學(xué)“體積單位”時(shí)，先讓學(xué)生回憶長度和面積單位，后猜測度量體積單位的思路與方法。學(xué)生說，度量長度單位是用1厘米、1分米、1米去量物體；度量面積是用1平方厘米、1平方分米、1平方米去度量物體的面。在此基礎(chǔ)上，不少學(xué)生會(huì)類比聯(lián)想到度量物體的體積應(yīng)該是長、寬、高都是1厘米、1分米、1米的正方體。通過學(xué)具操作，既理解了體積單位，又理解了它們之間的進(jìn)率。這樣，學(xué)生充分利用了已有思路的類比與聯(lián)想，從幾何圖形的點(diǎn)、線、面、體聯(lián)系中，成功地實(shí)現(xiàn)了一維空間到二維空間，再到三維空間的飛躍。

類比推理是培養(yǎng)學(xué)生合情推理的有效方法之一，但值得注意的是類比推理的根據(jù)不夠充分，有時(shí)所得的結(jié)論是或然的。例如，由長方形面積公式可以直接推出正方形面積公式：邊長×邊長，但不能推出平行四邊形的面積計(jì)算公式，底邊與另一鄰邊相乘。

三、合情推理與演繹推理相結(jié)合，不斷提高推理水平

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，合情推理和演繹推理是主要的思維形式。演繹推理是從已有的數(shù)學(xué)事實(shí)和確定的規(guī)則出發(fā)，按照邏輯推理的法則加以證明和計(jì)算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成。合情推理用于探索思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，演繹推理用于證明結(jié)論。因此，在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中，還要注意合情推理和演繹推理的有機(jī)結(jié)合，促進(jìn)其和諧發(fā)展，讓學(xué)生的推理水平提高到新的高度。

大量教學(xué)實(shí)踐證明，合情推理與演繹推理是密切聯(lián)系，相互促進(jìn)的。例如，教學(xué)乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法：“28×12”，先讓學(xué)生估算，積可能是300多；接著通過口算，把12分解成6乘2或10加2，分別與28相乘，積都是336；再接著進(jìn)行豎式計(jì)算：先用個(gè)位上的2與28相乘，積是56，在此基礎(chǔ)上類比，猜十位上的“1”與28相乘，所得的積是280；最后把兩次乘得的積相加，結(jié)果是336，進(jìn)而得出乘數(shù)是兩位數(shù)的計(jì)算法則，并通過“試一試”及驗(yàn)算，證明其筆算過程與方法的正確性與普遍性。這樣的探索過程，既應(yīng)用了合情推理，也體現(xiàn)了合情推理與演繹推理的有機(jī)結(jié)合，有效地促進(jìn)了算理、法則的有效合成和推理水平的提高。

總之，合情推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，而學(xué)生合情推理水平的提高關(guān)鍵在教師。如果教師在日常教學(xué)中，注重在新課程標(biāo)準(zhǔn)的指引下，深入鉆研教材，在“數(shù)與代數(shù)”的具體內(nèi)容中挖掘推理因素，并在實(shí)施過程中確定教學(xué)定位及其價(jià)值取向，有意識(shí)、有計(jì)劃、合理靈活地應(yīng)用推理形式，就能讓學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的同時(shí)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)創(chuàng)新。？筻endprint

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出：“合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等判斷某些結(jié)果。”“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式”，合情推理能力是推理能力的重要組成部分。培養(yǎng)小學(xué)生的合情推理能力，不僅是人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、探索解決問題的思路和方法的需要，更是今后工作、生活和終身學(xué)習(xí)的需要。

“數(shù)與代數(shù)”在小學(xué)數(shù)學(xué)的四個(gè)內(nèi)容領(lǐng)域中占有很大的比重，其中的定義、定律、性質(zhì)、法則和規(guī)律的得出，都是通過合情推理的思維方式得來的。在這些數(shù)學(xué)知識(shí)的大量背景材料中，既是凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，又是培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的最好教學(xué)資源。

如何培養(yǎng)學(xué)生合情推理的能力？《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“教師在教學(xué)過程中，應(yīng)該設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、嘗試、估計(jì)、歸納、類比、畫圖等活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力?！睘榇?，筆者在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)實(shí)踐中，以新課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，根據(jù)小學(xué)生的年齡特點(diǎn)和思維發(fā)展水平，主要采用歸納推理和類比推理的方法，讓學(xué)生在獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，發(fā)展合情推理能力。

一、應(yīng)用不完全歸納推理，發(fā)展學(xué)生合情推理能力

歸納推理是合情推理的主要形式之一，它是指“由某類事物中部分對(duì)象所具有的某些特征，推出該類事物也具有這些特征的推理”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，因?yàn)樾W(xué)生的年齡比較小，積累的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)不多，一般都用不完全歸納的推理形式，即通過對(duì)事物部分對(duì)象的分析得出一般性結(jié)論的推理方法。在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中應(yīng)用不完全歸納法，根據(jù)是否發(fā)現(xiàn)了歸納對(duì)象的因果規(guī)律，采取了以下兩種歸納推理的方法。

第一種是枚舉歸納法。它是通過枚舉而沒有碰到矛盾事實(shí)的歸納方法。例如，在“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”的教學(xué)中，蘇教版（下同）教材安排了兩個(gè)例題：例1讓學(xué)生在四個(gè)圓形圖中，依次找出與第一個(gè)圓形（ ）相等的分?jǐn)?shù)，并填入等式，得 = = ；例2用一張涂色部分是 的正方形紙，讓學(xué)生經(jīng)過四次對(duì)折，依次找出與 相等的分?jǐn)?shù)，用等式表示： = = = 。操作之后，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察例1、例2等式中的分母、分子是怎樣變化的。學(xué)生在從左到右、從右到左的有序而全面的觀察中，發(fā)現(xiàn)每個(gè)等式中的分母、分子，依次同時(shí)乘（或除）2、3、4……圖中陰影部分的大小沒有變，也就說明分?jǐn)?shù)的大小沒有變。學(xué)生在此基礎(chǔ)上根據(jù)同一屬性在一些同類對(duì)象中不斷重復(fù)，而沒有遇上矛盾的情況，經(jīng)過歸納、概括得出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。為了證明它的正確性，教師又讓學(xué)生在“練一練”中用“涂一涂、填一填”的方法，也得出了 = 、 = ，說明所有的分?jǐn)?shù)都具有這種性質(zhì)。

應(yīng)用枚舉歸納法能幫助我們提供嘗試探究數(shù)學(xué)規(guī)律的線索和方向，比較迅速地從數(shù)學(xué)事實(shí)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。尤其是枚舉歸納法比較簡單具體，容易為思維能力尚不發(fā)達(dá)的小學(xué)生所接受，不失為培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力和抽象概括能力的思維形式。例如，加法、乘法的運(yùn)算定律和減法的性質(zhì)等都是用枚舉歸納法得出的。

第二種是科學(xué)歸納法。它是在分析并發(fā)現(xiàn)某類事物的因果規(guī)律之后，得出關(guān)于該類事物的一般結(jié)論的不完全歸納法?？茖W(xué)歸納法是枚舉歸納法的延伸與發(fā)展。

例如，小數(shù)乘法分兩段教學(xué)。小數(shù)乘整數(shù)的方法，教材中采用枚舉歸納法，先把小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為小數(shù)加法，再把小數(shù)看作整數(shù)進(jìn)行乘法計(jì)算，在小數(shù)加法豎式中和是幾位數(shù)，就在小數(shù)乘法算式的積中點(diǎn)上幾位，讓學(xué)生在比較歸納中得出計(jì)算方法。接著教學(xué)小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)引起小數(shù)大小的變化，用科學(xué)歸納法教學(xué)小數(shù)乘小數(shù)，計(jì)算“1.15×2.8”時(shí)，因?yàn)橄劝研?shù)看作整數(shù)相乘，1.15擴(kuò)大了100倍，2.8擴(kuò)大了10倍，這樣計(jì)算的積擴(kuò)大了1000倍（100×10），于是計(jì)算的結(jié)果要還原為小數(shù)，積就應(yīng)該縮小1000倍，所以積中應(yīng)有三位小數(shù)，即等于兩個(gè)因數(shù)中小數(shù)位數(shù)的和，進(jìn)而歸納得出小數(shù)乘法的通用法則：先按整數(shù)乘法算出積，再看因數(shù)中一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。從此，不再分小數(shù)乘整數(shù)、整數(shù)乘小數(shù)的法則。在教學(xué)這道題的過程中，學(xué)生對(duì)其中小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)引起小數(shù)大小的變化與小數(shù)乘法的計(jì)算法則之間的因果關(guān)系都非常明確，算理更清晰，算法更具有普遍性，邏輯性更強(qiáng)。學(xué)生在學(xué)會(huì)了法則的同時(shí)，又受到了合情推理方法的教學(xué)與訓(xùn)練。

二、應(yīng)用類比推理，發(fā)展學(xué)生合情推理能力

類比推理是由兩個(gè)事物的某些屬性相同，推出它們另一屬性也可能相同的一種推理方式。歸納推理是從特殊到一般的推理，類比推理是由歸納推理派生出來的，從特殊到特殊的推理，是合情推理的又一重要形式。應(yīng)用類比推理可以引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和方法，去聯(lián)想、猜測和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的新知識(shí)、新規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和合情推理能力。

在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中，類比與聯(lián)想是常用的思維方法。聯(lián)想就是由一個(gè)事物想起另一個(gè)事物，由這個(gè)知識(shí)想到其他知識(shí)的思維形式。應(yīng)用類比與聯(lián)想，可以溝通新舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)新知的探究與發(fā)現(xiàn)。

第一是數(shù)學(xué)知識(shí)的類比與聯(lián)想。例如，除法算式與分?jǐn)?shù)和比都有相除的意義，在教學(xué)“比的基本性質(zhì)”時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想商不變規(guī)律和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，類推出比的基本性質(zhì)：比的前項(xiàng)、后項(xiàng)都擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，比值不變。

第二是學(xué)習(xí)方法的類比與聯(lián)想。在數(shù)學(xué)知識(shí)之間，往往不僅在結(jié)構(gòu)上具有一致性，而且在學(xué)習(xí)方法上具有相似性，先前知識(shí)的學(xué)法為后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)作了遷移的準(zhǔn)備。例如，小數(shù)除法的教材編排體系，推理的形式與根據(jù)，都與小數(shù)乘法相似。在教學(xué)“小數(shù)除法的計(jì)算法則”時(shí)，只要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)小數(shù)點(diǎn)位置移動(dòng)引起小數(shù)大小變化的規(guī)律，在計(jì)算時(shí)把除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)去掉，轉(zhuǎn)化為整數(shù)，除數(shù)擴(kuò)大多少倍，被除數(shù)也擴(kuò)大多少倍，然后按照小數(shù)除以整數(shù)的方法計(jì)算。這樣學(xué)生既懂了算理，又理解了每步計(jì)算的意義。

第三是探究思路的類比與聯(lián)想。嘗試探究數(shù)學(xué)知識(shí)的思路與方法，不是憑空想象，而是根據(jù)一定的思路或經(jīng)驗(yàn)作出探索性判斷，是在已有思路與方法的基礎(chǔ)上的合情推理。例如，在教學(xué)“體積單位”時(shí)，先讓學(xué)生回憶長度和面積單位，后猜測度量體積單位的思路與方法。學(xué)生說，度量長度單位是用1厘米、1分米、1米去量物體；度量面積是用1平方厘米、1平方分米、1平方米去度量物體的面。在此基礎(chǔ)上，不少學(xué)生會(huì)類比聯(lián)想到度量物體的體積應(yīng)該是長、寬、高都是1厘米、1分米、1米的正方體。通過學(xué)具操作，既理解了體積單位，又理解了它們之間的進(jìn)率。這樣，學(xué)生充分利用了已有思路的類比與聯(lián)想，從幾何圖形的點(diǎn)、線、面、體聯(lián)系中，成功地實(shí)現(xiàn)了一維空間到二維空間，再到三維空間的飛躍。

類比推理是培養(yǎng)學(xué)生合情推理的有效方法之一，但值得注意的是類比推理的根據(jù)不夠充分，有時(shí)所得的結(jié)論是或然的。例如，由長方形面積公式可以直接推出正方形面積公式：邊長×邊長，但不能推出平行四邊形的面積計(jì)算公式，底邊與另一鄰邊相乘。

三、合情推理與演繹推理相結(jié)合，不斷提高推理水平

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，合情推理和演繹推理是主要的思維形式。演繹推理是從已有的數(shù)學(xué)事實(shí)和確定的規(guī)則出發(fā)，按照邏輯推理的法則加以證明和計(jì)算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成。合情推理用于探索思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，演繹推理用于證明結(jié)論。因此，在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中，還要注意合情推理和演繹推理的有機(jī)結(jié)合，促進(jìn)其和諧發(fā)展，讓學(xué)生的推理水平提高到新的高度。

大量教學(xué)實(shí)踐證明，合情推理與演繹推理是密切聯(lián)系，相互促進(jìn)的。例如，教學(xué)乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法：“28×12”，先讓學(xué)生估算，積可能是300多；接著通過口算，把12分解成6乘2或10加2，分別與28相乘，積都是336；再接著進(jìn)行豎式計(jì)算：先用個(gè)位上的2與28相乘，積是56，在此基礎(chǔ)上類比，猜十位上的“1”與28相乘，所得的積是280；最后把兩次乘得的積相加，結(jié)果是336，進(jìn)而得出乘數(shù)是兩位數(shù)的計(jì)算法則，并通過“試一試”及驗(yàn)算，證明其筆算過程與方法的正確性與普遍性。這樣的探索過程，既應(yīng)用了合情推理，也體現(xiàn)了合情推理與演繹推理的有機(jī)結(jié)合，有效地促進(jìn)了算理、法則的有效合成和推理水平的提高。

總之，合情推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，而學(xué)生合情推理水平的提高關(guān)鍵在教師。如果教師在日常教學(xué)中，注重在新課程標(biāo)準(zhǔn)的指引下，深入鉆研教材，在“數(shù)與代數(shù)”的具體內(nèi)容中挖掘推理因素，并在實(shí)施過程中確定教學(xué)定位及其價(jià)值取向，有意識(shí)、有計(jì)劃、合理靈活地應(yīng)用推理形式，就能讓學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的同時(shí)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)創(chuàng)新。？筻endprint