周國(guó)全

(武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 湖北 武漢 430072)

相互耦合的并聯(lián)與串聯(lián)線圈的等效自感問(wèn)題，是電磁學(xué)與電工學(xué)研究中有關(guān)電磁感應(yīng)與耦合線圈的重要內(nèi)容之一[1～4]．相互沒(méi)有耦合的并聯(lián)線圈的等效自感系數(shù)可通過(guò)交流電的復(fù)阻抗的并聯(lián)公式簡(jiǎn)單計(jì)算．在N個(gè)線圈串聯(lián)耦合情形，其等效自感系數(shù)可用磁場(chǎng)等效儲(chǔ)能法簡(jiǎn)單求出，目前文獻(xiàn)中已有關(guān)于N=2情形的結(jié)論,并可很容易地推廣到N>2情形[1～4]；在并聯(lián)耦合情形，文獻(xiàn)[3～5]給出了無(wú)直流內(nèi)阻的兩個(gè)自感線圈并聯(lián)耦合時(shí)的等效自感公式

(1)

其中L1，L2為兩線圈的自感系數(shù),M為兩線圈的互感系數(shù)．文獻(xiàn)[3～5]還討論了兩個(gè)有直流內(nèi)阻的自感線圈并聯(lián)耦合的等效去偶電路及其等效自感問(wèn)題．在多個(gè)線圈之間自感與互感交叉并存的情形，我們無(wú)法通過(guò)業(yè)經(jīng)解決的兩耦合并聯(lián)線圈的已有結(jié)論加以歸納推理．

本文基于電磁感應(yīng)的基本原理，運(yùn)用線性代數(shù)中高階矩陣與行列式的若干技巧，和齊次線性微分方程組的非平庸解的存在性條件，成功地推導(dǎo)出N個(gè)相互耦合、無(wú)直流內(nèi)阻的并聯(lián)線圈的等效自感系數(shù)，即由它們的自感與互感系數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)分別為N階與N-1階的矩陣的行列式之比；給出了存在反向耦合情形的符號(hào)規(guī)則；并對(duì)若干特例情形進(jìn)行了具體計(jì)算，所得結(jié)論也與文獻(xiàn)已有結(jié)果相符．對(duì)其特例的研究表明，相互之間完全沒(méi)有耦合的N個(gè)并聯(lián)線圈的等效自感系數(shù),與通過(guò)交流電的復(fù)阻抗的并聯(lián)公式求出的結(jié)果相符；而對(duì)完全耦合這一極限情形，本文也分類做了分析與討論．

1 N個(gè)并聯(lián)耦合線圈的等效自感系數(shù)的一個(gè)定理

由于第i，j兩個(gè)線圈之間的互感系數(shù)是滿足所謂Neumann關(guān)系:Mij=Mji, 出于理論推導(dǎo)與數(shù)學(xué)表達(dá)的簡(jiǎn)潔、緊湊與對(duì)稱性的考慮，可將第i個(gè)線圈的自感系數(shù)Li重新標(biāo)記為L(zhǎng)i≡Mii，i=1,2,…,N, 即自感系數(shù)亦可理解為一個(gè)線圈自己對(duì)自己的互感．于是有如下定理:

(2)

(3)

(i,j=1,2,…,N-1)

(4)

茲證明如下：如圖1所示是N=3時(shí)的示意圖, 運(yùn)用法拉第電磁感應(yīng)定律，根據(jù)并聯(lián)耦合電路的總感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)ε(t)與各支路感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)εi(t)、瞬時(shí)總電流與瞬時(shí)支路電流Ii(t)的關(guān)系，忽略各線圈的直流內(nèi)阻，考慮自感與互感同時(shí)存在的一般情形，并設(shè)Le代表N個(gè)并聯(lián)耦合線圈的等效自感系數(shù)，有如下等式

圖1 并聯(lián)耦合感應(yīng)線圈示意圖

ε(t)=ε1(t)=ε2(t)=…=

(5)

I(t)=I1(t)+I2(t)+…IN(t)

(6)

(7a)

(7b)

………

(7c)

根據(jù)式(5)、(6)，方程組7(a)～7(c)即如下矩陣形式

(8)

這個(gè)N元一階齊次線性微分方程組又可表述為如下矩陣形式

(8b)

注意式(8)與式(8a)、(8b)中的系數(shù)矩陣是一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，這是因?yàn)槠渲蠱ij=Mji,Mii=Li,i,j=1,2,…,N．根據(jù)N元一階齊次線性微分方程組的非平庸解的存在性條件，如果對(duì)任意的時(shí)變電流(如任意頻率的交流電)，方程組(8)與(8a)、(8b)均有非平庸解(平庸解即對(duì)應(yīng)于直流穩(wěn)恒情形，各導(dǎo)數(shù)為零)，則其系數(shù)矩陣的行列式必定為零

(9)

這一方程表觀上是Le的一元N次方程，難以求解．實(shí)際上研究發(fā)現(xiàn)，它只是Le的一元一次方程．運(yùn)用行列式的性質(zhì)，將式(9)左邊第2，3，…，N行減去第一行，其值不變，即得式(10)

(10)

再運(yùn)用行列式的行加法性質(zhì)，將上式左邊按第一行拆分為兩項(xiàng)之差，并移項(xiàng)，提取右邊行列式第一行的公因子Le，可得式(11)

(11)

(12)

將式(11)右側(cè)行列式的第2，3，…，N列減去第1列, 其值不變，再按第一行余子式展開, 即得如下N-1階行列式

(13)

(14)

2 存在反向耦合情形的符號(hào)規(guī)則

在用基爾霍夫回路定理處理存在互感的交流回路時(shí), 應(yīng)遵守同名端規(guī)則[1～4 ]．如圖2所示，在計(jì)算存在反向耦合的并聯(lián)感應(yīng)線圈的等效自感系數(shù)時(shí)，我們面對(duì)同樣的復(fù)雜問(wèn)題．

圖2 反向并聯(lián)耦合線圈

基于如下兩個(gè)基本事實(shí): 即兩個(gè)順向(反向)耦合的并聯(lián)載流線圈的互感儲(chǔ)能為正(負(fù))的，以及無(wú)論兩線圈是順向或反向耦合，每個(gè)載流感應(yīng)線圈的自感儲(chǔ)能均為正值，可以推斷公式(2)與矩陣(3)、(4)中線圈之間的互感項(xiàng)的符號(hào)取法，即應(yīng)落腳于互感項(xiàng)相對(duì)于其自感項(xiàng)的符號(hào)的比較而定，正像N個(gè)耦合載流線圈的磁場(chǎng)儲(chǔ)能公式一樣，有

(15a)

其中Ii是第i個(gè)線圈的電流．我們可在每個(gè)自感與互感系數(shù)前添加一符號(hào)因子εij=±1，據(jù)此將磁場(chǎng)儲(chǔ)能公式(15a)改寫為

(15b)

比較(15a)、(15b)兩式，可對(duì)矩陣(3)、(4)的元素訂立如下符號(hào)規(guī)則

亦即εii=1

(16a)

(16b)

εi+1,1Mi+1,1-ε1,j+1M1,j+1i,j=1,2,…,N

(16c)

3 N=2, 3時(shí)的若干特例情形的具體結(jié)論

M11M22-M12M21=L1L2-M2

(17)

(18)

將(17)、(18)二式代入公式(2)可得式(1)，正是文獻(xiàn)[3～5]所給的已知結(jié)果, 表明我們所推導(dǎo)的公式(2)對(duì)兩個(gè)線圈的并聯(lián)耦合情形是正確無(wú)誤的．在兩個(gè)線圈反向耦合時(shí)，如圖2所示，按本文第三部分的符號(hào)規(guī)則，可知

(19)

即得反向耦合的并聯(lián)感應(yīng)線圈的等效自感系數(shù)表達(dá)式[3～5 ]

(20)

當(dāng)N=3時(shí)，即對(duì)3個(gè)耦合的并聯(lián)感應(yīng)線圈，有

M11M22M33+M12M23M31+M21M32M13

-M32M23M11-M31M22M13-M21M12M33=

(21)

L1+M32-M21-M31L1+M23-M12-M13

(22)

再將式(21)、(22)代入公式(2)，即得3個(gè)順向耦合的并聯(lián)線圈的等效自感系數(shù)的計(jì)算公式．

4 完全不耦合的并聯(lián)線圈的等效自感系數(shù)

當(dāng)N個(gè)線圈并聯(lián)但完全不耦合時(shí)，(僅限于順向并聯(lián)情形)，即Mij=Mji=0，(i,j=1,2,…,N，且i≠j)，此時(shí)并聯(lián)線圈的等效自感系數(shù)由

(23)

+L1L2…LN-2LN+L1L2…LN-1=

(24)

(25a)

即得

(25b)

這顯然與用交流電的復(fù)阻抗的并聯(lián)公式計(jì)算去耦(Decoupled)并聯(lián)感應(yīng)線圈的等效復(fù)阻抗的結(jié)果是彼此一致的，再一次證明我們所得公式(2)的正確性與有效性．

5 全同對(duì)稱的并聯(lián)耦合情形的等效自感系數(shù)

所謂全同對(duì)稱的并聯(lián)耦合情形，即

L1=L2=…=Ln≡L

Mij=Mji=M(i,j=1,2,…，N)

但L≠M(fèi)的情形，此時(shí)，有

[L+(N-1)M](L-M)N-1

(26)

(27)

(28)

計(jì)算出(26)與(27)式中行列式的結(jié)果是需要一定的數(shù)學(xué)技術(shù)的．它們可化成兩個(gè)遞推數(shù)列之通項(xiàng)的求解問(wèn)題．限于篇幅，我們將它們留給讀者自己完成．在N=2時(shí)，按式(28)，有

(29)

這顯然也與用公式(1)在全同對(duì)稱情形的化簡(jiǎn)結(jié)果彼此一致．

再如N=3時(shí)

(30)

(31)

故有

(32)

這再次表明我們所得公式(2)與 (28)的正確性與有效性．

6 完全耦合的并聯(lián)線圈的等效自感的一點(diǎn)討論

文獻(xiàn)[1～6 ]等均指出或證明兩個(gè)線圈之間若完全耦合, 則其互感系數(shù)必為彼此自感系數(shù)的比例中項(xiàng)．即

Li≡LMij=Mji=M(i,j=1,2,…N)

Le=L=L1=L2=…=LN

(33)

7 結(jié)論與前瞻

在最一般的情形，耦合線圈之間可以是既有并聯(lián)又有串聯(lián)的混合聯(lián)接方式．任意N個(gè)串聯(lián)且相互耦合的線圈的等效自感系數(shù)可通過(guò)磁能等效法簡(jiǎn)單求出，[參考式(15a)、(15b)]，且同樣可通過(guò)本文給定的符號(hào)規(guī)則來(lái)解決存在反向耦合的等效自感問(wèn)題．本文的定理[公式(2)]成功解決了N個(gè)并聯(lián)且相互耦合線圈的等效自感問(wèn)題，其對(duì)各種特例情形的具體結(jié)論，均與文獻(xiàn)中已有的結(jié)果相符，檢驗(yàn)和證實(shí)了理論的正確性．這為進(jìn)一步處理混聯(lián)且相互耦合的線圈的等效自感問(wèn)題奠定了理論基礎(chǔ)，并將有益于電磁場(chǎng)、電路分析及電工學(xué)的教學(xué)與研究．

參考文獻(xiàn)

1 賈起民，鄭永令，陳暨耀. 電磁學(xué).北京：高等教育出版社，2001, 223～230

2 胡友秋，程福臻，劉之景.電磁學(xué).北京： 高等教育出版社，1994.319～324

3 Charles K Alexander;Matthew N.O.Sadiku.Funda-

mentals of Electric Circuits,the McGraw-Hill Companies.Inc.2000,(First Edition),528～530,535～537,569～571

4 劉南平, 齊兆藝. 電路基礎(chǔ). 北京: 科學(xué)出版社, 2005.

148～151

5 史祥蓉、楊紹華.并聯(lián)線圈的等效自感和電流分配問(wèn)題的討論. 大學(xué)物理，2010, 29 (1):31～35

6 劉佑昌.關(guān)于互感系數(shù)M的討論.物理與工程，1995, 5(2):6～8