許 花 馮 杰 涂 泓

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院 上海 200234)

機(jī)械波是大學(xué)物理力學(xué)的重要內(nèi)容，在討論機(jī)械波能量的問題時(shí)，由于縱波比較抽象，現(xiàn)有文獻(xiàn)通常以橫波為例推導(dǎo)平面簡諧波的動(dòng)能和勢能[1，2]，對橫波能量的探討相對比較全面深入[3]，少數(shù)文獻(xiàn)討論波動(dòng)能量時(shí)簡單提及縱波，沒有進(jìn)行深入的探討．現(xiàn)有關(guān)于縱波的討論也比較集中在縱波波峰、波谷與縱波疏密部問題上[4，5]，而對于縱波力學(xué)原理、動(dòng)能與勢能的詳細(xì)分析較少.本文根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律、廣義胡克定律等彈性力學(xué)理論，結(jié)合圖像，討論了平面簡諧縱波的動(dòng)能與勢能．

1 平面簡諧縱波能量的數(shù)學(xué)推導(dǎo)

彈性介質(zhì)元的線變產(chǎn)生縱波，各質(zhì)元振動(dòng)的方向平行于波傳播的方向，因此表現(xiàn)為各質(zhì)元間隔較小的“密部”和質(zhì)元間隔較大的“疏部”在空間做周期性的移動(dòng)．通過數(shù)學(xué)分析可知，縱波的最密集處與最疏散處均為平衡位置，縱波的波峰和波谷均位于質(zhì)點(diǎn)最密集處與最疏散處之間[6]．這樣所確定的縱波的波峰和波谷與橫波的波峰和波谷在質(zhì)元的形變、位移大小和振動(dòng)速度這三個(gè)方面就完全一致，即波的平衡位置形變最大，速度也最大，在波峰、波谷位置，形變最小，速度為零[7]．

在有簡諧縱波傳播的固體介質(zhì)內(nèi)，取一微小質(zhì)元，其橫截面積為S，長為dx，質(zhì)元中心的平衡位置為x，波的傳播速度為u．根據(jù)平面簡諧波方程

可求出其在t時(shí)刻的振動(dòng)速度為

設(shè)介質(zhì)密度為ρ，并用dV表示質(zhì)元體積，則該質(zhì)元?jiǎng)幽転?/p>

同時(shí)，質(zhì)元因形變而具有彈性勢能，質(zhì)元的形變量為dy，彈性勢能

因

故

代入上式得

可見ΔEp=ΔEk，質(zhì)元任一瞬時(shí)動(dòng)能和勢能具有相同的數(shù)值，它們是同步的，即同時(shí)達(dá)到最大值又同時(shí)達(dá)到最小值．質(zhì)元機(jī)械能等于動(dòng)能與勢能之和

即它的機(jī)械能也隨時(shí)間變化，是不守恒的.沿著波的傳播方向，該質(zhì)元不斷地從后面的介質(zhì)獲得能量，又不斷地把能量傳遞給前面的介質(zhì)．介質(zhì)的任一質(zhì)元與其臨近的質(zhì)元之間在不斷進(jìn)行能量交換，這樣，能量就隨著波動(dòng)行進(jìn)，從介質(zhì)的這一部分傳向另一部分．機(jī)械能不守恒表明波的傳播過程也是能量傳遞的過程，所以波動(dòng)是能量傳遞的一種方式[8]．

2 平面簡諧縱波能量的圖像 力學(xué)原理分析

縱波在介質(zhì)中傳播,各質(zhì)元的諧振動(dòng)方向平行于波的傳播方向．在縱波通過的區(qū)域里,介質(zhì)發(fā)生體積變化,有彈性形變,如圖1所示，彈力F的方向、質(zhì)元本身的彈性形變都平行于波速u(向右)．彈力F在質(zhì)元本身的彈性形變上所做的功等于質(zhì)元的彈性勢能的增量．質(zhì)元在振動(dòng)過程中具有與u平行的加速度,是因?yàn)橘|(zhì)元兩端附近的形變程度不同,兩端受到的彈力不等(假設(shè)各質(zhì)元平衡位置均為介質(zhì)自然狀態(tài)時(shí)各質(zhì)元所處的位置，疏部受拉、密部受壓),彈力的矢量和dF是質(zhì)元產(chǎn)生加速度的原因,dF在質(zhì)元的振動(dòng)位移上所做的功等于質(zhì)元?jiǎng)幽艿脑隽浚?/p>

圖1

以均勻的、各向同性的、無吸收的彈性固體介質(zhì)為例，在介質(zhì)內(nèi),以某一波線為x軸,x軸的正方向與波速u的相同,選取振動(dòng)位移為y軸，沿波速方向?yàn)檎?，平衡位置為零．在波線上位置x處取長為dx的質(zhì)元．用垂直于波速u的切面去切開介質(zhì)和質(zhì)元,在同一切面所截出的兩個(gè)端面上,彈力大小相等、方向相反,符合牛頓第三定律．

2.1 質(zhì)元的受力與運(yùn)動(dòng)情況分析

如圖1所示,C質(zhì)元為最疏部，即到達(dá)它的平衡位置，此刻振動(dòng)方向?yàn)檠豿軸負(fù)方向，因?yàn)閷ΨQ性,左右截面附近的形變程度完全相同,所以左右截面受到的拉力大小相等，方向相反．

2.2 動(dòng)能ΔEk

如圖1，質(zhì)元D位于最疏部與最密部之間的波峰，形變量為零，D截面F=0，質(zhì)元D左邊鄰近的介質(zhì)被拉伸，給予其向左(與波速方向相反，為負(fù)值)的拉力，質(zhì)元D左邊鄰近的介質(zhì)被壓縮，給其向左(為負(fù))的壓力，質(zhì)元D的兩個(gè)端面上彈力的矢量和為-dF(兩力大小相加)；質(zhì)元A為最密部，位于平衡位置，由于對稱性，左右截面鄰近質(zhì)元由于受擠壓的形變程度完全相同，左右截面受到的壓力大小相等，方向相反，質(zhì)元A兩個(gè)端面上彈力的矢量和為零；質(zhì)元D與質(zhì)元A之間的質(zhì)元均被擠壓，由于各質(zhì)元左右鄰近的介質(zhì)形變量不同，各質(zhì)元兩個(gè)端面上彈力的矢量和為兩端彈力大小相減、方向向左(為負(fù)值)．

實(shí)際上，質(zhì)元的兩個(gè)端面上彈力的矢量和dF與質(zhì)元離開平衡位置的位移y的大小成正比,而方向相反，是質(zhì)元振動(dòng)加速度的原因．圖2(b)表示對應(yīng)于圖2(a)中在不同時(shí)刻的振動(dòng)位置,某一質(zhì)元的兩個(gè)端面上彈力的矢量和dF隨時(shí)間t變化的曲線,圖中箭頭表示dF的方向．質(zhì)元從正的最大位移處由靜止開始向平衡位置做加速運(yùn)動(dòng),dF做正功,動(dòng)能增大；到平衡位置處,y=0,dF=0,質(zhì)元加速度a=0,速率v最大,動(dòng)能ΔEk最大．在慣性作用下,質(zhì)元從平衡位置向負(fù)的最大位移運(yùn)動(dòng),與上述過程相反,dF做負(fù)功,動(dòng)能逐漸減?。竭_(dá)負(fù)的最大位移時(shí),dF最大,a最大,v=0,動(dòng)能ΔEk為零．從此處開始,質(zhì)元又從靜止開始向平衡位置做加速運(yùn)動(dòng),力dF與動(dòng)能ΔEk的變化與前述過程類似．圖2(d)表示對應(yīng)于圖2(a)在不同時(shí)刻的振動(dòng)位置,質(zhì)元的動(dòng)能ΔEk隨時(shí)間t的變化．

圖2

2.3 彈性勢能ΔEp

彈力F作用于質(zhì)元的兩端截面上,將使質(zhì)元發(fā)生彈性形變dy．彈力與彈性形變成正比,服從廣義胡克定律．該力在質(zhì)元本身的彈性形變上所做的功等于質(zhì)元因?yàn)樾巫兌哂械膹椥詣菽艿脑隽浚谡淖畲笪灰铺?形變?yōu)榱?彈力F=0,彈性勢能為零；在向平衡位置運(yùn)動(dòng)過程中,形變逐漸加大,F增大,質(zhì)元的彈性勢能ΔEp增大；直到平衡位置時(shí),彈性形變最大,F最大,相應(yīng)的彈性勢能由零變到了最大．從平衡位置運(yùn)動(dòng)到負(fù)的最大位移處,彈力F、彈性形變及彈性勢能必然由最大值不斷減小到零．圖2(c)表示對應(yīng)于圖2(a)的振動(dòng)位置,質(zhì)元右端面受質(zhì)元施加彈力F隨時(shí)間t變化曲線(圖1中波峰左疏右密，波谷左密右疏，圖2中質(zhì)點(diǎn)t=0時(shí)刻位于正的最大位移處，彈力F=0；向其平衡位置振動(dòng)過程中，F(xiàn)增大，且該質(zhì)點(diǎn)將處于疏部，質(zhì)元被拉伸，右端面所受的質(zhì)元的彈力為拉力，方向向左，即沿x軸負(fù)方向；當(dāng)質(zhì)點(diǎn)由負(fù)的最大位移處向其平衡位置振動(dòng)過程中，彈力由零開始增大，質(zhì)點(diǎn)將開始處在密部，質(zhì)元被壓縮，右端面所受的質(zhì)元的彈力為壓力，方向向右，即沿x軸正方向)．

2.4 機(jī)械能ΔE

從上述分析可見,質(zhì)元的彈性形變和彈性勢能都隨彈力F的增大而增大,并且都隨質(zhì)元離開平衡位置的位移大小|y|減小而增大．質(zhì)元的速度大小與動(dòng)能大小皆隨所受的力|dF|的減小而增大,并且都隨位移大小|y|減小而增大．綜合這兩個(gè)方面,質(zhì)元的機(jī)械能必定隨|y|的減小而增大或者隨|y|的增大而減小,即處在平衡位置時(shí),ΔE最大；在最大位移處時(shí),ΔE=0．圖2(d)表示對應(yīng)于圖上在不同時(shí)刻的振動(dòng)位置,質(zhì)元的動(dòng)能ΔEk隨時(shí)間t的變化．ΔEp的變化與ΔEk的相同．ΔE的變化與ΔEk和ΔEp同步,ΔE的振幅是ΔEk或ΔEp的兩倍．

3 總結(jié)與延伸

縱波在彈性介質(zhì)中傳播時(shí)與橫波相比較，雖然介質(zhì)的形變不同，但這兩種波動(dòng)的最基本的形式相同，在傳播過程中具有相同的能量．并且在波動(dòng)中，動(dòng)能和勢能是同相位的，它們同時(shí)達(dá)到最大值又同時(shí)達(dá)到最小值，因此對任意體積元，它的機(jī)械能是不守恒的．

傳播簡諧波的介質(zhì)質(zhì)元不滿足簡諧振動(dòng)的一些特點(diǎn)．為什么機(jī)械波動(dòng)能與勢能同步？簡諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，動(dòng)能與勢能相互轉(zhuǎn)換，是此消彼長的關(guān)系，不是同步的，位移最大處，速度為零，勢能最大；平衡位置速度最大，勢能為零．在波動(dòng)中，對任意體積元，它的機(jī)械能是不守恒的．介質(zhì)質(zhì)元在最大位移處速度為零，在平衡位置速度最大，這點(diǎn)與簡諧振動(dòng)相同，但是勢能的情況不相同．

彈簧振子的勢能與其位移相關(guān)，振動(dòng)的位移即為彈性形變，所以當(dāng)位移最大時(shí)，彈性形變最大，振子的勢能也最大，當(dāng)振子處于平衡位置時(shí)，彈性形變量為零，勢能也為零．而波動(dòng)中的介質(zhì)質(zhì)元的振動(dòng)位移并不是其形變量，反而是處于平衡位置時(shí)，介質(zhì)形變最大，勢能最大，與動(dòng)能同步．通過對比不難發(fā)現(xiàn)，與彈簧振子連結(jié)的彈簧一端被固定，系統(tǒng)能量守恒，而波動(dòng)中各介質(zhì)都能在其平衡位置附近往復(fù)運(yùn)動(dòng)，能量傳遞，最初能量由波源提供．若不單考慮做簡諧振動(dòng)的彈簧振子，將彈簧也劃分為一個(gè)個(gè)微小質(zhì)元，各質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)情況與彈簧振子一致，即所有質(zhì)元和彈簧振子同時(shí)到達(dá)最大位移處，速度為零，各質(zhì)元形變最大；又同時(shí)回到平衡位置，速度達(dá)到最大，各質(zhì)元形變?yōu)榱?，也就是各質(zhì)元(包括彈簧振子)相位相同，但各質(zhì)元的振幅不同．而平面簡諧波在彈性介質(zhì)中傳播時(shí)的特點(diǎn)是各質(zhì)元的振幅相同，但相位不同．

參考文獻(xiàn)

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8 王翔,周玲,郭中華.波動(dòng)能量的研究.甘肅高師學(xué)報(bào)，2010(2)：18

Abstract:In this paper we focus on the plane harmonic longitudinal waves transmission in a elastic medium and discuss the kinetic energy and the potential energy of the plane harmonic longitudinal waves from three aspects:function expression method,graph expression method and mechanics principle showing the essence and elementary law of energy transfer of the plane harmonic longitudinal waves through analysis of the force condition,deformation and motion of material element.

Keyword:the plane harmonic longitudinal waves；elastic medium；elasticity modulus；kinetic energy；potential energy