王禮祥

(西南民族大學(xué)預(yù)科教育學(xué)院 四川 成都 610041)

1 引言

眾所周知，電場(chǎng)是既看不見(jiàn)又摸不著,但它卻客觀實(shí)實(shí)在在地存在，是存在于電荷周圍的一種特殊物質(zhì)(源、場(chǎng)與空間密不可分，因此電場(chǎng)就是一種特殊的空間)，它的特殊性就表現(xiàn)為能對(duì)電荷施力和能對(duì)電荷做功；換句話說(shuō)電場(chǎng)既具有力的性質(zhì)又有能量的性質(zhì).電場(chǎng)的這種特殊性決定了對(duì)電場(chǎng)的研究和描述也得從特殊空間的構(gòu)成(電荷周圍空間的特殊物質(zhì))出發(fā)，引入描述電場(chǎng)力性質(zhì)的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和描述電場(chǎng)能量性質(zhì)的電勢(shì)，由點(diǎn)、線、面、體全面把握電場(chǎng)的性質(zhì)和規(guī)律；以電場(chǎng)線與等勢(shì)面(線)直觀形象反映電場(chǎng)在空間的細(xì)微分布與相鄰場(chǎng)變化規(guī)律；結(jié)合電場(chǎng)線與等勢(shì)面(線)在空間的分布疏密程度,就能進(jìn)一步從幾何上直觀形象地由定性到定量對(duì)電場(chǎng)的空間分布進(jìn)行科學(xué)刻畫(huà)，全面把握電場(chǎng)的電場(chǎng)空間特性和規(guī)律.

本文由MATLAB編程[1，2]首先繪制出均勻帶電直線段激發(fā)電場(chǎng)的分布電場(chǎng)線與等勢(shì)面(線)，然后將其推廣應(yīng)用于多個(gè)均勻帶電直線段及其任意組合帶電直線段激發(fā)的電場(chǎng)的電場(chǎng)線與等勢(shì)面(線)MATLAB編程仿真模擬[3～6]，得到幾種任意帶電直線段及其組合的電場(chǎng)空間分布場(chǎng)圖.

2 單個(gè)帶電直線段的電場(chǎng)圖

設(shè)均勻帶電直線段長(zhǎng)2L，線電荷密度為λ，位于x軸上并依y軸對(duì)稱，其端點(diǎn)為(-L，0)，(L，0)；根據(jù)對(duì)稱特性，電場(chǎng)在過(guò)對(duì)稱軸(x軸，帶電直線段)的任意平面上分布完全相同，因此三維問(wèn)題可降為二維問(wèn)題來(lái)處理；以對(duì)稱軸為x軸建立平面直角坐標(biāo)xOy，則可簡(jiǎn)易導(dǎo)出均勻帶電直線段在xOy平面上電勢(shì)表達(dá)式為

(1)

(2)

在xOy平面中用MATLAB二維等值線指令contour畫(huà)相鄰電勢(shì)差為0.25的等勢(shì)線并保持所繪制出的全部圖形得帶電直線段電場(chǎng)的電勢(shì)分布圖；用MATLAB中的梯度指令gradient從已知電勢(shì)表達(dá)式計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度分量結(jié)合流線指令streamline繪制電場(chǎng)線，同樣保持所有繪制出的流線圖得帶電直線段電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)分圖.

MATLAB源代碼是：

clear

xm=4; x=linspace(-xm,xm);

ym=3; y=linspace(-ym,ym);

[X,Y]=meshgrid(x,y);

U=log((X+1+R1)./(X-1+R2));

U(U>6)=6;

u=0.5:0.25:3;

figure

C=contour(X,Y,U,u,′LineWidth′,2);

[C,h]=contour(X,Y,U,u);

axis equal tight

hold on

plot([-xm;xm],[0;0],′LineWidth′,1)

plot([-1;1],[0;0],′k′,′LineWidth′,5)

[Ex,Ey]=gradient(-U);

[Ex,Ey]=gradient(-U,x(2)-x(1),y(2)-y(1));

x0=-1:0.1:1;

y0=0.05*ones(size(x0));

h=streamline(X,Y,Ex,Ey,x0,y0);

set(h,′LineWidth′,1)

h=streamline(X,-Y,Ex,-Ey,x0,-y0);

set(h,′LineWidth′,1)

運(yùn)行以上程序得圖1，圖中添加等勢(shì)線數(shù)據(jù)標(biāo)志.

圖1 帶電直線段電場(chǎng)圖(有電勢(shì)數(shù)值標(biāo)志)

另一方法：由電勢(shì)表達(dá)式(1)易得帶電直線段在xOy平面上的等勢(shì)線方程是

(3)

又根據(jù)電勢(shì)與電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)矢量關(guān)系E=-U，

有

(4)

而由電場(chǎng)線的正切向?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度矢量方向，可導(dǎo)出電場(chǎng)線微分方程是

(5)

解式(5)得電場(chǎng)線方程

(6)

取l=1，采用MATLAB隱函數(shù)繪制指令ezplot可通過(guò)循環(huán)繪圖與保持圖形得空間電場(chǎng)線圖和等勢(shì)線圖，如圖2.

MATLAB程序代碼：

syms x y

for C=-3:0.2:3.0

hold on;

end

for C1=-4:0.2:4

hold on;

end

plot([-5;5],[0;0],′color′,′k′,′LineWidth′,1);

x=-1:0.01:1;y=0.*x;

plot(x,y,′k′,′linewidth′,5)

圖2 均勻帶電線段電場(chǎng)圖(無(wú)電勢(shì)數(shù)值)

兩種方法編程繪制得到的電場(chǎng)圖完全一致.

3 均勻帶電直線段組合系統(tǒng)的電場(chǎng)圖

兩三段甚至于多段均勻帶電直線激發(fā)產(chǎn)生的電場(chǎng)空間分布場(chǎng)線圖與等勢(shì)線圖，由場(chǎng)與源的疊加關(guān)系在單個(gè)帶電直線段MATLAB繪制場(chǎng)圖通用程序基礎(chǔ)上適當(dāng)修改并運(yùn)行可得相應(yīng)場(chǎng)圖.

3.1 兩平行等長(zhǎng)帶電直線段的電場(chǎng)圖

應(yīng)用電勢(shì)疊加原理易得坐標(biāo)原點(diǎn)在對(duì)稱中心x軸平行于兩等長(zhǎng)平行均勻帶電直線段的電勢(shì)表達(dá)式

(7)

U=log((X+1+R1)./(X-1+R2))+log((X+1+R3)./(X-1+R4));

U(U>10)=10;

u=0.5:0.30:10;

figure

C=contour(X,Y,U,u,′LineWidth′,1);

[C,h]=contour(X,Y,U,u);

axis equal tight

……

并注意電場(chǎng)線的起始位置與對(duì)稱關(guān)系，運(yùn)行程序得其電場(chǎng)線與等勢(shì)面(線)圖3.由圖可見(jiàn)：電場(chǎng)空間分布呈現(xiàn)上下對(duì)稱和左右對(duì)稱，坐標(biāo)原點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)一定為零.

圖3 兩平行等長(zhǎng)帶電直線段的電場(chǎng)圖

3.2 L型帶電直線段的電場(chǎng)圖

類似于兩平行等長(zhǎng)帶電直線段的電場(chǎng)圖的處理方法，L型帶電直線段組合的電場(chǎng)圖也可由疊加關(guān)系簡(jiǎn)單給出，這里重點(diǎn)電場(chǎng)線繪制程序代碼：

……

plot([0;2],[0;0],′k′,′LineWidth′,5)

plot([0;0],[0;2],′k′,′LineWidth′,5)

[Ex,Ey]=gradient(-U,x(2)-x(1),y(2)-y(1));

x0=0:0.2:2; y0=0.05*ones(size(x0));

h=streamline(X,Y,Ex,Ey,x0,y0);

set(h,′color′,′black′,′LineWidth′,1)

h=streamline(X,Y,Ex,Ey,x0,-y0);

set(h,′color′,′black′,′LineWidth′,1)

y1=0:0.2:2; x1=0.05*ones(size(x0));

h=streamline(X,Y,Ex,Ey,x1,y1);

set(h,′color′,′black′,′LineWidth′,1)

h=streamline(X,Y,Ex,Ey,-x1,y1)

set(h,′color′,′black′,′LineWidth′,1)

運(yùn)行得L型帶電組合直線段的電場(chǎng)線和等勢(shì)線圖，如圖4.

圖4 L型帶電直線段的電場(chǎng)圖

3.3 Y型帶電直線段的電場(chǎng)圖

Y型帶電直線段的電場(chǎng)圖采用空間電勢(shì)應(yīng)用點(diǎn)電荷電勢(shì)疊加法數(shù)值計(jì)算并用國(guó)際單位制電學(xué)量數(shù)值模擬.

代碼：

clear

E0=8.85e-12; C0=1/4/pi/E0;

xm=3; ym=4;

x=linspace(-xm,xm,600);

y=linspace(-ym,ym,600);

[X,Y]=meshgrid(x,y);

U=0;u=0.1e-5:0.7e-5:8e-5; q=Q/299;

a=linspace(-2,2,300);c=linspace(-3,0,300);

for k=1:299

U1=C0*q./R1; U3=C0*q./R3;U=U+U1+U3;

end

figure

grid on

contour(X,Y,U,u,′:′)

hold on

m=linspace(-2,2,3000);

plot(m,abs(m),′color′,′k′,′LineWidth′,5)

a =[0 0];b =[-3 0];plot(a,b,′color′,′k′,′LineWidth′,5)

[Ex,Ey]=gradient(-U,x(2)-x(1),y(2)-y(1));

r0=0.1;

for i1=-2:0.3:2

x1=i1;y1=abs(x1)+r0;

t=streamline(X,Y,Ex,Ey,x1,y1)

set(t,′color′,′black′,′LineWidth′,1)

s=streamline(X,Y,Ex,Ey,x1,y1-2*r0)

set(s,′color′,′black′,′LineWidth′,1)

end

for i3=-3:0.3:0

[Ex,Ey]=gradient(-U,x(2)-x(1),y(2)-y(1));

x1=r0;y1=i3;

h=streamline(X,Y,Ex,Ey,x1,y1)

set(h,′color′,′black′,′LineWidth′,1)

p=streamline(X,Y,Ex,Ey,x1-2*r0,y1)

set(p,′color′,′black′,′LineWidth′,1)

end

運(yùn)行以上程序得圖5.Y型帶電直線段的電場(chǎng)圖理應(yīng)嚴(yán)格左右對(duì)稱，但數(shù)值計(jì)算繪制所得圖形稍微偏差，原因是分離取值不對(duì)稱.

圖5 Y型帶電直線段的電場(chǎng)圖

參考文獻(xiàn)

1 周群益，侯兆陽(yáng)，劉讓英.MATLAB可視化大學(xué)物理學(xué).北京：清華大學(xué)出版社，2011

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5 楊能彪,唐晉生. 帶電荷的細(xì)圓環(huán)的電場(chǎng)解的可視化.青海師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005(04):41～42

6 劉耀康. 用計(jì)算機(jī)繪制點(diǎn)電荷對(duì)的電場(chǎng)線. 大學(xué)物理,2005(08):59～63