應(yīng)德勇

一、在等勢(shì)面上移動(dòng)電荷電場(chǎng)力不做功的應(yīng)用

根據(jù)W=q（φa-φb）可知，當(dāng)φa=φb時(shí)，W=0，因此在等勢(shì)面上移動(dòng)電荷電場(chǎng)力不做功.

圖1例1 如圖1所示，粗糙程度均勻的絕緣斜面下方O點(diǎn)處有一正點(diǎn)電荷，D點(diǎn)為O點(diǎn)在斜面上的垂足，OM=ON.帶負(fù)電的小物體以初速度v1=5 m/s從M點(diǎn)沿斜面上滑， 到達(dá)N點(diǎn)時(shí)速度恰好為零，然后又滑回到M點(diǎn)時(shí)速度大小變?yōu)関2=3 m/s.若小物體電荷量保持不變，可視為點(diǎn)電荷.

求：N點(diǎn)離斜面底邊的高度h為多少？

解析 由于M、N距O處正點(diǎn)電荷的距離相同，故M、N為等勢(shì)點(diǎn)，所以帶電體在兩點(diǎn)間運(yùn)動(dòng)時(shí)電場(chǎng)力做功為零，設(shè)物體從M到N時(shí)，克服摩擦力做的功為Wf，當(dāng)物體從M到N時(shí)，由動(dòng)能定理有-mgh-Wf=0-12mv21，物體從N到M時(shí)，由動(dòng)能定理有mgh-Wf=12mv22-0， 聯(lián)立得h=v21+v224g，代入數(shù)據(jù)得h=0.85 m.

二、等勢(shì)面與電場(chǎng)線垂直的應(yīng)用

電場(chǎng)線與等勢(shì)面垂直，則確定了等勢(shì)線，就可確定電場(chǎng)強(qiáng)度的方向.

圖2例2 勻強(qiáng)電場(chǎng)中的三點(diǎn)A、B、C是一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，AB的長(zhǎng)度為1 m，D為AB的中點(diǎn)，如圖2所示.已知電場(chǎng)線的方向平行于△ABC所在平面，A、B、C三點(diǎn)的電勢(shì)分別為14V、6V和2V.設(shè)場(chǎng)強(qiáng)大小為E，一電量為1×10-6C的正電荷從D點(diǎn)移到C點(diǎn)電場(chǎng)力所做的功為W，則（ ）.

A.W=8×10-6J，E>8 V/m

B.W=6×10-6J，E><6 V/m

C.W=8×10-6J，E≤8 V/m

D.W=6×10-6J，E≤6 V/m

圖3解析 如圖3所示，由題勻強(qiáng)電場(chǎng)中，根據(jù)在勻強(qiáng)電場(chǎng)內(nèi)同一條直線上電勢(shì)差與直線距離成比例，由于D為AB的中點(diǎn)，則D點(diǎn)的電勢(shì)φD=φA+φB2=10 V，電荷從D點(diǎn)移到C點(diǎn)電場(chǎng)力所做的功為W=qUDC=q（φD-φC）=8×10-6J. 將AC三等分，則φE=10V，φF=6V，B、F為等勢(shì)點(diǎn)，BF為等勢(shì)線，由于電場(chǎng)線與等勢(shì)線垂直，過A做BF的垂線即為電場(chǎng)線.根據(jù)E=Ud可知，UAO=14-6=8V，d=AO8V/m.

故選A.

三、在勻強(qiáng)電場(chǎng)中等勢(shì)線是一簇平行的直線的應(yīng)用

勻強(qiáng)電場(chǎng)中的等差等勢(shì)線是一簇平行的直線，與電場(chǎng)線垂直.若已知?jiǎng)驈?qiáng)電場(chǎng)中一條等勢(shì)線，則與之平行的直線也必是等勢(shì)線.

圖4例3 如圖4所示，A、B、C、D是勻強(qiáng)電場(chǎng)中一正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，已知A、B、C三點(diǎn)的電勢(shì)分別為φA=15 V，φB=3 V，φC=-3 V， 由此可得D點(diǎn)電勢(shì)為：

A.6 V B.9 V

C.12 V D.15V

圖5解析 連接AC，將AC三等分，標(biāo)上三等分點(diǎn)E、F，如圖5所示，則根據(jù)勻強(qiáng)電場(chǎng)中沿電場(chǎng)線方向相等距離，電勢(shì)差相等可知，E點(diǎn)的電勢(shì)為3V，F(xiàn)點(diǎn)的電勢(shì)為9V.連接BE，則BE為一條等勢(shì)線，根據(jù)幾何知識(shí)可知，DF∥BE，則DF也是一條等勢(shì)線，所以D點(diǎn)電勢(shì)φD=9V，故選項(xiàng)B正確.

圖6此題也有另一種解：如圖6所示可知，AB、DC邊長(zhǎng)在電場(chǎng)線上的投影長(zhǎng)度AO1、DO2是相等，由電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系U=Ed可知，φA-φB=φD-φC，所以15V-3V=φD-（-3），φD=9V.

四、等勢(shì)面結(jié)合帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的應(yīng)用

在靜電場(chǎng)中經(jīng)常會(huì)遇到等勢(shì)面結(jié)合帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的問題，且?guī)щ娏Ｗ舆\(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)常是曲線.對(duì)于此類問題，在分析時(shí)要緊緊抓住曲線運(yùn)動(dòng)的條件（即在曲線運(yùn)動(dòng)中，粒子所受到的合力必定指向曲線運(yùn)動(dòng)內(nèi)側(cè)）解題.

圖7例4 如圖7所示，虛線a、b、c代表電場(chǎng)中三個(gè)等勢(shì)面，相鄰等勢(shì)面間的電勢(shì)差相等如圖所示，虛線a、b、c代表電場(chǎng)中的三個(gè)等勢(shì)面，相鄰等勢(shì)面間的電勢(shì)差相等，Uab=Ubc，實(shí)線為一帶正電的質(zhì)點(diǎn)僅在電場(chǎng)力作用下的運(yùn)動(dòng)軌跡，P、Q是這條軌跡上的兩點(diǎn)，據(jù)此可知（ ）.

A.三個(gè)等勢(shì)面中，a的電勢(shì)較高

B.帶電質(zhì)點(diǎn)通過P點(diǎn)時(shí)的電勢(shì)能較大

C.帶電質(zhì)點(diǎn)通過P點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能較大

D.帶電質(zhì)點(diǎn)通過Q點(diǎn)時(shí)的加速度較大

解析 根據(jù)電場(chǎng)線與等勢(shì)面垂直，過P點(diǎn)做虛線a、b、c的垂線即為電場(chǎng)線.由曲線運(yùn)動(dòng)中，粒子所受到的合力必定指向曲線運(yùn)動(dòng)內(nèi)側(cè)可知，電場(chǎng)力的方向（如圖所示），又因?yàn)閹щ娏Ｗ邮钦姾蓜t可知電場(chǎng)線的方向（如圖所示）.A.電荷所受電場(chǎng)力指向軌跡內(nèi)側(cè)，由于電荷帶正電，因此電場(chǎng)線指向右下方，沿電場(chǎng)線電勢(shì)降低，故c的電勢(shì)最高，故A錯(cuò)誤；B.根據(jù)質(zhì)點(diǎn)受力情況可知，從P到Q過程中電場(chǎng)力做正功，電勢(shì)能降低，動(dòng)能增大，故B正確，C錯(cuò)誤；D.等勢(shì)線密的地方電場(chǎng)線也密，電場(chǎng)強(qiáng)度大，所受電場(chǎng)力大，因此P點(diǎn)的加速度也大，故D錯(cuò)誤.

故選B.

此題要把握住以下幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)：

1.電場(chǎng)線與等勢(shì)面垂直；

2.在曲線運(yùn)動(dòng)中，粒子所受到的合力必定指向曲線運(yùn)動(dòng)內(nèi)側(cè)；

3.等勢(shì)面的疏密代表了電場(chǎng)的弱強(qiáng)；

4.只有電場(chǎng)力做功（即電場(chǎng)力為帶電粒子所受合外力）與粒子運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)能和電勢(shì)能變化的關(guān)系：W電=ΔEk，W電=-ΔEp.

五、等勢(shì)面結(jié)合能量守恒的應(yīng)用

在靜電場(chǎng)中若只有電場(chǎng)力做功，則帶電粒子的動(dòng)能和電勢(shì)能的總和保持不變；若只有電場(chǎng)力和重力做功，則帶電粒子的動(dòng)能和電勢(shì)能加重力勢(shì)能的總和保持不變.

圖8例5 如圖8中虛線所示為靜電場(chǎng)的等勢(shì)面1、2、3、4，相鄰的等勢(shì)面之間的電勢(shì)差相等，其中等勢(shì)面3的電勢(shì)為零。一帶正電的點(diǎn)電荷在靜電力的作用下運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過a、b點(diǎn)的動(dòng)能分別為26eV和5eV，當(dāng)這一點(diǎn)電荷運(yùn)動(dòng)到某一位置，其電勢(shì)能變?yōu)?8eV時(shí)，它的動(dòng)能應(yīng)為（ ）.

A.8eV B.13eV C.20eV D.34eV

解析 在只有電場(chǎng)力做功的條件下動(dòng)能和電勢(shì)能的總和保持不變，故有

EKa+EPa=EKb+EPb

①

所以26eV+EPa=5eV+EPb，EPb-EPa=26ev-5eV=21eV

②

根據(jù)EP=qφ可知φb>φa，由于相鄰等勢(shì)面之間的電勢(shì)差相同，等勢(shì)面3的電勢(shì)為零，設(shè)等勢(shì)面4的電勢(shì)為φ，則等勢(shì)面a的電勢(shì)-2φ，代入②式得qφ-（-2qφ）=3qφ=21eV，qφ=7eV.正電荷的能量故有EK+（-8eV）=5 eV+7 eV，EK=20 eV.故C正確.

此題也有另一種解法：由a、b點(diǎn)的動(dòng)能分別為26 eV和5 eV可得帶正電的點(diǎn)電荷經(jīng)過2等勢(shì)面時(shí)的動(dòng)能EK2應(yīng)為19 eV，經(jīng)過3等勢(shì)面時(shí)的動(dòng)能EK3應(yīng)為12eV；由于等勢(shì)面3的電勢(shì)為零，根據(jù)EP=qφ有EP3=0，根據(jù)只有電場(chǎng)力做功的條件下動(dòng)能和電勢(shì)能的總和保持不變有EK+（-8 eV）=EK3+0，故EK=20 eV.故C正確.

六、等量異種電荷等勢(shì)面的應(yīng)用

等量異種點(diǎn)電荷等勢(shì)面分布有一個(gè)明顯的特點(diǎn)：即等量異種點(diǎn)電荷連線的垂直平分線是等勢(shì)線.若以無窮遠(yuǎn)處為零電勢(shì)點(diǎn)，則兩異種點(diǎn)電荷連線的垂直平分線上的任意一點(diǎn)電勢(shì)均為零

例6 如圖9所示，Q1和Q2是等量異種點(diǎn)電荷，M、N是兩個(gè)點(diǎn)電荷連線的垂直平分線上的兩點(diǎn)，將正電荷q從無限遠(yuǎn)處移到電場(chǎng)中，下述說法不正確的是（ ）.

圖9A.將q沿中垂線移到M點(diǎn)與N點(diǎn)電場(chǎng)力做的功相同

B.因不知道M、N兩點(diǎn)的具體位置，所以無法比較移到M、N兩點(diǎn)做功的多少

C.取無限遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，A點(diǎn)的電勢(shì)大于零

D.取無限遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，B點(diǎn)的電勢(shì)小于零

解析 M、N兩點(diǎn)在同一個(gè)等勢(shì)面上，且中垂面的電勢(shì)與無限遠(yuǎn)處相同（即φM=φN=0），所以沿等勢(shì)面移動(dòng)電荷電場(chǎng)力不做功，故A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)不正確；沿著電場(chǎng)線電勢(shì)逐漸降低，根據(jù)等量異種電荷的電場(chǎng)線的分布與等量異種電荷垂直平分線上的電勢(shì)為零可知，A點(diǎn)的電勢(shì)大于零，B點(diǎn)的電勢(shì)小于零，故C、D正確.綜上所述B錯(cuò)誤，故選擇B.

七、等差等勢(shì)面的疏密反映了電場(chǎng)的強(qiáng)弱的應(yīng)用

電場(chǎng)強(qiáng)度與等勢(shì)面的關(guān)系是等差等勢(shì)面的疏密反映了電場(chǎng)的強(qiáng)弱.

圖10例7 圖10中實(shí)線表示電場(chǎng)中的三個(gè)等勢(shì)面，各等勢(shì)面的電勢(shì)值如圖所示.把一個(gè)負(fù)電荷沿A→B→C移動(dòng)，電荷在這三點(diǎn)所受的電場(chǎng)力為FA、FB、FC，電場(chǎng)力在AB和BC段做的功為WAB和WBC，那么 （ ）.

A.FA=FB=FC，WAB=WBC

B.FA

C.FA>FB>FC，WAB

D.FA>FB>FC，WAB=WBC

解析 根據(jù)等差等勢(shì)面的疏密反映了電場(chǎng)的強(qiáng)弱的應(yīng)用，所以由圖可知EA>EB>EC，由F=qE可知，F(xiàn)A>FB>FC，故A、B 兩個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)W=qU可知，WAB=WBC，故正確選項(xiàng)為D.