莫云飛

(長沙學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院 湖南 長沙 410022)

周群益

(廣州理工學(xué)院通識教育學(xué)院 廣東 廣州 510540)

周麗麗

(贛南醫(yī)學(xué)院醫(yī)學(xué)信息工程學(xué)院 江西 贛州 341000)

侯兆陽

(長安大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用物理系 陜西 西安 710064)

1 引言

有論文利用直線電荷產(chǎn)生的電勢和電勢疊加原理推導(dǎo)出帶電三角形和四邊形在空間的電勢公式，利用電場與電勢的關(guān)系推導(dǎo)了電場的分布公式[1～6]．不過，這些公式都比較復(fù)雜，不便于計算．這些論文也沒有用圖形表示電勢和電場．

本文根據(jù)點電荷的電勢和電勢疊加原理推導(dǎo)了直線電荷在二維平面中產(chǎn)生的電勢的簡要公式，從而推導(dǎo)了直線電荷在三維空間中產(chǎn)生的電勢公式，又根據(jù)電勢疊加原理求帶電折線產(chǎn)生的電勢．利用電場與電勢之間的關(guān)系推導(dǎo)了電場強度的公式．將公式無量綱化，利用MATLAB計算了場強的分量，用等勢面和電場線直觀地反映了電場的分布規(guī)律．

2 均勻帶電線段的電勢

設(shè)平面折線有n條邊，其電荷線密度為λ(默認(rèn)λ>0)，放置在xOy平面中．如圖1所示，在折線中取一條長為Li的邊，端點是Pi和Pi+1．在帶電線段上取一個線元，其電荷量dq=λdl，在場點P產(chǎn)生的電勢為

圖1 帶電線段產(chǎn)生的電勢

(1)

其中，k是靜電力常數(shù)．在直角三角形PPiQ中，hi和li是常數(shù)，hi=risinθi，li=ricosθi，由于

hi=rsinθl=li-rcosθ

(2)

(3)

(4)

取無窮遠處為電勢零點，帶電線段在點P產(chǎn)生的電勢為

(5)

其中，θi和θi+1分別是點P與點Pi和Pi+1連線與橫軸之間的夾角．ri和ri+1分別是點P相對于端點Pi和Pi+1的徑矢，設(shè)連接Pi和Pi+1的矢量為Li，利用矢量點積的公式，兩個夾角分別為

(6)

3 帶電折線的電勢和場強

如圖2所示，在三維空間中，端點Pi和Pi+1的矢徑為

圖2 帶電線段在三維空間中的電勢

ρi=xii+yijρi+1=xi+1i+yi+1j

(7)

帶電的有向線段為

Li=ρi+1-ρi=(xi+1-xi)i+(yi+1-yi)j

(8)

長度為

(9)

點P(x,y,z)相對于端點Pi和Pi+1的矢徑分別為

(10)

其大小為

(11)

式(5)中的電勢Ui是空間坐標(biāo)(x,y,z)的函數(shù).帶電線段Li產(chǎn)生的場強為

(12)

(13)

式(12)有3個分量，每一個分量的公式都是比較復(fù)雜的．由于MATLAB的數(shù)值計算功能很強，不必將式(12)的右邊展開．

n條邊的帶電折線在三維空間中產(chǎn)生的總電勢為

(14)

當(dāng)U是常量時，式(14)就是等勢面方程．一般情況下，這是關(guān)于x，y和z的隱函數(shù)方程．

注意：n條邊的折線有n+1個端點，如果折線形成閉合多邊形，由于首尾相連，當(dāng)i=n時，下標(biāo)i+1就是1．

合場強為

(15)

場強的3個分量決定了電場線，不過，電場線的方程很難求得．

4 公式無量綱化

電勢和場強公式是一種數(shù)學(xué)模型，根據(jù)模型設(shè)計程序，計算工作可用軟件MATLAB完成．不過，為了做純數(shù)值計算，需要將公式無量綱化．

取a為坐標(biāo)單位，則場點P的無量綱坐標(biāo)為

(16)

無量綱的線段矢量為

(17)

(18)

無量綱的矢徑大小分別為

(19)

取U0=kλ為電勢的單位，則線段產(chǎn)生的無量綱電勢為

(20)

無量綱的合電勢為

(21)

設(shè)

取E0為電場強度單位，則無量綱的電場強度為

(22)

(23)

將公式無量綱化即可設(shè)計MATLAB程序，做純數(shù)值計算并畫圖．

5 電場的可視化

利用MATLAB的計算功能和循環(huán)結(jié)構(gòu)可以計算三維電勢，利用函數(shù)gradient可以計算電勢梯度即電場強度的3個分量，利用isosurface指令可以畫三維等勢面，利用流線指令streamline可以繪制三維電場線[7]．

(1)等腰折線的坐標(biāo)為(a,0)，(0,a) 和(-a,0)，帶電折線的等勢面和電場線如圖3所示，等勢面本來是上下對稱的封閉曲面，這里只取下半部分；電勢從外到內(nèi)依次是2U0，3U0，…，10U0，當(dāng)電勢比較小時，等勢面分布在外面；隨著電勢的增加，等勢面向內(nèi)移，前面的曲面向內(nèi)彎曲；當(dāng)電勢很高時，等勢面就包圍了帶電線段．電場線從帶電線段出發(fā)，垂直穿過等勢面，呈現(xiàn)排斥的形狀延伸到無窮遠處．在電荷附近，等勢面和電場線都比較密集，離電荷越遠，等勢面和電場線就越稀疏．等勢面和電場線是上下左右對稱的，這是因為兩段電荷左右對稱地分布在水平面上．

圖3 帶電等腰折線的三維等勢面和電場線

(2)如圖4所示，等腰三角形的坐標(biāo)為 (a,0)，(0,a) 和(-a,0)，第3點與第1點封閉起來，電勢從外到內(nèi)依次是3U0，4U0，…，10U0，當(dāng)電勢比較低時，等勢面在外包圍整個三角形，如同層層相套的“碗”；當(dāng)電勢比較高時，三角形的內(nèi)部也出現(xiàn)等勢面；當(dāng)電勢很高時，等勢面如筒狀包圍三角形．電場線從帶電三角形上發(fā)出，在中間出現(xiàn)排斥的形狀，延伸到無窮遠處．電場線垂直穿過等勢面，上下左右對稱分布．

圖4 帶電等腰三角形的三維等勢面和電場線

(3)正四邊形的坐標(biāo)為(a,a)，(-a,a)，(-a,-a)和(-a,a)，帶電正四邊的等勢面和電場線如圖5所示，等勢面接近于方形的“碗”， 從外到內(nèi)的電勢依次是5U0，6U0，…，10U0；電場線上下，左右和前后都是對稱的．將坐標(biāo)改為(a,b)，(-a,b)，(-a,-b)和(-a,b)，如果取b= 0.9a，則可形成帶電矩形的類似等勢面和電場線(圖略)．如果取b=1.2a，則等勢面和電場線也類似(圖略)．

圖5 帶電正四邊形的三維等勢面和電場線

圖6 帶電棱形的三維等勢面和電場線

(5)帶電正6邊形的等勢面和電場線如圖7所示．用相同的方法也可以繪制其他正多邊形的等勢面和電場線(圖略)．

圖7 帶電正六邊形的三維等勢面和電場線

(6)帶電正24邊形的等勢面和電場線如圖8所示，等勢面接近于半球面．24邊形與圓比較接近，其等勢面和電場線接近于圓的等勢面和電場線．

圖8 帶電正24邊形的三維等勢面和電場線

由此可見,利用MATLAB可以畫出帶電折線和任意多邊形的等勢面和電場線．

6 結(jié)束語

平面折線和多邊形只是坐標(biāo)有所不同．在三維空間中，帶電線段電勢的公式比較簡單，電場強度的公式卻十分復(fù)雜，折線和多邊形的電場強度公式更加復(fù)雜．只要建立了數(shù)學(xué)模型，不論公式多么復(fù)雜，都能用MATLAB精確計算，還能繪制等勢面和電場線的圖形．由此可見,掌握了MATLAB的指令和程序設(shè)計方法，可以全面解決這類問題．這種方法還可以解決平面任意多邊形電流產(chǎn)生的磁場的計算和可視化問題．