李廣富 南亞亞 何 婧 高永偉

(寧夏大學物理與電子電氣工程學院 寧夏 銀川 750021)

1 前言

2019年人教版物理必修2的“拋體運動規(guī)律”一節(jié)中的“思考與討論”欄目曾提出了如圖1所示的問題：

圖1 教材思考題

物體在空氣中運動時，速度越大，阻力也越大，所以研究炮彈的運動時就不能忽略空氣阻力.那么在考慮空氣阻力的情況下，炮彈的運動軌跡是怎么樣的？由教材上的思考題可以看出，教材編寫者非常注重引導教師將考慮空氣阻力的斜拋運動作為拓展知識引入課堂，因為這樣會更好地讓學生將物理與生活聯(lián)系起來，加深學生對斜拋運動的認識.盡管已有研究曾用科學仿真計算軟件——Matlab模擬仿真給出了物體在空氣阻力作用下的斜拋運動軌跡，同時也探究了初速度、拋射角對射程和射高的影響[1,2]，但并未深入研究物體質(zhì)量等其他因素對斜拋運動的影響，而且也并未將研究結(jié)果與教學結(jié)合起來.同時，中學物理教師和中學生并未掌握利用Matlab來編寫代碼的能力.顯然，這樣的研究結(jié)果不太適合應用在教學上.

Algodoo是瑞典Algoryx Simulation AB公司推出的仿真實驗平臺，不但容易上手，而且可以模擬仿真不同條件下的物理實驗，還具有生成數(shù)據(jù)圖表快速準確等優(yōu)點[3].

為此，本文首先分別利用Algodoo和科學仿真計算軟件Matlab對有和沒有空氣阻力情況下的斜拋運動進行研究，得出相關(guān)結(jié)論，同時將兩種軟件的模擬計算結(jié)果進行對比，以說明Algodoo平臺數(shù)據(jù)的有效性.其次，基于Algodoo平臺探究相關(guān)因素對有空氣阻力情況下斜拋運動的影響，并最終給出基于Algodoo平臺開展“斜拋運動”教學的相關(guān)建議.

2 基于生活實例對不同情況的斜拋運動研究

物體在運動過程中總要受到空氣阻力，當速度較小時，空氣阻力正比于速度的一次方，速度較大時，空氣阻力正比于速度的二次方，當速度繼續(xù)增大時，空氣阻力將與速度的更高次方有關(guān).本文只研究空氣阻力分別與物體速度一次方和二次方成正比這兩種情況.

2.1 投籃

投籃時，籃球所做的運動為斜拋運動.因此，在研究考慮空氣阻力的斜拋運動時，可以將投籃作為問題探究的背景.由于籃球的速度不大，此時籃球所受到的空氣阻力與速度的一次方成正比.

【例1】一個小孩在空地上練習投籃，設(shè)籃球為4號兒童比賽用球，其半徑r1為0.1 m，質(zhì)量m1為0.4 kg.重力加速度g取為9.8 m/s2，現(xiàn)小孩以初速度v0為15 m/s、拋射角α為30°將籃球拋出.在有和沒有空氣阻力情況下，籃球的運動軌跡有什么區(qū)別？兩種情況下籃球的速度、加速度又是如何變化的？

在忽略空氣阻力的情況下，籃球以一定的初速度和角度斜向上拋出，以籃球質(zhì)心的運動軌跡作為xOy平面，拋出點作為原點，其運動軌跡及受力如圖2所示.

圖2 無阻力情況下籃球運動軌跡與受力圖示

籃球的水平速度vx,豎直速度vy分別為

vx=v0cosα

(1)

vy=v0sinα-gt

(2)

籃球的射程x和射高y為

x=v0tcosα

(3)

(4)

在現(xiàn)實生活中，空氣阻力f一般為

(5)

其中，C為阻力系數(shù)，ρ為空氣密度，S為物體的特征面積，n為空氣阻力指數(shù).

為了計算方便，令比例常數(shù)為k

(6)

通過將球體的阻力系數(shù)C=0.5，空氣密度ρ=1.205 kg/m3，籃球的特征面積S=0.01π m2代入式(6)，可得此時的比例常數(shù)k1= 0.01.

在受到空氣阻力的情況下，籃球的軌跡和受力分析如圖3所示.

圖3 有阻力情況下籃球運動軌跡與受力分析圖示

在有空氣阻力情況下，設(shè)籃球的水平速度為vx′,豎直速度為vy′，根據(jù)牛頓第二定律，在水平方向、豎直方向則有

(7)

(8)

由上面兩式可得

(9)

(10)

則此時籃球的射程x′和射高y′分別為

(11)

(12)

消去式(11)和(12)中的時間t即可得到籃球的運動軌跡.利用Matlab編寫程序可給出籃球在兩種情況下的運動軌跡，結(jié)果如圖4所示.

圖4 有和沒有空氣阻力情況下籃球運動軌跡對比圖(Matlab)

圖4中，上、下兩條曲線分別代表沒有空氣阻力和有空氣阻力情況下籃球的運動軌跡.結(jié)果表明，有空氣阻力時籃球的射程和射高略小于無空氣阻力時的射程和射高，由于籃球的速度較小，所以空氣阻力對其運動的影響也較小，籃球的運動軌跡不再是嚴格的拋物曲線.

與Matlab科學仿真計算軟件不同，Algodoo是基于后臺計算，通過可視化界面操作以實現(xiàn)對物體運動規(guī)律的模擬仿真.利用Algodoo平臺模擬仿真得到的關(guān)于籃球在有和沒有空氣阻力情況下的運動軌跡如圖5所示.

圖5 有和沒有空氣阻力情況下籃球運動軌跡對比圖(Algodoo)

圖5中上、下兩條曲線也分別代表籃球在無、有空氣阻力情況下的運動軌跡，結(jié)論與圖4相同.可見，通過兩種軟件均能實現(xiàn)對籃球在有和沒有空氣阻力情況下運動軌跡的模擬和比較.為了更細致地分析和比較兩種軟件對有空氣阻力情況下籃球運動規(guī)律描述的差異，將兩種軟件所得數(shù)據(jù)一并繪于圖6.

圖6 有空氣阻力情況下籃球運動軌跡模擬結(jié)果對比

圖6表明，通過兩種軟件模擬得到的籃球運動軌跡吻合很好，表1給出了詳細的數(shù)據(jù)比較.

表1 籃球的射程、射高的計算對比

由表1可知，采用兩種軟件計算得到的結(jié)果非常接近，上表也可以得出與圖4相同的結(jié)論.

結(jié)合圖6和表1可以看出，Matlab與Algodoo均能模擬仿真出籃球在有和沒有空氣阻力情況下的運動軌跡，而且兩者誤差非常小，同時Algodoo可以通過簡單的操作而不用編寫代碼就能夠模擬出斜拋運動的軌跡.因此， Algodoo比Matlab更適合應用到“斜拋運動”的課堂教學中.

由于Matlab需要編寫相關(guān)的代碼才能對籃球的速度、加速度在斜拋運動過程中的變化情況進行探究，而Algodoo具有快速實時輸出物體運動過程中相關(guān)物理量變化情況的功能,使用更加方便.為此，以下將只利用Algodoo在有和沒有空氣阻力的情況下對籃球的速度、加速度在斜拋運動過程中的變化情況進行研究.

圖7給出了籃球在有和沒有空氣阻力時的速度隨時間變化曲線.

圖7 籃球速度對比圖

圖7的上下兩條曲線分別表示在沒有和有空氣阻力情況下籃球的速度隨時間變化曲線.雖然兩者都是拋物線，但是在有空氣阻力的情況下，籃球的速度減少量較大，因為其不但受到重力的作用，在運動過程中還時刻受到與速度方向相反的空氣阻力作用.

籃球在有和沒有空氣阻力時的加速度隨時間變化如圖8所示.

圖8 籃球加速度對比圖

圖8中水平直線表示的是沒有空氣阻力情況下籃球加速度隨時間變化關(guān)系，因為在此條件下籃球只受重力作用，其加速度即為重力加速度，且不隨時間發(fā)生變化.另一條曲線表示的是有空氣阻力情況下籃球加速度隨時間變化關(guān)系，在上升階段，空氣阻力方向斜向下，籃球的合加速度將大于重力加速度；在下降階段，空氣阻力斜向上，籃球的合加速度將小于重力加速度.

2.2 炮彈的發(fā)射

當物體運動速度較大時，其所受到的空氣阻力將與速度的二次方成正比.由于炮彈的速度v″0較大，可達幾百米每秒，故研究此類問題時，可以將炮彈的發(fā)射作為研究的背景.

【例2】設(shè)炮彈的半徑r2為0.1 m，質(zhì)量m2為33 kg，重力加速度g為9.8 m/s2，大炮以初速度v″0大小為300 m/s，拋射角β為30°發(fā)射一顆炮彈，在有和沒有空氣阻力的情況下，炮彈的運動軌跡有什么區(qū)別？兩種情況下炮彈的速度、加速度又是如何變化的？

在沒有空氣阻力的情況下，對炮彈射程、射高的分析和上面對籃球的分析基本一致，這里不再贅述.

在受到空氣阻力的情況下，炮彈的軌跡和受力分析如圖9所示.

圖9 有阻力情況下炮彈運動軌跡與受力分析圖示

當炮彈所受空氣阻力正比于速度二次方時，根據(jù)式(6)，通過將球體的空氣阻力系數(shù)C=0.5、空氣密度ρ=1.205 kg/m3、炮彈的特征面積S=0.01π m2代入可得此時的比例常數(shù)k2=0.01.

設(shè)炮彈某時刻的速度為v″，此時速度與水平方向的夾角為β′，水平方向運動的距離為x″，豎直方向運動的距離為y″，根據(jù)牛頓第二定律，在水平方向、豎直方向有

(13)

(14)

上面兩式可轉(zhuǎn)化為

(15)

(16)

令

則式(15)、(16)可轉(zhuǎn)化為以下的方程組

(17)

(18)

(19)

(20)

利用Matlab求解上面方程組，并計算炮彈在無空氣阻力情況下的射程與射高，即可模擬得到炮彈在有和沒有空氣阻力情況下的運動軌跡，結(jié)果如圖10所示.

圖10 有和沒有空氣阻力情況下炮彈運動軌跡對比圖(Matlab)

圖10中上、下兩條曲線分別代表炮彈在沒有和有空氣阻力情況下的運動軌跡，從圖10可看出，在受到空氣阻力作用時，炮彈的射程和射高都遠小于無空氣阻力時的射程和射高，這也印證了教材上的那句話：物體在空氣中運動時，速度越大，阻力也越大.

利用Algodoo模擬仿真炮彈在有和沒有空氣阻力情況下的運動軌跡，結(jié)果如圖11所示.

圖11 有和沒有空氣阻力情況下炮彈運動軌跡對比圖(Algodoo)

由圖11可以得出與圖10相同的結(jié)論.為了更細致地分析和比較這兩種軟件對有空氣阻力情況下炮彈運動規(guī)律描述的差異，將兩種軟件所得數(shù)據(jù)一并繪于圖12進行比較.

圖12 有空氣阻力情況下炮彈運動軌跡模擬結(jié)果對比

圖12表明，通過兩種軟件得到的炮彈軌跡吻合較好，兩者之間的差異，可能是Matlab采用數(shù)值方法求解離散方程代替原始方程所產(chǎn)生的截斷誤差或者是由于計算機儲存精度不足所產(chǎn)生的差異.表2給出了詳細數(shù)據(jù)比較.

表2 炮彈的射程、射高的計算對比

由表2可知，采用兩種軟件計算得到的結(jié)果較為接近.

結(jié)合圖12和表2可以看出，雖然兩種軟件在模擬速度較大的物體的斜拋運動時存在一定的差異，但是量值在5%的范圍內(nèi)，同時由于Algodoo的使用方便性，所以，由于一節(jié)課堂教學時間是有限的，在課堂上不可能占用很多的時間來編寫程序，而Algodoo具有快速實時輸出物體運動過程中相關(guān)物理量變化情況的功能，Algodoo比Matlab更適合應用到“斜拋運動”的課堂教學中.

以下利用Algodoo來對炮彈的速度、加速度在運動過程中隨時間變化情況進行研究.首先給出炮彈在有和沒有空氣阻力情況下速度隨時間變化關(guān)系曲線，結(jié)果如圖13所示.

圖13中上下兩條曲線分別表示在沒有空氣阻力和有空氣阻力情況下炮彈的速度隨時間變化曲線.在不受空氣阻力的情況下，炮彈落到地面時的速度大小與發(fā)射速度保持一致.但是，在有空氣阻力的情況下，炮彈的速度減少量較大.

①沒有空氣阻力的情形；②有空氣阻力的情形

炮彈在有和沒有空氣阻力時的加速度隨時間變化如圖14所示.

①有空氣阻力的情形；②沒有空氣阻力的情形

圖14中水平直線表示無空氣阻力情況下炮彈加速度隨時間變化關(guān)系，在無空氣阻力時，炮彈只受重力作用，故其加速度為重力加速度.另一條曲線表示的是有空氣阻力情況下炮彈加速度隨時間變化關(guān)系，在上升階段，空氣阻力方向斜向下，炮彈的合加速度將大于重力加速度；在下降階段，空氣阻力斜向上，其合加速度將小于重力加速度，所以炮彈的加速度先是大于9.8 m/s2，后逐漸減少.

由于空氣阻力的方向總與速度的方向相反，而且在運動過程中是隨位置而變化的，有和沒有空氣阻力時，加速度的方向是不同的，方向的變化十分復雜.因此，上述關(guān)于速度和加速度在有無空氣阻力時的對比，都是指大小的對比.

3 空氣阻力對斜拋運動影響的研究

在考慮空氣阻力的斜拋運動中，影響射高和射程的因素不是單一的.所以，對影響斜拋運動的因素進行分析研究將變得非常重要.在考慮空氣阻力的情況下，借助Algodoo平臺對影響斜拋運動的因素進行研究分析.

3.1 空氣阻力f=-kv時對影響斜拋運動的因素的研究

當物體所受到的空氣阻力與速度的一次方成正比時，由式(11)、(12)可知，射程、射高分別與初速度、拋射角、質(zhì)量和比例常數(shù)k有關(guān).

(1)初速度對射程、射高的影響

在考慮空氣阻力情況下，設(shè)一小球的質(zhì)量為0.4 kg，重力加速度為9.8 m/s2，比例常數(shù)k為0.5.將球以拋射角為30°,初速度分別為5 m/s,10 m/s,15 m/s,20 m/s,25 m/s在同一位置拋出，結(jié)果如圖15所示.

圖15 初速度對小球運動軌跡的影響

圖15中從上到下的5條斜拋運動曲線對應的初速度依次減小.由此可知，保持其他物理量不變，物體做斜拋運動的射程與射高隨著初速度的增大而增加.

(2)拋射角對射程、射高的影響

在考慮空氣阻力情況下，設(shè)一小球的質(zhì)量為0.4 kg，重力加速度為9.8 m/s2，比例常數(shù)k為0.5.將球以初速度為15 m/s、拋射角分別為15°，30°，45°，60°，75°在同一位置拋出，結(jié)果如圖16所示.

圖16 拋射角對小球運動軌跡的影響

圖16中從左向右的5條斜拋運動曲線對應的拋射角依次減小.圖16表明，保持其他物理量不變，斜拋運動的射高與拋射角呈正相關(guān).隨拋射角增大，射程先增加后減小，而且，當拋射角等于45°時，所得射程將不再是最大值.

(3)質(zhì)量對射程、射高的影響

若考慮空氣阻力存在，設(shè)重力加速度為9.8 m/s2，比例常數(shù)k為0.5，將5個質(zhì)量分別為0.5 kg,1 kg,1.5 kg,2 kg和2.5 kg的小球以初速度15 m/s,拋射角為30°在同一位置拋出，結(jié)果如圖17所示.

圖17 質(zhì)量對小球運動軌跡的影響

圖17中從上到下的5條斜拋運動曲線對應的質(zhì)量依次降低.圖17表明，在保持其他物理量不變時，隨著物體質(zhì)量的增大，物體做斜拋運動的射程與射高也隨之增大.

(4)比例常數(shù)k對射程、射高的影響

在考慮空氣阻力情況下，設(shè)重力加速度為9.8 m/s2，將質(zhì)量為0.4 kg的小球以初速度15 m/s,拋射角為30°，在比例常數(shù)k分別為0.05，0.25，0.5，0.75，1的環(huán)境下從同一位置拋出，結(jié)果如圖18所示.

圖18 比例常數(shù)k對小球運動軌跡的影響

圖18中從上到下的5條斜拋運動曲線對應的比例常數(shù)k依次增大.由此可知，在保持其他物理量不變時，隨著比例常數(shù)k的增大，物體做斜拋運動的射程與射高隨之減少.

3.2 空氣阻力f=-kv2時對影響斜拋運動的因素的研究

當物體所受到的空氣阻力與速度的二次方成正比時，利用Algodoo也可探究初速度、拋射角、質(zhì)量和比例常數(shù)k對射程、射高的影響，結(jié)果分別如圖19,20,21和22所示，結(jié)論與上一部分相對應的結(jié)論一致，這里不再贅述.

圖19 初速度對運動軌跡的影響

圖20 拋射角對運動軌跡的影響

圖21 質(zhì)量對運動軌跡的影響

圖22 比例常數(shù)k對運動軌跡的影響

4 結(jié)束語

對于教材“思考與討論”欄目所提出的問題，利用Algodoo可以比Matlab更容易地給出有和沒有空氣阻力情況下斜拋運動規(guī)律的差異，同時，在考慮空氣阻力的情況下，利用Algodoo也可以更方便地探究影響斜拋運動的因素.為此，本文擬給出以下教學建議：

(1)在課堂上可以結(jié)合Algodoo來給學生演示物體在有和沒有空氣阻力作用下的斜拋運動軌跡；

(2)利用Algodoo的圖表功能，將做斜拋運動的物體的速度和加速度在有和沒有空氣阻力情況下的變化情況展示給學生；

(3)由于Algodoo平臺易于操作，可以讓學生用Algodoo自行探究影響斜拋運動的因素.

綜上所述，結(jié)合Algodoo對“斜拋運動”進行教學，既可以為學生清晰地展示有和沒有空氣阻力時的斜拋運動的軌跡的區(qū)別，又可以讓學生知道在有空氣阻力的情況下做斜拋運動的物體速度、加速度隨時間的變化規(guī)律，還可以引導學生利用Algodoo平臺采用控制變量法來探究影響斜拋運動的因素，以此來提高學生的學習興趣，并培養(yǎng)他們實事求是、嚴謹治學的科學探索精神.