北京市西城區(qū)(南區(qū))小學(xué)數(shù)學(xué)研究團(tuán)隊

編者語

幾何直觀”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》新增加的4個核心概念之一，雖然教師對它有一定的了解，但如何對它進(jìn)行透徹的解讀及有效的教學(xué)實踐，這仍然是教師比較關(guān)注和樂于探討的問題。為此，本刊特刊登一組相關(guān)文章，供大家討論。

自《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2011年版）》）頒布以后，其中的10個核心概念成為了課程內(nèi)容的核心與主線，而對這些核心概念的深入理解與把握，有利于教師體會教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，把握課程內(nèi)容的線索，抓住教學(xué)中的關(guān)鍵。“幾何直觀”是其中新增加的4個核心概念之一，教師們對它既熟悉又陌生，為了對它能有透徹的解讀，我們以“幾何直觀”的研究為切入點(diǎn)，以點(diǎn)帶面，進(jìn)行了深入的研讀與教學(xué)實踐。

一、解讀“幾何直觀”

（一）什么是“幾何直觀”

如果單從字面上理解，顧名思義，幾何就是圖形，直觀就是直接的觀察。那么幾何直觀是不是就是這樣的呢？在《課標(biāo)（2011年版）》中指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。

通過對《課標(biāo)（2011年版）》的研讀與分析，可以認(rèn)識到直觀不僅僅是指直接的觀察，更重要的是依托看到或想到的圖形進(jìn)行深入的思考、分析，甚至可以幫助我們解決問題。同時，在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮著重要的作用。

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗萊登塔爾對幾何直觀有過這樣的表述：幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦?？梢妿缀沃庇^可以幫助我們很好地把握問題的本質(zhì)。

孔凡哲和史寧中教授在《關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式》一文中指出：幾何直觀是借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對數(shù)學(xué)的研究對象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力。兩位教授對于幾何直觀的認(rèn)識讓我們豁然開朗，幾何直觀不僅是輔助學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)的有效手段，更是一種運(yùn)用圖形認(rèn)識事物、分析解決問題的能力。

（二）“幾何直觀”是否等同于“數(shù)形結(jié)合”

經(jīng)過一段時間的理論學(xué)習(xí)，結(jié)合對教材內(nèi)容的理解、課堂教學(xué)的實踐和思考，我們認(rèn)識到：數(shù)形結(jié)合包含“由形到數(shù)”和“由數(shù)到形”兩個方面，小學(xué)階段的數(shù)形結(jié)合主要是“由形到數(shù)”，但幾何直觀不僅僅是“由形到數(shù)”，還有由形到其他領(lǐng)域的問題，因此，兩者既有相互交融之處，又有各自不同之點(diǎn)。

在與數(shù)學(xué)名師、數(shù)學(xué)專家思想交流、碰撞的過程中，我們重新審視了“幾何直觀”對教與學(xué)的意義。教學(xué)中可以 “讓看得見的東西來幫忙”，充分發(fā)揮實物圖、小棒圖、計數(shù)器、點(diǎn)子圖、方格圖、示意圖、集合圖、數(shù)軸等的直觀作用，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)知識。研究“幾何直觀”的最終目的是使小學(xué)生具有幾何直觀的能力，讓學(xué)生學(xué)會用多種圖形、數(shù)學(xué)符號等直觀事物理解知識，分析解決問題并進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。

二、教學(xué)實踐“幾何直觀”

有了對幾何直觀內(nèi)涵的深入理解，就為后續(xù)的實踐研究奠定了良好的基礎(chǔ)。

（一）梳理幾何直觀教學(xué)內(nèi)容

教材是落實數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、實現(xiàn)教學(xué)計劃的重要載體，而且它是學(xué)科知識體系的濃縮和再現(xiàn)。對于一線教師來說教材又是我們進(jìn)行課堂教學(xué)的一個重要依據(jù)。

第一階段：整體分析階段。

在這一階段結(jié)合四大內(nèi)容領(lǐng)域，梳理教材中有關(guān)“幾何直觀”的內(nèi)容。進(jìn)而認(rèn)識到在不同內(nèi)容領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中其實都可以發(fā)揮“幾何直觀”的作用，都可以幫助我們培養(yǎng)學(xué)生的“幾何直觀”能力。

第二階段：細(xì)化內(nèi)容階段。

在這一階段將1～12冊教材進(jìn)行了逐一、細(xì)致的分析和梳理，這樣“幾何直觀”便落實到了課時教學(xué)中。同時，也可以發(fā)現(xiàn)教材中有的“幾何直觀”素材呈現(xiàn)得恰到好處，有些則可以進(jìn)行深度加工，創(chuàng)造性地使用教材。對此，教師可以深深地感受到梳理教材的價值所在。

（二）提升幾何直觀的教學(xué)意識

通過教材梳理，教師可以看到“圖形直觀”在教材中出現(xiàn)的頻率比較多，在我們的教學(xué)中也起著非常重要的作用。因此，我們就重點(diǎn)圍繞圖形直觀來與大家交流分享。

1. 以形助形

以方格圖為例，在《教育大辭典（數(shù)學(xué)卷）》中提到“解決不規(guī)則圖形求面積的問題，可以應(yīng)用‘方格法”。這里提到的“方格法”所應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具就是我們熟悉的方格圖。方格圖中的每個小方格都是同樣的正方形，也就是統(tǒng)一了單位，可以幫助學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)幾何圖形的特征。

例如，“周長”和“面積”是學(xué)生容易混淆的兩個概念，為了幫助學(xué)生梳理知識點(diǎn)，教師設(shè)計了如下練習(xí)環(huán)節(jié)。

環(huán)節(jié)一：“考眼力”。

圖形不斷地變一變，周長與面積各自又發(fā)生了怎樣的變化？

整體回顧變化的過程，學(xué)生在觀察辨析中逐步體會：在圖形周長不變的情況下，面積會發(fā)生的變化。

環(huán)節(jié)二：出示三個長方形，學(xué)生無法確定誰的面積最大。此時方格圖成為學(xué)生解題的重要工具，把三個長方形請到方格圖中，學(xué)生一下子判斷出長方形的面積都是12平方厘米。同時學(xué)生發(fā)現(xiàn)，雖然面積相同，但長和寬不一樣，周長也不一樣。

在這一環(huán)節(jié)中，方格圖提供給學(xué)生簡單的“數(shù)據(jù)提示”，幫助學(xué)生在計算的基礎(chǔ)上建立“形”的表象。方格圖還發(fā)揮了“測量標(biāo)準(zhǔn)”的重要作用，學(xué)生通過數(shù)一數(shù)，不僅準(zhǔn)確找到圖形的面積、周長是多少，而且發(fā)現(xiàn)藏在面積背后的面積單位，周長背后的長度單位。

再如，在“垂直與平行”一課的教學(xué)中，面對學(xué)生對于傾斜的兩條直線之間的平行關(guān)系不太理解，常有憑借感覺來判斷或繪圖的現(xiàn)象。于是教師有了這樣的借助方格圖來開展教學(xué)的環(huán)節(jié)設(shè)計。

環(huán)節(jié)一：從熟悉的情況中入手，初步認(rèn)識。endprint

請學(xué)生思考：兩條直線是怎樣的關(guān)系？

環(huán)節(jié)二：在變化的表象中對比，揭示本質(zhì)。

請學(xué)生思考：情況變化了，圖中兩條直線還互相平行嗎？

這樣，利用方格圖幫助學(xué)生拋開了“長度”“方向”等非本質(zhì)因素，讓他們對兩條直線的平行關(guān)系有了更清晰的認(rèn)識。

環(huán)節(jié)三：在畫圖的過程中提升，豐富理解。

請學(xué)生操作：你能畫出與下面這條直線有平行關(guān)系的直線嗎？

由于是傾斜的兩條直線，其位置關(guān)系是否平行，與傾斜角度有關(guān)，學(xué)生不容易理解，利用方格圖截取一個長方形，學(xué)生直觀地看到了斜線在方格圖中的固定位置，將這個長方形進(jìn)行平移與另一長方形內(nèi)的斜線重合后，學(xué)生更加接受兩條直線傾斜角度一樣的事實，更加認(rèn)可兩條直線是平行的位置關(guān)系。

以上兩個教學(xué)案例，都是借助方格圖這種幾何直觀的形式，幫助學(xué)生探索、分析相關(guān)的圖形，看到其背后的數(shù)學(xué)核心本質(zhì)，理解核心概念，這個過程就是用形的直觀幫助學(xué)生理解把握形的本質(zhì)。

2. 以形助數(shù)

在小學(xué)階段，“數(shù)的認(rèn)識”貫穿于整個教學(xué)之中。在“數(shù)的認(rèn)識”教學(xué)中，我們也經(jīng)常運(yùn)用“數(shù)軸”來幫助學(xué)生更好地理解數(shù)的概念。

規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸。數(shù)軸在教材中、課堂上已經(jīng)是學(xué)生司空見慣的老朋友了，雖然他們可能并不知道它的名稱、準(zhǔn)確含義及其三要素，但是對于直觀的數(shù)軸，學(xué)生看得懂，畫得出，甚至是用得好。數(shù)軸這種特定幾何圖形在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域淋漓盡致地發(fā)揮出了幾何直觀的作用。而且，同方格紙一樣，數(shù)軸也是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種重要工具。

數(shù)軸能讓各式各樣的“數(shù)”有序地排列起來。學(xué)生會看到隨著單位“1”不斷縮小，單位長度表示的數(shù)就越來越大；隨著單位“1”的放大，單位長度表示的數(shù)就越來越小。這樣學(xué)生找到了自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)在數(shù)軸上與密密麻麻的點(diǎn)“一一對應(yīng)”。這樣通過改變單位長度，就能簡明、直觀地表示出所要研究的數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生初步感受單位長度的意義，進(jìn)而初步形成數(shù)軸模型。

而后，學(xué)生又在數(shù)軸上可以直觀地看到反方向存在的數(shù)以及無限不循環(huán)小數(shù)，讓數(shù)軸上“密密麻麻”的點(diǎn)變得“密得不能再密了”，也就是我們數(shù)學(xué)上所說的“連續(xù)”。

正是數(shù)軸的這種直觀的用點(diǎn)來表示數(shù)的方式，使數(shù)有了直觀的背景，更便于學(xué)生感知數(shù)的順序、比較數(shù)的大小、了解數(shù)的分類。數(shù)軸除了能讓各式各樣的“數(shù)”有序地排列起來，還能讓有關(guān)數(shù)的“概念”一目了然。

例如，什么是改寫？什么是近似數(shù)？我們也可以從數(shù)軸上找到答案。

甲、乙兩個數(shù)，將甲數(shù)用四舍五入法省略“萬”后面的尾數(shù)約是6萬，將乙數(shù)改寫成以“萬”為單位的數(shù)是6萬。甲數(shù)和乙數(shù)比大小，（ ）。

A. 甲數(shù)=乙數(shù) B. 甲數(shù)>乙數(shù)

C. 甲數(shù)<乙數(shù) D. 無法確定

學(xué)生在考慮這樣抽象的概念性問題時很容易陷入片面的認(rèn)知。如何解決這個問題呢？我們請出數(shù)軸這個老朋友來幫忙。

借助數(shù)軸，學(xué)生可以看出：大于等于55000小于65000這個范圍中的數(shù)都約等于6萬，所以甲數(shù)不能確定。而乙數(shù)改寫成以萬做單位的數(shù)是6萬，乙數(shù)只能是60000，在數(shù)軸上它的位置是固定的。

這個例子讓我們看到：借助數(shù)軸特有的直觀性，可以讓學(xué)生更加清晰地理解改寫和近似數(shù)的概念本質(zhì)。

再如，教學(xué)中還可以借助數(shù)軸幫助學(xué)生理解近似數(shù)的精確度。

（ ） ≈ 2 ；（ ） ≈ 2.0

針對這個題目，學(xué)生提出了不同的觀點(diǎn)，有人認(rèn)為“≈2.0”和“≈2”是一樣的，因為2和2.0大小相等；有人則認(rèn)為不一樣，但說不清道理。這時，我們再請出數(shù)軸來幫忙。

此時，學(xué)生驚訝地發(fā)現(xiàn)，精確到十分位要比精確到個位取值范圍小，所以2.0比2表示的精確度更高。

在研究“數(shù)”的過程中，數(shù)軸賦予了“數(shù)”直觀的背景，使抽象的數(shù)概念形象化，便于學(xué)生的理解。

3.以形助關(guān)系

圖形直觀除了剛才介紹的以形助形、以形助數(shù)，還有以形助關(guān)系的作用。下面就主要結(jié)合線段圖和矩形圖來談?wù)勎覀兊乃伎己蛯嵺`。

線段圖是揭示小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題及其他復(fù)雜數(shù)量關(guān)系的基本的、自然的手段。它不僅能將數(shù)量關(guān)系直觀地描繪出來，還能很容易地發(fā)現(xiàn)未知問題，具有直觀化、簡單化的特點(diǎn)。

例如，

像這道分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，通常教師引導(dǎo)學(xué)生畫線段圖的目的是利用量率對應(yīng)關(guān)系來解答。線段圖能更直觀地反映出用線段表示份數(shù)的作用。

此題在圖中可以看出，余下的12噸正好是1份，和燒了的4份合起來是5份，所以直接用12×5=60（噸）就能解決問題。這種解題思路就很好地體現(xiàn)了借助圖形進(jìn)行思考的手段，用形想數(shù)、數(shù)形結(jié)合，借助直觀的線段圖展現(xiàn)隱蔽的數(shù)量關(guān)系，化分?jǐn)?shù)問題為整數(shù)問題，跳過了一些步驟，更加簡潔、快速地獲得答案。

從這個例子可以看出，線段圖作為一種數(shù)學(xué)圖形語言為數(shù)學(xué)思維活動提供了直觀模型， 變抽象為具體， 以達(dá)到化難為易、化繁為簡、化隱為顯的目的。

矩形圖和線段圖一樣，在非幾何領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中也發(fā)揮著異曲同工之效。

例如，學(xué)習(xí)乘法分配律時，我們常用計算長方形面積引入，有的學(xué)生看到的是兩個長方形，于是分別求面積再求和，有的學(xué)生看到的則是一個大長方形，就先求長再求面積，方法不同面積相等。

教學(xué)中三個數(shù)據(jù)可以不斷變換，圖形的大小也隨之變化，但不變的是兩種方法之間的關(guān)系，有助于學(xué)生進(jìn)行推理，進(jìn)而理解算理抽象出乘法分配律。

對于字母公式學(xué)生也許記不住，但這個矩形圖卻深深地印在學(xué)生的頭腦中，為解決相關(guān)問題提供了直觀模型。

從這些教學(xué)中的例子可以看出，不論線段圖還是矩形圖都是以直觀的形態(tài)體現(xiàn)出一種抽象的關(guān)系，也就是我們所說的以形助關(guān)系，幫助學(xué)生獲得解決問題的思路與途徑。endprint

4.以形助分析

圖形直觀還可以輔助學(xué)生分析問題，思考數(shù)據(jù)本身的含義。

例如，“擲一擲”這節(jié)課的一個研究重點(diǎn)是“兩個骰子一起擲‘和是幾”。

在學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)這些“和”出現(xiàn)的可能性不相等的基礎(chǔ)上，繼續(xù)研究“可能性大小”的問題。教師設(shè)計了這樣一個環(huán)節(jié)：首先通過連線幫助學(xué)生找到36種搭配結(jié)果，并展示在一個個小正方形中，然后轉(zhuǎn)化成11種和，再通過對直觀數(shù)據(jù)的觀察，將所有相同的和出現(xiàn)的次數(shù)進(jìn)行整理，最后巧妙隱去小正方形中的數(shù)據(jù)形成一幅條形統(tǒng)計圖。

這一系列演示不僅將一個一個零散的“和”變成一組相關(guān)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，而且最終形成的這些高高低低的條形圖，既反映了“和”出現(xiàn)的范圍，更直觀反映出“和”出現(xiàn)可能性的大小，便于學(xué)生觀察、比較和進(jìn)一步分析問題。

三、研究“幾何直觀”的目標(biāo)

我們研究的目標(biāo)就是讓學(xué)生運(yùn)用幾何直觀，學(xué)會數(shù)學(xué)的思考。讓學(xué)生形成運(yùn)用幾何直觀解決問題的意識，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用幾何直觀的能力。

（一）培養(yǎng)幾何直觀意識——讓示意圖來幫忙

在課堂教學(xué)中，注重結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，在培養(yǎng)學(xué)生利用幾何直觀描述與分析問題的意識與能力上下功夫，因為只有能用自己喜歡的方式準(zhǔn)確表達(dá)出題目的意思，理解了數(shù)量之間的關(guān)系，學(xué)生才能夠正確地解決問題。

例如，小鴨說我家上面有3層，下面有2層，小雞說我家在小鴨家樓上。問小雞和小鴨家分別住幾樓，它們這棟樓一共有幾層？

在解決這一問題時，教師引導(dǎo)學(xué)生用自己喜歡的圖形符號分別表示小鴨、小雞和樓層，先讓學(xué)生按照小鴨和小雞的話畫出示意圖，再結(jié)合上下位置思考并解決問題。

從學(xué)生畫的圖中可以發(fā)現(xiàn)，有的圖畫得非常有價值，本題呈現(xiàn)的樓層中有兩個小動物，所以，學(xué)生選取了兩種符號與其他樓層進(jìn)行區(qū)分，這是學(xué)生對數(shù)學(xué)信息的正確解讀。用兩種特殊符號表示參照物，這是學(xué)生對數(shù)學(xué)信息的加工解讀。這樣的示意圖不僅直觀展現(xiàn)了題意，還把思考的過程變成可操作的材料，簡潔、快速地獲得答案，解決了學(xué)生當(dāng)時還不能用文字和計算解決的問題，學(xué)生畫的示意圖真的是“畫出了名堂”。

教師幫助學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣是非常重要的，能畫圖時盡量畫，將簡單有趣的涂鴉行為運(yùn)用到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上，其實是將相對抽象的思考對象“圖形化”，讓看得見的東西來幫忙，進(jìn)而幫助學(xué)生分析理解抽象問題。

（二）形成幾何直觀的能力——讓數(shù)學(xué)變得簡單

學(xué)生形成了幾何直觀的意識之后，接下來的培養(yǎng)目標(biāo)就是讓學(xué)生形成幾何直觀的能力。幾何直觀不僅僅使學(xué)生看到了什么，更重要的是要促使學(xué)生通過看到的圖形聯(lián)想到了什么？能否將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化？這是數(shù)學(xué)非常重要而有價值的思維方式。

例如，學(xué)校要給頒獎臺的前面涂漆，需要涂漆部分的面積是多少平方厘米？

部分學(xué)生能夠觀察到數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，再根據(jù)圖形的特征，通過分一分、畫一畫、移一移的活動讓靜態(tài)的圖形動起來，把不規(guī)則的圖形變成了長是150厘米，寬是40厘米的規(guī)則長方形?？梢?，這些學(xué)生能夠在運(yùn)用幾何直觀讀懂題目的基礎(chǔ)上進(jìn)行思考，巧妙地把較難的數(shù)學(xué)問題變得簡單，形成了自覺運(yùn)用幾何直觀的能力。

很多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念，例如數(shù)、度量、函數(shù)……都具有雙重性，既有數(shù)的特征，又有形的特征，只有從兩個方面認(rèn)識它們，運(yùn)用幾何直觀，才能很好地理解它們，掌握它們的本質(zhì)意義，讓這些內(nèi)容變得生動、形象起來。同時，借助幾何直觀，使學(xué)生收獲的不僅是數(shù)學(xué)知識，更重要的是提高學(xué)生自覺運(yùn)用幾何直觀的意識和能力。endprint

4.以形助分析

圖形直觀還可以輔助學(xué)生分析問題，思考數(shù)據(jù)本身的含義。

例如，“擲一擲”這節(jié)課的一個研究重點(diǎn)是“兩個骰子一起擲‘和是幾”。

在學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)這些“和”出現(xiàn)的可能性不相等的基礎(chǔ)上，繼續(xù)研究“可能性大小”的問題。教師設(shè)計了這樣一個環(huán)節(jié)：首先通過連線幫助學(xué)生找到36種搭配結(jié)果，并展示在一個個小正方形中，然后轉(zhuǎn)化成11種和，再通過對直觀數(shù)據(jù)的觀察，將所有相同的和出現(xiàn)的次數(shù)進(jìn)行整理，最后巧妙隱去小正方形中的數(shù)據(jù)形成一幅條形統(tǒng)計圖。

這一系列演示不僅將一個一個零散的“和”變成一組相關(guān)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，而且最終形成的這些高高低低的條形圖，既反映了“和”出現(xiàn)的范圍，更直觀反映出“和”出現(xiàn)可能性的大小，便于學(xué)生觀察、比較和進(jìn)一步分析問題。

三、研究“幾何直觀”的目標(biāo)

我們研究的目標(biāo)就是讓學(xué)生運(yùn)用幾何直觀，學(xué)會數(shù)學(xué)的思考。讓學(xué)生形成運(yùn)用幾何直觀解決問題的意識，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用幾何直觀的能力。

（一）培養(yǎng)幾何直觀意識——讓示意圖來幫忙

在課堂教學(xué)中，注重結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，在培養(yǎng)學(xué)生利用幾何直觀描述與分析問題的意識與能力上下功夫，因為只有能用自己喜歡的方式準(zhǔn)確表達(dá)出題目的意思，理解了數(shù)量之間的關(guān)系，學(xué)生才能夠正確地解決問題。

例如，小鴨說我家上面有3層，下面有2層，小雞說我家在小鴨家樓上。問小雞和小鴨家分別住幾樓，它們這棟樓一共有幾層？

在解決這一問題時，教師引導(dǎo)學(xué)生用自己喜歡的圖形符號分別表示小鴨、小雞和樓層，先讓學(xué)生按照小鴨和小雞的話畫出示意圖，再結(jié)合上下位置思考并解決問題。

從學(xué)生畫的圖中可以發(fā)現(xiàn)，有的圖畫得非常有價值，本題呈現(xiàn)的樓層中有兩個小動物，所以，學(xué)生選取了兩種符號與其他樓層進(jìn)行區(qū)分，這是學(xué)生對數(shù)學(xué)信息的正確解讀。用兩種特殊符號表示參照物，這是學(xué)生對數(shù)學(xué)信息的加工解讀。這樣的示意圖不僅直觀展現(xiàn)了題意，還把思考的過程變成可操作的材料，簡潔、快速地獲得答案，解決了學(xué)生當(dāng)時還不能用文字和計算解決的問題，學(xué)生畫的示意圖真的是“畫出了名堂”。

教師幫助學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣是非常重要的，能畫圖時盡量畫，將簡單有趣的涂鴉行為運(yùn)用到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上，其實是將相對抽象的思考對象“圖形化”，讓看得見的東西來幫忙，進(jìn)而幫助學(xué)生分析理解抽象問題。

（二）形成幾何直觀的能力——讓數(shù)學(xué)變得簡單

學(xué)生形成了幾何直觀的意識之后，接下來的培養(yǎng)目標(biāo)就是讓學(xué)生形成幾何直觀的能力。幾何直觀不僅僅使學(xué)生看到了什么，更重要的是要促使學(xué)生通過看到的圖形聯(lián)想到了什么？能否將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化？這是數(shù)學(xué)非常重要而有價值的思維方式。

例如，學(xué)校要給頒獎臺的前面涂漆，需要涂漆部分的面積是多少平方厘米？

部分學(xué)生能夠觀察到數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，再根據(jù)圖形的特征，通過分一分、畫一畫、移一移的活動讓靜態(tài)的圖形動起來，把不規(guī)則的圖形變成了長是150厘米，寬是40厘米的規(guī)則長方形。可見，這些學(xué)生能夠在運(yùn)用幾何直觀讀懂題目的基礎(chǔ)上進(jìn)行思考，巧妙地把較難的數(shù)學(xué)問題變得簡單，形成了自覺運(yùn)用幾何直觀的能力。

很多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念，例如數(shù)、度量、函數(shù)……都具有雙重性，既有數(shù)的特征，又有形的特征，只有從兩個方面認(rèn)識它們，運(yùn)用幾何直觀，才能很好地理解它們，掌握它們的本質(zhì)意義，讓這些內(nèi)容變得生動、形象起來。同時，借助幾何直觀，使學(xué)生收獲的不僅是數(shù)學(xué)知識，更重要的是提高學(xué)生自覺運(yùn)用幾何直觀的意識和能力。endprint

4.以形助分析

圖形直觀還可以輔助學(xué)生分析問題，思考數(shù)據(jù)本身的含義。

例如，“擲一擲”這節(jié)課的一個研究重點(diǎn)是“兩個骰子一起擲‘和是幾”。

在學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)這些“和”出現(xiàn)的可能性不相等的基礎(chǔ)上，繼續(xù)研究“可能性大小”的問題。教師設(shè)計了這樣一個環(huán)節(jié)：首先通過連線幫助學(xué)生找到36種搭配結(jié)果，并展示在一個個小正方形中，然后轉(zhuǎn)化成11種和，再通過對直觀數(shù)據(jù)的觀察，將所有相同的和出現(xiàn)的次數(shù)進(jìn)行整理，最后巧妙隱去小正方形中的數(shù)據(jù)形成一幅條形統(tǒng)計圖。

這一系列演示不僅將一個一個零散的“和”變成一組相關(guān)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，而且最終形成的這些高高低低的條形圖，既反映了“和”出現(xiàn)的范圍，更直觀反映出“和”出現(xiàn)可能性的大小，便于學(xué)生觀察、比較和進(jìn)一步分析問題。

三、研究“幾何直觀”的目標(biāo)

我們研究的目標(biāo)就是讓學(xué)生運(yùn)用幾何直觀，學(xué)會數(shù)學(xué)的思考。讓學(xué)生形成運(yùn)用幾何直觀解決問題的意識，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用幾何直觀的能力。

（一）培養(yǎng)幾何直觀意識——讓示意圖來幫忙

在課堂教學(xué)中，注重結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，在培養(yǎng)學(xué)生利用幾何直觀描述與分析問題的意識與能力上下功夫，因為只有能用自己喜歡的方式準(zhǔn)確表達(dá)出題目的意思，理解了數(shù)量之間的關(guān)系，學(xué)生才能夠正確地解決問題。

例如，小鴨說我家上面有3層，下面有2層，小雞說我家在小鴨家樓上。問小雞和小鴨家分別住幾樓，它們這棟樓一共有幾層？

在解決這一問題時，教師引導(dǎo)學(xué)生用自己喜歡的圖形符號分別表示小鴨、小雞和樓層，先讓學(xué)生按照小鴨和小雞的話畫出示意圖，再結(jié)合上下位置思考并解決問題。

從學(xué)生畫的圖中可以發(fā)現(xiàn)，有的圖畫得非常有價值，本題呈現(xiàn)的樓層中有兩個小動物，所以，學(xué)生選取了兩種符號與其他樓層進(jìn)行區(qū)分，這是學(xué)生對數(shù)學(xué)信息的正確解讀。用兩種特殊符號表示參照物，這是學(xué)生對數(shù)學(xué)信息的加工解讀。這樣的示意圖不僅直觀展現(xiàn)了題意，還把思考的過程變成可操作的材料，簡潔、快速地獲得答案，解決了學(xué)生當(dāng)時還不能用文字和計算解決的問題，學(xué)生畫的示意圖真的是“畫出了名堂”。

教師幫助學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣是非常重要的，能畫圖時盡量畫，將簡單有趣的涂鴉行為運(yùn)用到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上，其實是將相對抽象的思考對象“圖形化”，讓看得見的東西來幫忙，進(jìn)而幫助學(xué)生分析理解抽象問題。

（二）形成幾何直觀的能力——讓數(shù)學(xué)變得簡單

學(xué)生形成了幾何直觀的意識之后，接下來的培養(yǎng)目標(biāo)就是讓學(xué)生形成幾何直觀的能力。幾何直觀不僅僅使學(xué)生看到了什么，更重要的是要促使學(xué)生通過看到的圖形聯(lián)想到了什么？能否將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化？這是數(shù)學(xué)非常重要而有價值的思維方式。

例如，學(xué)校要給頒獎臺的前面涂漆，需要涂漆部分的面積是多少平方厘米？

部分學(xué)生能夠觀察到數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，再根據(jù)圖形的特征，通過分一分、畫一畫、移一移的活動讓靜態(tài)的圖形動起來，把不規(guī)則的圖形變成了長是150厘米，寬是40厘米的規(guī)則長方形?？梢姡@些學(xué)生能夠在運(yùn)用幾何直觀讀懂題目的基礎(chǔ)上進(jìn)行思考，巧妙地把較難的數(shù)學(xué)問題變得簡單，形成了自覺運(yùn)用幾何直觀的能力。

很多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念，例如數(shù)、度量、函數(shù)……都具有雙重性，既有數(shù)的特征，又有形的特征，只有從兩個方面認(rèn)識它們，運(yùn)用幾何直觀，才能很好地理解它們，掌握它們的本質(zhì)意義，讓這些內(nèi)容變得生動、形象起來。同時，借助幾何直觀，使學(xué)生收獲的不僅是數(shù)學(xué)知識，更重要的是提高學(xué)生自覺運(yùn)用幾何直觀的意識和能力。endprint