浦陳霞+嚴(yán)育洪

“望”：病例觀察

“乘法分配律”是蘇教版教材四年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容。課一開(kāi)始，教師出示如下兩組題目，男女生各做一組，比一比誰(shuí)算得快。教師意在通過(guò)做第一組題的女生獲勝引出新授內(nèi)容。

第一組 第二組

（4+6）×2 4×2+6×2

（9+11）×15 9×15+11×15

（23+17）×40 23×40+17×40

（45+55）×9 45×9+55×9

結(jié)果，意外的是一位男生得了第一名。他在說(shuō)獲獎(jiǎng)感言時(shí)說(shuō)：“我就做了第一組好算的題……”話沒(méi)說(shuō)完，就有同學(xué)大喊：“做錯(cuò)題啦！”他急忙解釋：“我發(fā)現(xiàn)兩組題結(jié)果是一樣的?！苯處燇@訝地追問(wèn)他是怎么發(fā)現(xiàn)的，他說(shuō)出了自己的看法：“第一個(gè)算式，以前在計(jì)算長(zhǎng)方形周長(zhǎng)時(shí)，就已經(jīng)知道它們是相等的了，于是我就猜想這兩組題結(jié)果是一樣的。”

……

全課總結(jié)時(shí)，教師例行公事地問(wèn)：“乘法分配律大家學(xué)會(huì)了嗎？”學(xué)生眾口一詞：“學(xué)會(huì)了！”見(jiàn)此情景，教師追查：“哦？背得出了？你來(lái)背一下。”被點(diǎn)名的學(xué)生背得很流利，教師表?yè)P(yáng)道：“你果然學(xué)會(huì)了，真棒！”課后，教師要求學(xué)生熟記乘法分配律，并到小組長(zhǎng)那里過(guò)關(guān)。

……

第二天，在教“利用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算”時(shí)，又抽查了幾位學(xué)生，表現(xiàn)讓教師很滿意。接下來(lái)做書(shū)上的簡(jiǎn)算題，學(xué)生應(yīng)對(duì)自如?？磥?lái)，前面的功夫沒(méi)有白費(fèi)。

課后，教師給學(xué)生另外出了一些檢測(cè)題，結(jié)果學(xué)生出現(xiàn)了這樣一些錯(cuò)誤：（33+4）×25=33+4×25；12×97+3=12×（97+3）；25×（4×8）=25×4+25×8。學(xué)生前后判若兩人的表現(xiàn)，讓教師感到很奇怪：“明明背得不錯(cuò)，做起題來(lái)咋就錯(cuò)了呢？”

“問(wèn)”：病歷記錄

過(guò)后，教師對(duì)出錯(cuò)學(xué)生進(jìn)行了重點(diǎn)訪談。

錯(cuò)例1：（33+4）×25=33+4×25

師：你是怎么想到這樣算的？

生：25和4是好朋友嘛，可以用乘法分配律簡(jiǎn)算呀。

師：乘法分配律，你用對(duì)了嗎？

生（等式前后對(duì)照了一下）：對(duì)啊，數(shù)字和符號(hào)都不差。

師：你再對(duì)照一下乘法分配律的字母式。

生（終于發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題）：哦，33忘記乘25了。（頓了一會(huì)，一臉疑惑）咦，這樣計(jì)算，好像也不是特別簡(jiǎn)便喲。

……

錯(cuò)例2：12×97+3=12×（97+3）

師：乘法分配律你會(huì)背嗎？

生：會(huì)啊。

師：乘法分配律你會(huì)用嗎？

生：會(huì)啊。

師：這題能用乘法分配律嗎？

生（感到很奇怪）：哦，不能簡(jiǎn)算嗎？哦——我以為也要簡(jiǎn)便計(jì)算呢，就把97和3湊整了。（頓了一下，弱弱地說(shuō)）老師，這題不會(huì)是您出錯(cuò)了吧？

……

錯(cuò)例3：25×（4×8）=25×4+25×8

師：你為什么要用25分別去乘4和8？

生（一臉疑惑）：用乘法分配律啊?。戳艘粫?huì)兒）老師，是我錯(cuò)了，沒(méi)注意符號(hào)，應(yīng)該用乘法結(jié)合律簡(jiǎn)算的。

……

接著，在與執(zhí)教教師針對(duì)“背得出與做不對(duì)”這種背離現(xiàn)象的訪談中，聽(tīng)到了這樣的反思：學(xué)生之所以出現(xiàn)這些錯(cuò)誤，一是由于學(xué)生對(duì)乘法分配律缺乏生活經(jīng)驗(yàn)及知識(shí)基礎(chǔ)，沒(méi)能夠真正理解其內(nèi)涵，只是在機(jī)械地背誦和純粹地模仿；二是課后學(xué)生對(duì)乘法分配律的遺忘速度更是非?？?。

“切”：病理診治

經(jīng)過(guò)課上觀察和課后訪談，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生說(shuō)得比做得好的癥結(jié)在于流于“形式”，一是教學(xué)流于形式，二是知識(shí)流于形式，集中表現(xiàn)在只重乘法分配律的發(fā)現(xiàn)而不重乘法分配律的原理。

盡管課上學(xué)生都知道并會(huì)背乘法分配律，但對(duì)知識(shí)本質(zhì)的掌握，根基不牢也不深。例如，上述錯(cuò)例1和錯(cuò)例2，就經(jīng)不住“考驗(yàn)”，原形畢露。

上述錯(cuò)例，固然與數(shù)的誘惑有關(guān)，但與教師的教也有著一定的關(guān)系。從第一課時(shí)的比賽，到課尾的練習(xí)，教師過(guò)多地采用了可以簡(jiǎn)便計(jì)算的題目，加上在第二課時(shí)簡(jiǎn)便計(jì)算的強(qiáng)化，極易造成運(yùn)用乘法分配律是為了簡(jiǎn)便計(jì)算的錯(cuò)覺(jué)，學(xué)生的第一反應(yīng)就是能否簡(jiǎn)算，于是4和25、97和3等數(shù)的“搗亂”也就能夠生效，無(wú)怪乎學(xué)生會(huì)發(fā)出“咦，這樣計(jì)算，好像也不是特別簡(jiǎn)便”“老師，這題不會(huì)是您出錯(cuò)了吧”等疑惑。鑒于此，第一課時(shí)的第一印象很重要，教師應(yīng)淡化簡(jiǎn)算的痕跡，而突出乘法分配律的兩個(gè)算式體現(xiàn)著兩種思考問(wèn)題的方式。在舉例時(shí)，也應(yīng)該少用一些特殊的數(shù)，避免過(guò)早地把學(xué)生的視線引向簡(jiǎn)便計(jì)算。

不管如何，學(xué)生的不熟“練”，說(shuō)明對(duì)乘法分配律的意義建構(gòu)和形式建構(gòu)并不充分。而要讓學(xué)生少一些死記硬背，就要讓他們知道“乘法分配律為何是這樣的”，知其然而知其所以然，才不會(huì)輕易地犯糊涂、被誤導(dǎo)。由此，在教學(xué)中，教師應(yīng)該積極尋求讓學(xué)生易理解、易記憶、易掌握的方法。

一是強(qiáng)化乘法分配律的內(nèi)在意義，讓學(xué)生有聯(lián)系地記憶。乘法分配律不只是為簡(jiǎn)算而存在，它還有著廣泛的生活意義。當(dāng)學(xué)生知道了知識(shí)的生活意義，也就會(huì)覺(jué)得學(xué)習(xí)有意思。所以，第一課時(shí)一開(kāi)始的導(dǎo)入，教師不妨讓知識(shí)“回到”生活：（1）一套服裝，上衣58元，褲子42元，買這樣的3套應(yīng)付多少錢？（2）兩車同時(shí)從兩地相對(duì)開(kāi)出，4小時(shí)后相遇。甲車每小時(shí)行70千米，乙車每小時(shí)行50千米，兩地相距多少千米？（3）鋪地磚，左面每排鋪6塊，鋪9排；右面每排鋪4塊，鋪9排。一共鋪多少塊地磚？……熟悉的生活，熟悉的舊知，能讓學(xué)生感到新知不“新”。由此看來(lái)，訪談中執(zhí)教教師所說(shuō)的“學(xué)生缺乏生活經(jīng)驗(yàn)及知識(shí)基礎(chǔ)”理由不成立。

當(dāng)然，有意義的教學(xué)不能止步于揭示乘法分配律的生活意義，還應(yīng)該揭示乘法分配律的數(shù)學(xué)意義，這是知識(shí)的根本。

首先，教師可以采用數(shù)形結(jié)合的方式，幫助學(xué)生形象化理解乘法分配律。上述課中，那位男生發(fā)現(xiàn)了“（4+6）×2 ”與“4×2+6×2”形似長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的兩種計(jì)算方法“（a+b）×2 ”與“a×2+b×2”，由此推測(cè)，如此結(jié)構(gòu)的兩組算式結(jié)果相等，這是一種直覺(jué)思維，也是一種直觀思維。這也說(shuō)明，學(xué)生在以往的學(xué)習(xí)中已或隱或顯接觸到了乘法分配律的身影。又如，在數(shù)的領(lǐng)域，“兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算”以及乘法豎式計(jì)算中也或多或少蘊(yùn)含著乘法分配律的基因。endprint

用長(zhǎng)方形周長(zhǎng)來(lái)形象化乘法分配律有一定的局限性，教師一般用長(zhǎng)方形面積來(lái)“畫(huà)”出乘法分配律（如圖1），這樣的圖例可以從上述“鋪地磚”的生活情境中抽象出來(lái)。當(dāng)然，教師也可以先把“鋪地磚”半抽象成格子圖（如圖2），作為乘法分配律從數(shù)到形之間的過(guò)渡，于是，教師可以進(jìn)行如下教學(xué)鋪墊。

圖1

1.一排排地出示綠色小正方形，計(jì)算總個(gè)數(shù)，得到算式5×3。

2.出示算式4×3，你想到了怎樣的畫(huà)面？一排排地出示藍(lán)色小正方形。

圖2

3.問(wèn)：小正方形一共有多少個(gè)？引導(dǎo)學(xué)生列出綜合算式5×3+4×3和（5+4）×3。對(duì)于（5+4）×3，教師可動(dòng)態(tài)演示兩個(gè)圖形的合并過(guò)程。

接著，根據(jù)上述教學(xué)過(guò)程，可以把上面的合并圖去除格子線，就進(jìn)一步抽象成前述“（a+b）×c=a×c+b×c”所表示的長(zhǎng)方形面積圖。

最后，教師還應(yīng)該回到知識(shí)的源頭來(lái)理解乘法分配律。順著上述圖形示意，逐步從“幾個(gè)小正方形”抽象到“幾個(gè)幾”，也就是最終用乘法意義來(lái)解釋乘法分配律。

總之，對(duì)于乘法分配律的教學(xué)，教師不能僅僅滿足于讓學(xué)生采用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，還應(yīng)該注重乘法分配律從生活表征到圖形表征到數(shù)學(xué)表征的抽象過(guò)程，知道了乘法分配律的意義，也就能夠?qū)崿F(xiàn)有意義的建構(gòu)，乘法分配律的特征也就能夠銘記于心。至此，訪談中執(zhí)教教師的困惑——“沒(méi)能夠真正理解其內(nèi)涵，只是在機(jī)械地背誦和純粹地模仿”也就會(huì)煙消云散。

二是強(qiáng)化乘法分配律的外在特征，讓學(xué)生有聯(lián)想地記憶。有意義記憶可以延長(zhǎng)知識(shí)的保存時(shí)間，但也不是一勞永逸，還取決于學(xué)生是否對(duì)知識(shí)的外形了然于心，所以，形式上的記憶也很重要，學(xué)生只要想到乘法分配律，腦中就能夠自動(dòng)跳出它的模型。

然而，單調(diào)的背記會(huì)讓學(xué)生生厭。對(duì)此，有一位教師采用比喻的方式幫助學(xué)生記憶“a×（b+c）=a×b + a×c”的形式：a喜歡交朋友，先與b乘一乘，再與c乘一乘，最后一起手拉手。

還有一位教師則講得更有意思：a媽媽有兩個(gè)兒子，一個(gè)是b，一個(gè)是c。b和c先住在一起，后來(lái)b和c長(zhǎng)大要分家了，a媽媽既要拉b的手又要拉c的手。為什么？因?yàn)閍既是b的媽媽又是c的媽媽。少拉了一個(gè)兒子的手，另外一個(gè)兒子會(huì)認(rèn)為媽媽太偏心，會(huì)傷心的。

這樣的比喻雖然不十分科學(xué)，但足以達(dá)到趣味化輔助記憶的目的。正因?yàn)槭禽o助，所以這樣的“幽默一記”應(yīng)該放在規(guī)范化記憶之后。調(diào)查表明：如果在敘述一個(gè)概念時(shí)，緊接著舉一個(gè)幽默的例子解釋概念，可以幫助學(xué)生理解。以幽默的方法點(diǎn)撥知識(shí)，特別對(duì)一些抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容和深?yuàn)W的數(shù)學(xué)道理，可以使其通俗化，從而降低知識(shí)難度，提高理解效度。

當(dāng)然，教師還可以抓住乘法分配律中的“分配”兩字，幫助學(xué)生記憶和運(yùn)用：先把“（b+c）”分成兩部分，然后把b和c分別配給a相乘，最后合起來(lái)。

有意義的知識(shí)建構(gòu)加上有意思的知識(shí)建“構(gòu)”，可以最大程度地防止或延緩訪談中執(zhí)教教師所擔(dān)心的——“課后學(xué)生對(duì)乘法分配律的遺忘速度更是非?？臁薄?/p>

從上述錯(cuò)例3可以知道，學(xué)生對(duì)于乘法分配律，最容易與乘法結(jié)合律發(fā)生混淆。另外還可以知道，比較也是強(qiáng)化知識(shí)特征的有效方法。除了從結(jié)構(gòu)上比較之外，教師還可以從意義上比較。當(dāng)然，受制于學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容，教師還不能把乘法結(jié)合律表征為長(zhǎng)方體的體積，但可以借助生活情境來(lái)幫助學(xué)生理解兩者意義的不同。例如，有一位教師這樣設(shè)計(jì)乘法分配律與乘法結(jié)合律的比較教學(xué)。

1.出示28×（4×2），問(wèn)：如果28表示每壺油28元，那么這個(gè)算式的每一步計(jì)算可能表示什么？結(jié)合學(xué)生的解釋畫(huà)出示意圖：

那么，28×4×2這個(gè)算式每一步表示什么？

2.將28×（4×2）改成28×（4+2），它們表示的含義一樣嗎？

3.如果28×（4+2）去掉括號(hào)——28×4+2，又會(huì)發(fā)生什么變化呢？那么25×（4+2）去掉括號(hào)應(yīng)寫成什么樣呢？

4.討論：同樣是去括號(hào)，為什么28×（4+2）=28×4+28×2中28出現(xiàn)了兩次，而28×（4×2）=28×4×2中28只用了一次？

上述教例，運(yùn)用了多種比較和多次比較：縱向上，乘法分配律與乘法結(jié)合律進(jìn)行比較；橫向上，乘法分配律左右兩個(gè)算式進(jìn)行比較。每一種、每一次形式上的比較，其實(shí)都?xì)w結(jié)于意義上的比較。表面上，與乘法結(jié)合律的比較花費(fèi)了教學(xué)時(shí)間，實(shí)質(zhì)上卻在反作用于乘法分配律的理解和記憶，比較常常能夠達(dá)到一舉兩得的功效。為此，在練習(xí)中，教師可以用25×44大做文章，如果變成25×（4×11），則用乘法結(jié)合律簡(jiǎn)算，如果變成25×（40+4），則用乘法分配律簡(jiǎn)算（其實(shí)也就是豎式乘法的算法），一題兩法，對(duì)比強(qiáng)烈。

比較可以強(qiáng)記，由此，教師在教學(xué)中不妨插入一些如錯(cuò)例2這樣的反例，一方面可以讓學(xué)生在對(duì)比中清晰地認(rèn)識(shí)并掌握乘法分配律的結(jié)構(gòu)特征，另一方面可以克服學(xué)生“凡是這節(jié)課教的都可以用乘法分配律”的思維定勢(shì)，再一方面可以使學(xué)生領(lǐng)教審題的重要性。

綜上所述，學(xué)生背得出，并不表示就學(xué)會(huì)了，學(xué)生背得熟練，并不表示就能夠熟“練”。要能夠熟“練”，反復(fù)操練固然必不可少，但若能明明白白地操練無(wú)疑是上上之策，首先能“知其理”，然后能“識(shí)其貌”，如此的“知”“識(shí)”學(xué)習(xí)，才能讓學(xué)生更好地掌握知識(shí)。

（江蘇省無(wú)錫市錫山區(qū)東亭實(shí)驗(yàn)小學(xué) 214101

江蘇省無(wú)錫市錫山教師進(jìn)修學(xué)校 214101）endprint

用長(zhǎng)方形周長(zhǎng)來(lái)形象化乘法分配律有一定的局限性，教師一般用長(zhǎng)方形面積來(lái)“畫(huà)”出乘法分配律（如圖1），這樣的圖例可以從上述“鋪地磚”的生活情境中抽象出來(lái)。當(dāng)然，教師也可以先把“鋪地磚”半抽象成格子圖（如圖2），作為乘法分配律從數(shù)到形之間的過(guò)渡，于是，教師可以進(jìn)行如下教學(xué)鋪墊。

圖1

1.一排排地出示綠色小正方形，計(jì)算總個(gè)數(shù)，得到算式5×3。

2.出示算式4×3，你想到了怎樣的畫(huà)面？一排排地出示藍(lán)色小正方形。

圖2

3.問(wèn)：小正方形一共有多少個(gè)？引導(dǎo)學(xué)生列出綜合算式5×3+4×3和（5+4）×3。對(duì)于（5+4）×3，教師可動(dòng)態(tài)演示兩個(gè)圖形的合并過(guò)程。

接著，根據(jù)上述教學(xué)過(guò)程，可以把上面的合并圖去除格子線，就進(jìn)一步抽象成前述“（a+b）×c=a×c+b×c”所表示的長(zhǎng)方形面積圖。

最后，教師還應(yīng)該回到知識(shí)的源頭來(lái)理解乘法分配律。順著上述圖形示意，逐步從“幾個(gè)小正方形”抽象到“幾個(gè)幾”，也就是最終用乘法意義來(lái)解釋乘法分配律。

總之，對(duì)于乘法分配律的教學(xué)，教師不能僅僅滿足于讓學(xué)生采用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，還應(yīng)該注重乘法分配律從生活表征到圖形表征到數(shù)學(xué)表征的抽象過(guò)程，知道了乘法分配律的意義，也就能夠?qū)崿F(xiàn)有意義的建構(gòu)，乘法分配律的特征也就能夠銘記于心。至此，訪談中執(zhí)教教師的困惑——“沒(méi)能夠真正理解其內(nèi)涵，只是在機(jī)械地背誦和純粹地模仿”也就會(huì)煙消云散。

二是強(qiáng)化乘法分配律的外在特征，讓學(xué)生有聯(lián)想地記憶。有意義記憶可以延長(zhǎng)知識(shí)的保存時(shí)間，但也不是一勞永逸，還取決于學(xué)生是否對(duì)知識(shí)的外形了然于心，所以，形式上的記憶也很重要，學(xué)生只要想到乘法分配律，腦中就能夠自動(dòng)跳出它的模型。

然而，單調(diào)的背記會(huì)讓學(xué)生生厭。對(duì)此，有一位教師采用比喻的方式幫助學(xué)生記憶“a×（b+c）=a×b + a×c”的形式：a喜歡交朋友，先與b乘一乘，再與c乘一乘，最后一起手拉手。

還有一位教師則講得更有意思：a媽媽有兩個(gè)兒子，一個(gè)是b，一個(gè)是c。b和c先住在一起，后來(lái)b和c長(zhǎng)大要分家了，a媽媽既要拉b的手又要拉c的手。為什么？因?yàn)閍既是b的媽媽又是c的媽媽。少拉了一個(gè)兒子的手，另外一個(gè)兒子會(huì)認(rèn)為媽媽太偏心，會(huì)傷心的。

這樣的比喻雖然不十分科學(xué)，但足以達(dá)到趣味化輔助記憶的目的。正因?yàn)槭禽o助，所以這樣的“幽默一記”應(yīng)該放在規(guī)范化記憶之后。調(diào)查表明：如果在敘述一個(gè)概念時(shí)，緊接著舉一個(gè)幽默的例子解釋概念，可以幫助學(xué)生理解。以幽默的方法點(diǎn)撥知識(shí)，特別對(duì)一些抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容和深?yuàn)W的數(shù)學(xué)道理，可以使其通俗化，從而降低知識(shí)難度，提高理解效度。

當(dāng)然，教師還可以抓住乘法分配律中的“分配”兩字，幫助學(xué)生記憶和運(yùn)用：先把“（b+c）”分成兩部分，然后把b和c分別配給a相乘，最后合起來(lái)。

有意義的知識(shí)建構(gòu)加上有意思的知識(shí)建“構(gòu)”，可以最大程度地防止或延緩訪談中執(zhí)教教師所擔(dān)心的——“課后學(xué)生對(duì)乘法分配律的遺忘速度更是非?？臁薄?/p>

從上述錯(cuò)例3可以知道，學(xué)生對(duì)于乘法分配律，最容易與乘法結(jié)合律發(fā)生混淆。另外還可以知道，比較也是強(qiáng)化知識(shí)特征的有效方法。除了從結(jié)構(gòu)上比較之外，教師還可以從意義上比較。當(dāng)然，受制于學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容，教師還不能把乘法結(jié)合律表征為長(zhǎng)方體的體積，但可以借助生活情境來(lái)幫助學(xué)生理解兩者意義的不同。例如，有一位教師這樣設(shè)計(jì)乘法分配律與乘法結(jié)合律的比較教學(xué)。

1.出示28×（4×2），問(wèn)：如果28表示每壺油28元，那么這個(gè)算式的每一步計(jì)算可能表示什么？結(jié)合學(xué)生的解釋畫(huà)出示意圖：

那么，28×4×2這個(gè)算式每一步表示什么？

2.將28×（4×2）改成28×（4+2），它們表示的含義一樣嗎？

3.如果28×（4+2）去掉括號(hào)——28×4+2，又會(huì)發(fā)生什么變化呢？那么25×（4+2）去掉括號(hào)應(yīng)寫成什么樣呢？

4.討論：同樣是去括號(hào)，為什么28×（4+2）=28×4+28×2中28出現(xiàn)了兩次，而28×（4×2）=28×4×2中28只用了一次？

上述教例，運(yùn)用了多種比較和多次比較：縱向上，乘法分配律與乘法結(jié)合律進(jìn)行比較；橫向上，乘法分配律左右兩個(gè)算式進(jìn)行比較。每一種、每一次形式上的比較，其實(shí)都?xì)w結(jié)于意義上的比較。表面上，與乘法結(jié)合律的比較花費(fèi)了教學(xué)時(shí)間，實(shí)質(zhì)上卻在反作用于乘法分配律的理解和記憶，比較常常能夠達(dá)到一舉兩得的功效。為此，在練習(xí)中，教師可以用25×44大做文章，如果變成25×（4×11），則用乘法結(jié)合律簡(jiǎn)算，如果變成25×（40+4），則用乘法分配律簡(jiǎn)算（其實(shí)也就是豎式乘法的算法），一題兩法，對(duì)比強(qiáng)烈。

比較可以強(qiáng)記，由此，教師在教學(xué)中不妨插入一些如錯(cuò)例2這樣的反例，一方面可以讓學(xué)生在對(duì)比中清晰地認(rèn)識(shí)并掌握乘法分配律的結(jié)構(gòu)特征，另一方面可以克服學(xué)生“凡是這節(jié)課教的都可以用乘法分配律”的思維定勢(shì)，再一方面可以使學(xué)生領(lǐng)教審題的重要性。

綜上所述，學(xué)生背得出，并不表示就學(xué)會(huì)了，學(xué)生背得熟練，并不表示就能夠熟“練”。要能夠熟“練”，反復(fù)操練固然必不可少，但若能明明白白地操練無(wú)疑是上上之策，首先能“知其理”，然后能“識(shí)其貌”，如此的“知”“識(shí)”學(xué)習(xí)，才能讓學(xué)生更好地掌握知識(shí)。

（江蘇省無(wú)錫市錫山區(qū)東亭實(shí)驗(yàn)小學(xué) 214101

江蘇省無(wú)錫市錫山教師進(jìn)修學(xué)校 214101）endprint

用長(zhǎng)方形周長(zhǎng)來(lái)形象化乘法分配律有一定的局限性，教師一般用長(zhǎng)方形面積來(lái)“畫(huà)”出乘法分配律（如圖1），這樣的圖例可以從上述“鋪地磚”的生活情境中抽象出來(lái)。當(dāng)然，教師也可以先把“鋪地磚”半抽象成格子圖（如圖2），作為乘法分配律從數(shù)到形之間的過(guò)渡，于是，教師可以進(jìn)行如下教學(xué)鋪墊。

圖1

1.一排排地出示綠色小正方形，計(jì)算總個(gè)數(shù)，得到算式5×3。

2.出示算式4×3，你想到了怎樣的畫(huà)面？一排排地出示藍(lán)色小正方形。

圖2

3.問(wèn)：小正方形一共有多少個(gè)？引導(dǎo)學(xué)生列出綜合算式5×3+4×3和（5+4）×3。對(duì)于（5+4）×3，教師可動(dòng)態(tài)演示兩個(gè)圖形的合并過(guò)程。

接著，根據(jù)上述教學(xué)過(guò)程，可以把上面的合并圖去除格子線，就進(jìn)一步抽象成前述“（a+b）×c=a×c+b×c”所表示的長(zhǎng)方形面積圖。

最后，教師還應(yīng)該回到知識(shí)的源頭來(lái)理解乘法分配律。順著上述圖形示意，逐步從“幾個(gè)小正方形”抽象到“幾個(gè)幾”，也就是最終用乘法意義來(lái)解釋乘法分配律。

總之，對(duì)于乘法分配律的教學(xué)，教師不能僅僅滿足于讓學(xué)生采用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，還應(yīng)該注重乘法分配律從生活表征到圖形表征到數(shù)學(xué)表征的抽象過(guò)程，知道了乘法分配律的意義，也就能夠?qū)崿F(xiàn)有意義的建構(gòu)，乘法分配律的特征也就能夠銘記于心。至此，訪談中執(zhí)教教師的困惑——“沒(méi)能夠真正理解其內(nèi)涵，只是在機(jī)械地背誦和純粹地模仿”也就會(huì)煙消云散。

二是強(qiáng)化乘法分配律的外在特征，讓學(xué)生有聯(lián)想地記憶。有意義記憶可以延長(zhǎng)知識(shí)的保存時(shí)間，但也不是一勞永逸，還取決于學(xué)生是否對(duì)知識(shí)的外形了然于心，所以，形式上的記憶也很重要，學(xué)生只要想到乘法分配律，腦中就能夠自動(dòng)跳出它的模型。

然而，單調(diào)的背記會(huì)讓學(xué)生生厭。對(duì)此，有一位教師采用比喻的方式幫助學(xué)生記憶“a×（b+c）=a×b + a×c”的形式：a喜歡交朋友，先與b乘一乘，再與c乘一乘，最后一起手拉手。

還有一位教師則講得更有意思：a媽媽有兩個(gè)兒子，一個(gè)是b，一個(gè)是c。b和c先住在一起，后來(lái)b和c長(zhǎng)大要分家了，a媽媽既要拉b的手又要拉c的手。為什么？因?yàn)閍既是b的媽媽又是c的媽媽。少拉了一個(gè)兒子的手，另外一個(gè)兒子會(huì)認(rèn)為媽媽太偏心，會(huì)傷心的。

這樣的比喻雖然不十分科學(xué)，但足以達(dá)到趣味化輔助記憶的目的。正因?yàn)槭禽o助，所以這樣的“幽默一記”應(yīng)該放在規(guī)范化記憶之后。調(diào)查表明：如果在敘述一個(gè)概念時(shí)，緊接著舉一個(gè)幽默的例子解釋概念，可以幫助學(xué)生理解。以幽默的方法點(diǎn)撥知識(shí)，特別對(duì)一些抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容和深?yuàn)W的數(shù)學(xué)道理，可以使其通俗化，從而降低知識(shí)難度，提高理解效度。

當(dāng)然，教師還可以抓住乘法分配律中的“分配”兩字，幫助學(xué)生記憶和運(yùn)用：先把“（b+c）”分成兩部分，然后把b和c分別配給a相乘，最后合起來(lái)。

有意義的知識(shí)建構(gòu)加上有意思的知識(shí)建“構(gòu)”，可以最大程度地防止或延緩訪談中執(zhí)教教師所擔(dān)心的——“課后學(xué)生對(duì)乘法分配律的遺忘速度更是非?？臁薄?/p>

從上述錯(cuò)例3可以知道，學(xué)生對(duì)于乘法分配律，最容易與乘法結(jié)合律發(fā)生混淆。另外還可以知道，比較也是強(qiáng)化知識(shí)特征的有效方法。除了從結(jié)構(gòu)上比較之外，教師還可以從意義上比較。當(dāng)然，受制于學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容，教師還不能把乘法結(jié)合律表征為長(zhǎng)方體的體積，但可以借助生活情境來(lái)幫助學(xué)生理解兩者意義的不同。例如，有一位教師這樣設(shè)計(jì)乘法分配律與乘法結(jié)合律的比較教學(xué)。

1.出示28×（4×2），問(wèn)：如果28表示每壺油28元，那么這個(gè)算式的每一步計(jì)算可能表示什么？結(jié)合學(xué)生的解釋畫(huà)出示意圖：

那么，28×4×2這個(gè)算式每一步表示什么？

2.將28×（4×2）改成28×（4+2），它們表示的含義一樣嗎？

3.如果28×（4+2）去掉括號(hào)——28×4+2，又會(huì)發(fā)生什么變化呢？那么25×（4+2）去掉括號(hào)應(yīng)寫成什么樣呢？

4.討論：同樣是去括號(hào)，為什么28×（4+2）=28×4+28×2中28出現(xiàn)了兩次，而28×（4×2）=28×4×2中28只用了一次？

上述教例，運(yùn)用了多種比較和多次比較：縱向上，乘法分配律與乘法結(jié)合律進(jìn)行比較；橫向上，乘法分配律左右兩個(gè)算式進(jìn)行比較。每一種、每一次形式上的比較，其實(shí)都?xì)w結(jié)于意義上的比較。表面上，與乘法結(jié)合律的比較花費(fèi)了教學(xué)時(shí)間，實(shí)質(zhì)上卻在反作用于乘法分配律的理解和記憶，比較常常能夠達(dá)到一舉兩得的功效。為此，在練習(xí)中，教師可以用25×44大做文章，如果變成25×（4×11），則用乘法結(jié)合律簡(jiǎn)算，如果變成25×（40+4），則用乘法分配律簡(jiǎn)算（其實(shí)也就是豎式乘法的算法），一題兩法，對(duì)比強(qiáng)烈。

比較可以強(qiáng)記，由此，教師在教學(xué)中不妨插入一些如錯(cuò)例2這樣的反例，一方面可以讓學(xué)生在對(duì)比中清晰地認(rèn)識(shí)并掌握乘法分配律的結(jié)構(gòu)特征，另一方面可以克服學(xué)生“凡是這節(jié)課教的都可以用乘法分配律”的思維定勢(shì)，再一方面可以使學(xué)生領(lǐng)教審題的重要性。

綜上所述，學(xué)生背得出，并不表示就學(xué)會(huì)了，學(xué)生背得熟練，并不表示就能夠熟“練”。要能夠熟“練”，反復(fù)操練固然必不可少，但若能明明白白地操練無(wú)疑是上上之策，首先能“知其理”，然后能“識(shí)其貌”，如此的“知”“識(shí)”學(xué)習(xí)，才能讓學(xué)生更好地掌握知識(shí)。

（江蘇省無(wú)錫市錫山區(qū)東亭實(shí)驗(yàn)小學(xué) 214101

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