程學(xué)青

一、給學(xué)生提供合適的“切入口”

教學(xué)片斷一

師：下列函數(shù)中哪一個(gè)函數(shù)不是一次函數(shù)？（展示下圖）

（1）y=-2x+3 ； （2）y=[x2]； （3）y=[2x] ； （4）y=2x-1

生：（3）（4）。

師：談?wù)勀愕南敕ā?/p>

生：兩個(gè)變量的比值不是一個(gè)定值。

師：說得好，抓住了一次函數(shù)的本質(zhì)特征。（3）（4）都不是一次函數(shù)，那么這些函數(shù)是什么函數(shù)呢？

初始問題是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的起點(diǎn)。一個(gè)好的初始問題，能為學(xué)生的思維活動(dòng)提供了一個(gè)好的切入口，確定了一個(gè)好的方向，為學(xué)生的活動(dòng)找到了一個(gè)載體，也為數(shù)學(xué)課找到了一個(gè)好的結(jié)構(gòu)，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的探究欲望。在片斷一中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的概念，并且知道一次函數(shù)的一般形式，通過反復(fù)比較、辨認(rèn)、排出等活動(dòng)可以確定（3）（4）非一次函數(shù)，初步體驗(yàn)非一次函數(shù)的存在，為形成反比例函數(shù)埋下伏筆，（2）式與（3）式的結(jié)構(gòu)是非常相似的，僅僅只是自變量的位置不同，這一變化，函數(shù)的特性發(fā)生了變化，將生成一種新的函數(shù)，從而會(huì)促進(jìn)學(xué)生對(duì)比新函數(shù)的探究意識(shí)，也讓學(xué)生掌握了學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)。

二、在體驗(yàn)過程中自然形成

教學(xué)片斷二

師：我們學(xué)校距縣城大約8千米，想一想，我們有哪些方式到縣城？

生1：乘汽車。

生2：騎自行車。

生3：坐小車。

生4：步行也可以。

師：很好。請(qǐng)大家完成表格的填寫。

活動(dòng)1：從官莊到宜城有8千米，可以步行、騎自行車，坐公汽和小轎車，具體速度（千米/時(shí)）見下表：

[＼&步 行＼&騎自行車＼&乘公汽＼&坐小轎車＼&V千米/時(shí)＼&4＼&15＼&30＼&60＼&T小時(shí)＼&＼&＼&＼&＼&]

（學(xué)生填寫表格。）

師：時(shí)間是速度的函數(shù)嗎？

生1：是的，因?yàn)樗俣仍谧兓?，時(shí)間也在變化。

生2：不全面，對(duì)于每一個(gè)V的取值，有唯一確定的t值與之對(duì)應(yīng)。

師：有道理，這兩個(gè)變量之間的獨(dú)特關(guān)系是什么？

生4：隨著V的增大，t在逐步減少。

師：是，還有別的嗎？

生5：兩個(gè)變量之積是8。

師：很好，（板書：Vt=8）

師：想一想：V與t之間的關(guān)系還可以怎樣表示？

生6：V=[8t]或t=8/V

活動(dòng)2：你能設(shè)計(jì)一個(gè)面積為20平方厘米的矩形嗎？

[長x＼&2＼&4＼&1＼&5＼&10＼&寬y＼&10＼&5＼&20＼&4＼&2＼&]

師：這樣的矩形我們能設(shè)計(jì)多少個(gè)？

生：（齊）無數(shù)個(gè)。

師：矩形的寬是長的函數(shù)嗎？為什么？

生1：對(duì)于x的每一個(gè)確定值，y有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)。

師：在這兩個(gè)問題中，y與x的關(guān)系相同嗎？

生2：不相同，上例中兩個(gè)變量之積等于8，本題中兩個(gè)變量之積等于20。

生3：8和20都是常量，所以兩個(gè)變量之間的關(guān)系是相同的。

師：生3的思考非常有理，事實(shí)上，上述兩個(gè)問題的背景雖然不同，但兩個(gè)變量之間的關(guān)系是相同的，即兩個(gè)變量之積是常量（數(shù)）。我們把其中一個(gè)變量稱為另一個(gè)變量的反比例函數(shù)。[板書：[y=kx]（[k≠0]）]

數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注重讓學(xué)生體驗(yàn)概念的形成過程，即概念在什么條件下蘊(yùn)藏著，在什么背景下初露端倪，如何經(jīng)過分析、對(duì)比、歸納、抽象，最后形成理性的概念。所以，教師應(yīng)針對(duì)不同的教學(xué)內(nèi)容，巧妙地設(shè)計(jì)概念的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生自然地完成數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建。

借助典型具體的生活事例完成概念的構(gòu)建。反比例函數(shù)概念比較抽象，學(xué)習(xí)不容易理解。因此，教師要遵循學(xué)生的心理規(guī)律，聯(lián)系實(shí)際生活，提高學(xué)生學(xué)習(xí)熱情。片斷二的兩個(gè)情境是學(xué)生非常熟悉的且這兩個(gè)情境中都蘊(yùn)含有反比例函數(shù)關(guān)系的因素，因而多數(shù)學(xué)生都能參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，從兩個(gè)背景不同生活問題中探討兩個(gè)變量之積是常量這一相同的特殊關(guān)系，經(jīng)過分析、對(duì)比、歸納，初步完成反比例函數(shù)建構(gòu)，進(jìn)而形成反比例函數(shù)概念。

片斷二讓筆者感悟到除了借助典型具體的生活事例完成概念的構(gòu)建外，還有其他方式也能完成概念的構(gòu)建。

以動(dòng)手操作為載體完成概念的構(gòu)建。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，過于強(qiáng)調(diào)結(jié)論，只能促使學(xué)生單純的模仿和記憶知識(shí)，但如果設(shè)計(jì)一個(gè)操作性很強(qiáng)的動(dòng)手活動(dòng)，并引導(dǎo)學(xué)生積極參與其中，使探究不是停止簡單的操作層面，這樣不僅能培養(yǎng)學(xué)生尊重客觀事物的態(tài)度、科學(xué)探索知識(shí)的能力以及勇于創(chuàng)新的精神，而且還能達(dá)到數(shù)學(xué)概念呼之欲出的效果。例如，我們?cè)诮虒W(xué)矩形概念時(shí)，讓學(xué)生拿出平行四邊形框架，利用平行四邊形的不穩(wěn)定性拉動(dòng)框架的一端，展示某一個(gè)角由銳角到鈍角的變化過程，并思考“有沒有一個(gè)特殊的平行四邊形”“你能舉出生活中類似長方形的物體嗎”“在平行四邊形的基礎(chǔ)上增加一個(gè)什么條件就成為了一個(gè)矩形”之類的問題。這一案例讓學(xué)生先從動(dòng)手操作中感知特殊的平行四邊形的存在，同時(shí)類比生活中的矩形狀物體的實(shí)例，從而讓學(xué)生自然把握住概念的核心，進(jìn)一步完成矩形概念的構(gòu)建。

以失敗、錯(cuò)誤為教學(xué)資源完成概念構(gòu)建。數(shù)學(xué)具有精確性和嚴(yán)密性的特點(diǎn)，因此教師要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生言必有據(jù)、一絲不茍、堅(jiān)持真理、修正錯(cuò)誤的科學(xué)態(tài)度。然而，學(xué)習(xí)中發(fā)生各種各樣的失誤、錯(cuò)誤總是難免的，也是正常的。教師要改變以往對(duì)待失敗、錯(cuò)誤像對(duì)待“敵人”一樣的態(tài)度，應(yīng)把學(xué)生犯錯(cuò)的過程看成嘗試和創(chuàng)新的過程，要把失敗、錯(cuò)誤視為一種生成性的資源，以新的觀念、新的眼光，站在新的視角對(duì)其價(jià)值進(jìn)行重新定位，因“題”制宜地處理好來自學(xué)生的錯(cuò)誤，會(huì)得到意想不到的效果。例如，在《圓》的概念教學(xué)中，教師原本設(shè)計(jì)問題組：“生活中有哪些物體給我們以圓的形象？”“你能不借任何工具畫一個(gè)圓嗎？”“借助圓規(guī)是否一定能畫一個(gè)圓？”“嘗試：用圓規(guī)畫一個(gè)圓?！薄敖柚?xì)繩畫圓?！薄跋胍幌脒@兩種方法畫圓滿足的相同的關(guān)系是什么？”而在實(shí)際畫圓的操作過程中，由于黑板的光滑，學(xué)生在畫圓時(shí)導(dǎo)致圓規(guī)固定的一端滑動(dòng)，從而使畫圓失敗。教師機(jī)靈一動(dòng)，拋開了原來的教學(xué)設(shè)計(jì)，順勢(shì)提出“圓規(guī)也不能畫圓，這是為什么？”接著教師又非常隱蔽地改變圓的半徑，又畫失敗了。在操作失敗后，師生一起分析了失敗的原因，形象而又生動(dòng)地把圓的概念核心——定點(diǎn)、定長這兩個(gè)條件挖掘出來了，水到渠成地完成了概念的構(gòu)建。endprint

三、在運(yùn)用掌握中實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)化

練習(xí)：下列函數(shù)表達(dá)式中，x表示自變量，那么哪些是反比例函數(shù)？[k]的值為多少？

①[y=0.4x]，②[y=x2]，③[xy]=3，④[y]=-6[x]+3，⑤[xy]+7=0，⑥[y]=5[x]-1

議一議：小明是一個(gè)愛動(dòng)腦筋的學(xué)生，一次住院打點(diǎn)滴時(shí)，發(fā)現(xiàn)瓶中剩余藥量隨著時(shí)間推移而越來越少，因此，他認(rèn)為瓶中剩下的藥液量是時(shí)間的反比例函數(shù)，你認(rèn)為他的想法對(duì)嗎？

生：（齊）對(duì)。

師：為什么？

生1：一個(gè)變量增加，另一個(gè)變量減少，這不就是反比例嗎？

師：真的嗎？下面我們一起來驗(yàn)證。

（假設(shè)藥瓶中有藥液500毫升，每分鐘滴25毫升。）

[時(shí)間t＼&5＼&10＼&15＼&20＼&剩藥液量＼&375＼&250＼&125＼&0＼&它們的乘積＼&1875＼&2500＼&1875＼&0＼&]

（老師給出時(shí)間t為5，10，15，20時(shí)，學(xué)生很快算出剩藥液量和它們的乘積，并進(jìn)行了激烈的討論，之后學(xué)生露出了驚訝的表情，老師緊接著就提問。）

師：它們的乘積還是一個(gè)定值嗎？t是V的反比例函數(shù)嗎？

生：不是。

師：你能寫出V與t的關(guān)系式嗎？

生：V=500-25t。

師：其實(shí)V是t的一次函數(shù)。

練習(xí)的一個(gè)重要目的是“識(shí)別”，識(shí)別是概念形成的重要環(huán)節(jié)，同時(shí)反饋反比例函數(shù)是否理解和反比例函數(shù)的解析式是否掌握。⑤[xy]+7=0⑥[y]=5[x]-1的形式與反比例函數(shù)解析式有所變化，這其實(shí)是一種變式，不同的形式反映的本質(zhì)特征是相同的，因此使學(xué)生理解反比例的概念。因?yàn)榘盐崭拍畹谋举|(zhì)特征需要一個(gè)過程，在這個(gè)過程中突出一些非本質(zhì)因素的干擾，進(jìn)而使概念的本質(zhì)特征更加突出。所以設(shè)計(jì)議一議，有意讓學(xué)生犯錯(cuò)誤，認(rèn)為剩藥液量是時(shí)間的反比例函數(shù)，讓學(xué)生追尋著這些錯(cuò)誤充分地探究，跌倒爬起，經(jīng)歷一個(gè)曲折過程后得出一個(gè)與自己的猜想相矛盾的結(jié)論，再通過知識(shí)的遷移，進(jìn)而使反比例函數(shù)概念的本質(zhì)特征更加突出。教師還可以設(shè)計(jì)拓廣引伸練習(xí)，讓學(xué)生更準(zhǔn)確把握正、反比例函數(shù)的本質(zhì)特征，進(jìn)一步加深對(duì)反比例函數(shù)的運(yùn)用和理解。片斷三中，所有環(huán)節(jié)實(shí)質(zhì)上都是反比例函數(shù)概念的鞏固和運(yùn)用，其共同目的是為了讓學(xué)生經(jīng)歷親身體驗(yàn)反比例函數(shù)概念形成后的理解和運(yùn)用，是讓學(xué)生把所學(xué)的知識(shí)進(jìn)一步內(nèi)化，系統(tǒng)化。

責(zé)任編輯 陳建軍endprint

三、在運(yùn)用掌握中實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)化

練習(xí)：下列函數(shù)表達(dá)式中，x表示自變量，那么哪些是反比例函數(shù)？[k]的值為多少？

①[y=0.4x]，②[y=x2]，③[xy]=3，④[y]=-6[x]+3，⑤[xy]+7=0，⑥[y]=5[x]-1

議一議：小明是一個(gè)愛動(dòng)腦筋的學(xué)生，一次住院打點(diǎn)滴時(shí)，發(fā)現(xiàn)瓶中剩余藥量隨著時(shí)間推移而越來越少，因此，他認(rèn)為瓶中剩下的藥液量是時(shí)間的反比例函數(shù)，你認(rèn)為他的想法對(duì)嗎？

生：（齊）對(duì)。

師：為什么？

生1：一個(gè)變量增加，另一個(gè)變量減少，這不就是反比例嗎？

師：真的嗎？下面我們一起來驗(yàn)證。

（假設(shè)藥瓶中有藥液500毫升，每分鐘滴25毫升。）

[時(shí)間t＼&5＼&10＼&15＼&20＼&剩藥液量＼&375＼&250＼&125＼&0＼&它們的乘積＼&1875＼&2500＼&1875＼&0＼&]

（老師給出時(shí)間t為5，10，15，20時(shí)，學(xué)生很快算出剩藥液量和它們的乘積，并進(jìn)行了激烈的討論，之后學(xué)生露出了驚訝的表情，老師緊接著就提問。）

師：它們的乘積還是一個(gè)定值嗎？t是V的反比例函數(shù)嗎？

生：不是。

師：你能寫出V與t的關(guān)系式嗎？

生：V=500-25t。

師：其實(shí)V是t的一次函數(shù)。

練習(xí)的一個(gè)重要目的是“識(shí)別”，識(shí)別是概念形成的重要環(huán)節(jié)，同時(shí)反饋反比例函數(shù)是否理解和反比例函數(shù)的解析式是否掌握。⑤[xy]+7=0⑥[y]=5[x]-1的形式與反比例函數(shù)解析式有所變化，這其實(shí)是一種變式，不同的形式反映的本質(zhì)特征是相同的，因此使學(xué)生理解反比例的概念。因?yàn)榘盐崭拍畹谋举|(zhì)特征需要一個(gè)過程，在這個(gè)過程中突出一些非本質(zhì)因素的干擾，進(jìn)而使概念的本質(zhì)特征更加突出。所以設(shè)計(jì)議一議，有意讓學(xué)生犯錯(cuò)誤，認(rèn)為剩藥液量是時(shí)間的反比例函數(shù)，讓學(xué)生追尋著這些錯(cuò)誤充分地探究，跌倒爬起，經(jīng)歷一個(gè)曲折過程后得出一個(gè)與自己的猜想相矛盾的結(jié)論，再通過知識(shí)的遷移，進(jìn)而使反比例函數(shù)概念的本質(zhì)特征更加突出。教師還可以設(shè)計(jì)拓廣引伸練習(xí)，讓學(xué)生更準(zhǔn)確把握正、反比例函數(shù)的本質(zhì)特征，進(jìn)一步加深對(duì)反比例函數(shù)的運(yùn)用和理解。片斷三中，所有環(huán)節(jié)實(shí)質(zhì)上都是反比例函數(shù)概念的鞏固和運(yùn)用，其共同目的是為了讓學(xué)生經(jīng)歷親身體驗(yàn)反比例函數(shù)概念形成后的理解和運(yùn)用，是讓學(xué)生把所學(xué)的知識(shí)進(jìn)一步內(nèi)化，系統(tǒng)化。

責(zé)任編輯 陳建軍endprint

三、在運(yùn)用掌握中實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)化

練習(xí)：下列函數(shù)表達(dá)式中，x表示自變量，那么哪些是反比例函數(shù)？[k]的值為多少？

①[y=0.4x]，②[y=x2]，③[xy]=3，④[y]=-6[x]+3，⑤[xy]+7=0，⑥[y]=5[x]-1

議一議：小明是一個(gè)愛動(dòng)腦筋的學(xué)生，一次住院打點(diǎn)滴時(shí)，發(fā)現(xiàn)瓶中剩余藥量隨著時(shí)間推移而越來越少，因此，他認(rèn)為瓶中剩下的藥液量是時(shí)間的反比例函數(shù)，你認(rèn)為他的想法對(duì)嗎？

生：（齊）對(duì)。

師：為什么？

生1：一個(gè)變量增加，另一個(gè)變量減少，這不就是反比例嗎？

師：真的嗎？下面我們一起來驗(yàn)證。

（假設(shè)藥瓶中有藥液500毫升，每分鐘滴25毫升。）

[時(shí)間t＼&5＼&10＼&15＼&20＼&剩藥液量＼&375＼&250＼&125＼&0＼&它們的乘積＼&1875＼&2500＼&1875＼&0＼&]

（老師給出時(shí)間t為5，10，15，20時(shí)，學(xué)生很快算出剩藥液量和它們的乘積，并進(jìn)行了激烈的討論，之后學(xué)生露出了驚訝的表情，老師緊接著就提問。）

師：它們的乘積還是一個(gè)定值嗎？t是V的反比例函數(shù)嗎？

生：不是。

師：你能寫出V與t的關(guān)系式嗎？

生：V=500-25t。

師：其實(shí)V是t的一次函數(shù)。

練習(xí)的一個(gè)重要目的是“識(shí)別”，識(shí)別是概念形成的重要環(huán)節(jié)，同時(shí)反饋反比例函數(shù)是否理解和反比例函數(shù)的解析式是否掌握。⑤[xy]+7=0⑥[y]=5[x]-1的形式與反比例函數(shù)解析式有所變化，這其實(shí)是一種變式，不同的形式反映的本質(zhì)特征是相同的，因此使學(xué)生理解反比例的概念。因?yàn)榘盐崭拍畹谋举|(zhì)特征需要一個(gè)過程，在這個(gè)過程中突出一些非本質(zhì)因素的干擾，進(jìn)而使概念的本質(zhì)特征更加突出。所以設(shè)計(jì)議一議，有意讓學(xué)生犯錯(cuò)誤，認(rèn)為剩藥液量是時(shí)間的反比例函數(shù)，讓學(xué)生追尋著這些錯(cuò)誤充分地探究，跌倒爬起，經(jīng)歷一個(gè)曲折過程后得出一個(gè)與自己的猜想相矛盾的結(jié)論，再通過知識(shí)的遷移，進(jìn)而使反比例函數(shù)概念的本質(zhì)特征更加突出。教師還可以設(shè)計(jì)拓廣引伸練習(xí)，讓學(xué)生更準(zhǔn)確把握正、反比例函數(shù)的本質(zhì)特征，進(jìn)一步加深對(duì)反比例函數(shù)的運(yùn)用和理解。片斷三中，所有環(huán)節(jié)實(shí)質(zhì)上都是反比例函數(shù)概念的鞏固和運(yùn)用，其共同目的是為了讓學(xué)生經(jīng)歷親身體驗(yàn)反比例函數(shù)概念形成后的理解和運(yùn)用，是讓學(xué)生把所學(xué)的知識(shí)進(jìn)一步內(nèi)化，系統(tǒng)化。

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