李德奎，連玉平

(定西師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系，甘肅定西 743000)

時(shí)滯類Lorenz系統(tǒng)的Hopf分支

李德奎，連玉平

(定西師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系，甘肅定西 743000)

對(duì)類Lorenz系統(tǒng)的狀態(tài)變量加上時(shí)滯得到一個(gè)泛函微分動(dòng)力系統(tǒng)——時(shí)滯類Lorenz系統(tǒng)．首先給出了該系統(tǒng)僅存在零平衡點(diǎn)的條件，然后根據(jù)系統(tǒng)在零平衡點(diǎn)處的線性化系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的特征方程根的分布情況，給出了系統(tǒng)在零平衡點(diǎn)處穩(wěn)定性和發(fā)生Hopf分支的條件，最后通過(guò)一些數(shù)值模擬驗(yàn)證了所得結(jié)論的正確性．

時(shí)滯類Lorenz系統(tǒng)；零平衡點(diǎn)；穩(wěn)定性；Hopf分支

自1963年氣象學(xué)家Lorenz提出第一個(gè)經(jīng)典的Lorenz系統(tǒng)[1]以來(lái)，大量的混沌系統(tǒng)相繼被提出，例如Chen系統(tǒng)[2]、Lü系統(tǒng)[3]、Liu系統(tǒng)[4]、Qi系統(tǒng)[5]、T系統(tǒng)[6]等．近年來(lái)，分支問(wèn)題的研究與應(yīng)用已成為動(dòng)力系統(tǒng)中的重要課題，其中Hopf分支是一類非常重要的分支，在生物學(xué)、化學(xué)等眾多科學(xué)領(lǐng)域中被廣泛研究和應(yīng)用．所謂Hopf分支就是指參數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近出現(xiàn)小振幅的周期解．文獻(xiàn)[7]中提出了一個(gè)類Lorenz系統(tǒng)，并研究了它的分支規(guī)律，該系統(tǒng)的方程為：

其中x,y,z為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，a,b,c,d為系統(tǒng)參數(shù)．該系統(tǒng)僅有兩個(gè)非線性項(xiàng)，與其它的混沌或超混沌系統(tǒng)相比，結(jié)構(gòu)更加簡(jiǎn)單，在混沌掩飾保密通信領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用價(jià)值．

在通信過(guò)程中信號(hào)的傳輸會(huì)發(fā)生擁擠阻塞等現(xiàn)象，在種群生態(tài)系統(tǒng)中，捕食者在具有捕食能力之前大都需要一定的成長(zhǎng)時(shí)間和成熟時(shí)間，因此，時(shí)滯在動(dòng)力系統(tǒng)中是普遍存在的．基于以上考慮，本文在文獻(xiàn)[7]提出的類Lorenz系統(tǒng)中，給狀態(tài)變量施加時(shí)滯得到一個(gè)泛函微分動(dòng)力系統(tǒng)，稱之為時(shí)滯類Lorenz系統(tǒng)，并首先給出了該系統(tǒng)僅存在零平衡點(diǎn)的條件，然后通過(guò)系統(tǒng)在零平衡點(diǎn)處的線性化系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的特征方程根的分布，得出了該系統(tǒng)在零平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性條件和存在Hopf分支的條件，最后通過(guò)一些數(shù)值模擬驗(yàn)證了所得結(jié)論的正確性．本文的研究可以看作是對(duì)文獻(xiàn)[7]研究結(jié)果的進(jìn)一步拓展．

1 時(shí)滯類Lorenz系統(tǒng)

在類Lorenz系統(tǒng)（1）中考慮時(shí)滯現(xiàn)象，構(gòu)造一個(gè)時(shí)滯類Lorenz系統(tǒng)為：其中x,y,z為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，a,b為系統(tǒng)參數(shù)，τ(＞0)為時(shí)滯，可以理解為捕食者成熟所用的時(shí)間或信號(hào)傳輸?shù)难舆t時(shí)間．

2 時(shí)滯類Lorenz系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性

在平衡點(diǎn)O（0,0,0）處由線性化系統(tǒng)（1）可得到線性系統(tǒng)：

根據(jù)Routh-Hurwitz定理可知，特征方程（6）的所有根都具有負(fù)實(shí)部，所以當(dāng)τ=0時(shí)，類Lorenz系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)O（0,0,0）是漸近穩(wěn)定的．

3 數(shù)值仿真

因?yàn)樵趨?shù)a＞0且b＜0的情況下，已討論了系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)O(0,0,0)的穩(wěn)定性問(wèn)題，所以不妨取a=5，b=-4，這時(shí)系統(tǒng)（2）可表述為：

利用Matlab軟件計(jì)算得方程（9）的正實(shí)根ω0=3.3294，易得f′(ω02)=0.57×103＞0，方程（14）中τ0=0.2954．因此，定理可具體化為下面的推論．

推論 若a＞0、b＜0、c＞0、d＞0，且f′(ω02)＞0，則有：

1）當(dāng)τ∈[0,0.2954)時(shí)，系統(tǒng)（21）的平衡點(diǎn)O(0,0,0)是漸近穩(wěn)定的；

2）當(dāng)τ＞0.2954時(shí)，系統(tǒng)（21）的平衡點(diǎn)O(0,0,0)是不穩(wěn)定的；

3）當(dāng)τ=0.2954+0.6007kπ(k=0,1,2,3,…)時(shí)，系統(tǒng)（21）在平衡點(diǎn)O(0,0,0)處發(fā)生Hopf分支，產(chǎn)生極限環(huán)．

下面利用Matlab軟件，繪出時(shí)滯τ取不同值時(shí)系統(tǒng)（21）的狀態(tài)變量隨時(shí)間t變化的軌線圖（圖1、圖2、圖3）和系統(tǒng)（21）的相圖（圖4），以說(shuō)明所得結(jié)論的正確性．

圖1 系統(tǒng) (21) 的x,y,z隨時(shí)間t的軌線 (τ=0)

由圖1可知，當(dāng)τ=0時(shí)，類Lorenz系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)O(0,0,0)是漸近穩(wěn)定的．

圖2 系統(tǒng) (21) 的狀態(tài)變量x隨時(shí)間t的軌線

從圖2可以看出，當(dāng)時(shí)間t∈[0s,50s]時(shí)，時(shí)滯τ=0.28，系統(tǒng)（21）的狀態(tài)變量x在平衡點(diǎn)O(0,0,0)是漸進(jìn)穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)間t∈[50s,100s]時(shí)，時(shí)滯τ=0.2954，系統(tǒng)（21）的狀態(tài)變量x在平衡點(diǎn)O(0,0,0)產(chǎn)生了等振幅的周期解，發(fā)生Hopf分支；當(dāng)時(shí)間t∈[100s,150s]時(shí)，時(shí)滯τ=0.3，系統(tǒng)（21）的狀態(tài)變量x在平衡點(diǎn)O(0,0,0)是發(fā)散的．

圖3 系統(tǒng) (21) 的狀態(tài)變量y隨時(shí)間t的軌線

從圖3可以看出，當(dāng)時(shí)間t∈[0s,50s]時(shí)，時(shí)滯τ=0.28，系統(tǒng)（21）的狀態(tài)變量y在平衡點(diǎn)O(0,0,0)是漸進(jìn)穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)間t∈[50s,100s]時(shí)，時(shí)滯τ=0.2954，系統(tǒng)（21）的狀態(tài)變量y在平衡點(diǎn)O(0,0,0)產(chǎn)生了等振幅的周期解，發(fā)生Hopf分支；當(dāng)時(shí)間t∈[100s,150s]時(shí)，時(shí)滯τ=0.3，系統(tǒng)（21）的狀態(tài)變量y在平衡點(diǎn)O(0,0,0)是發(fā)散的．

圖4 時(shí)滯τ取不同值時(shí), 系統(tǒng) (21) 在x y投影面的相圖

從圖4可以看出，當(dāng)時(shí)滯τ=0.28時(shí)，系統(tǒng)（21）在平衡點(diǎn)O(0,0,0)是漸進(jìn)穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)滯τ=0.2954時(shí)，系統(tǒng)（21）在平衡點(diǎn)O(0,0,0)發(fā)生Hopf分支，產(chǎn)生如圖4所示的極限環(huán)；當(dāng)時(shí)滯τ=0.3時(shí)，系統(tǒng)（21）在平衡點(diǎn)O(0,0,0)是發(fā)散的．

4 結(jié) 語(yǔ)

因?yàn)闀r(shí)滯是動(dòng)力系統(tǒng)中普遍存在的現(xiàn)象，所以研究泛函微分動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分支是非常必要的．因此，本文研究了時(shí)滯類Lorenz系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性問(wèn)題，首先給出了系統(tǒng)僅存在零平衡點(diǎn)的條件，通過(guò)分析系統(tǒng)在零平衡點(diǎn)處的線性化系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的特征方程根的分布，得出系統(tǒng)在零平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性條件和存在Hopf分支的條件，最后給出一些數(shù)值模擬驗(yàn)證了所得結(jié)論的正確性．本文研究的問(wèn)題可以看作是對(duì)文獻(xiàn)[7]研究結(jié)果的進(jìn)一步拓展．

[1] Rossler Q E. An equation for continuous chaos [J]. Phys Lett A, 1976, 57: 397-398.

[2] Chen G, Ueta T. Yet another chaotic attractor [J]. Int J Bifur Chaos, 1999, 9: 1465-1466.

[3] Lü J, Chen G. A new chaotic attractor coined [J]. Int J Bifur Chaos, 2002, 12: 659-661.

[4] Liu C, Liu T, Liu L, et al. A new chaotic attractor [J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2004, 22: 1031-1038.

[5] Qi G, Chen G, Du S, et al. Analysis of a new chaotic system [J]. Physica A, 2005, 352: 295-308.

[6] Tigan G. Analysis of a 3D chaotic system [J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2008, 36: 1315-1319.

[7] 楊留猛, 余建寧, 安新磊, 等. 一個(gè)新三維自制系統(tǒng)的混沌分析及電路模擬[J]. 重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2012, 26: 127-133.

Hopf Bifurcation of the Delayed Lorenz-like System

LI Dekui, LIAN Yuping
(Department of Mathematics, Dingxi Teachers’ College, Dingxi, China 743000 )

The delayed Lorenz-like system proposed in this paper is a system resulting from the addition of time delay to the state variables of Lorenz-like system. Firstly, the condition of Lorenz-like system only at zero equilibrium point was analyzed; secondly, according to the roots distribution of the associated characteristic equation corresponding to the linearized system of the system at the zero equilibrium point, the conditions were obtained for the asymptotic stability of the system and the emergence of Hopf bifurcation when the system stayed at zero equilibrium point; finally, some numerical simulations were given to verify the correctness of the conclusion.

Delayed Lorenz-like System; Zero Equilibrium Point; Stability; Hopf Bifurcation

O175

A

1674-3563(2014)02-0001-07

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.02.001 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2013-09-18

教育部科技研究重點(diǎn)項(xiàng)目(212180)；甘肅省國(guó)際科技合作計(jì)劃項(xiàng)目(1104WCGA195)；定西師范高等?？茖W(xué)校青年項(xiàng)目(1329)

李德奎(1979- )，男，甘肅通渭人，講師，碩士，研究方向：混沌及復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步與控制