王小斌，周 鵬，黃 劍

(1．?dāng)?shù)理與軟件工程學(xué)院；2．機(jī)電工程學(xué)院，蘭州交通大學(xué)，甘肅蘭州 730070)

一類(lèi)單自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的顫振分析

王小斌1，周 鵬2，黃 劍1

(1．?dāng)?shù)理與軟件工程學(xué)院；2．機(jī)電工程學(xué)院，蘭州交通大學(xué)，甘肅蘭州 730070)

研究了一類(lèi)單自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的顫振運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用理論推導(dǎo)的方法找到了其顫振完成點(diǎn)及顫振時(shí)間，并針對(duì)該碰撞系統(tǒng)中的顫振導(dǎo)致的碰撞問(wèn)題，借助慧尾映射找到了一種有效的研究該碰撞系統(tǒng)中顫振現(xiàn)象的數(shù)值方法．利用數(shù)值仿真的方法揭示了系統(tǒng)中的完全顫振和不完全顫振現(xiàn)象．

碰撞；顫振；慧尾映射；數(shù)值仿真

碰撞問(wèn)題大量地出現(xiàn)在生物系統(tǒng)和機(jī)械系統(tǒng)中，這些系統(tǒng)大多數(shù)是非光滑或分段光滑的．非光滑動(dòng)力系統(tǒng)作為動(dòng)力學(xué)的一個(gè)分支，廣泛存在于多個(gè)科學(xué)領(lǐng)域．早期，Steven Wayne Shaw等[1]對(duì)碰撞振子作了大量研究，他們發(fā)現(xiàn)這類(lèi)系統(tǒng)中存在倍周期分岔和混沌等非線(xiàn)性特征，隨后許多學(xué)者將非光滑系統(tǒng)的研究重點(diǎn)由局部分析轉(zhuǎn)向全局問(wèn)題，也取得了許多成果[2-6]．

碰撞系統(tǒng)通常存在擦邊和顫振這兩種新穎的非光滑系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，這使得其呈現(xiàn)出許多光滑系統(tǒng)中所沒(méi)有的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為．顫振作為碰撞系統(tǒng)的一個(gè)特殊性質(zhì)，主要可以概括為完全顫振和非完全顫振．完全顫振表示在有限時(shí)間間隔內(nèi)系統(tǒng)發(fā)生了無(wú)窮次的碰撞；不完全顫振表示在有限時(shí)間間隔內(nèi)系統(tǒng)發(fā)生N（N為一個(gè)很大的有限數(shù)）次碰撞．本文對(duì)一類(lèi)具有單側(cè)剛性約束的單自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的碰撞過(guò)程進(jìn)行了研究，利用數(shù)學(xué)理論的相關(guān)知識(shí)找到了其顫振完成點(diǎn)和顫振時(shí)間，并以此碰撞系統(tǒng)為模型（圖1），通過(guò)借助慧尾映射的概念，有效地近似了完全顫振中產(chǎn)生的碰撞現(xiàn)象，分析了其發(fā)生機(jī)理．

1 系統(tǒng)的力學(xué)模型及運(yùn)動(dòng)微分方程

具有單側(cè)剛性約束的單自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型如圖1所示，質(zhì)量為M的振子由剛度為K的線(xiàn)性彈簧和阻尼系數(shù)為C的線(xiàn)性阻尼器連接于支承，并受到簡(jiǎn)諧激勵(lì)Psin(ΩT+τ)的水平方向的作用，當(dāng)振子的位移X等于間隙B時(shí)，振子與剛性約束A發(fā)生碰撞．

設(shè)碰撞由碰撞恢復(fù)系數(shù)R確定，振幅為P，頻率為Ω，相位為τ．當(dāng)X＜B時(shí)，系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)微分方程如下：

當(dāng)X=B時(shí)，碰撞發(fā)生，碰撞塊的速度根據(jù)碰撞法則改變，質(zhì)塊的碰撞方程為：

取無(wú)量綱參數(shù)：

圖1 系統(tǒng)模型圖

2 碰撞運(yùn)動(dòng)

事實(shí)上，黏滑運(yùn)動(dòng)與系統(tǒng)的顫振有著密不可分的關(guān)系．下面來(lái)具體分析系統(tǒng)的碰撞運(yùn)動(dòng)過(guò)程．

其中Ο(1)表明了x的邊界函數(shù)．若僅僅只保留前兩項(xiàng)，可以發(fā)現(xiàn)最終的速度恰好為零，相應(yīng)的發(fā)生顫振的時(shí)間也是準(zhǔn)確的，從x1=0出發(fā)，可以發(fā)現(xiàn)最終的位置是關(guān)于x22階的，這一點(diǎn)當(dāng)然是符合忽略項(xiàng)的．由（6）式可知，所有方程定義的函數(shù)都是封閉可解的．碰撞是首先發(fā)生在∑1-的一個(gè)點(diǎn)，通過(guò)給定的映射R，視碰撞速度v不依賴(lài)于x，依文獻(xiàn)[7]可定義第一次碰撞的位置和速度分別為：

3 數(shù)值分析

下面定義一個(gè)完全顫振子空間：

取完全顫振子空間中的初始點(diǎn)x0∈∑c，先經(jīng)過(guò)碰撞映射R(x)到達(dá)碰撞面的某一點(diǎn)x01，接著自由運(yùn)動(dòng)到下一個(gè)碰撞點(diǎn)x1，如此反復(fù)碰撞，最終到達(dá)完全顫振的結(jié)束點(diǎn)x*，滿(mǎn)足條件：

固定系統(tǒng)參數(shù)ζ=0.1，b=0.1，ω=2.7994，r=0.8，初始條件為(0.1,-0.2,0)T，圖2（a）為系統(tǒng)P(∞,1)運(yùn)動(dòng)的相圖（符號(hào)P(m,n)表示n個(gè)周期中發(fā)生m次碰撞）．圖2（b）為系統(tǒng)的時(shí)間歷程圖，它給出了從完全顫振到粘滑的過(guò)程（圖中實(shí)線(xiàn)為x2關(guān)于t的變化曲線(xiàn)，虛線(xiàn)為x1關(guān)于t的變化曲線(xiàn)，m和n分別為粘滑的開(kāi)始點(diǎn)和結(jié)束點(diǎn)）．圖2（c）和圖2（d）為圖2（b）的局部放大圖，它展示了完全顫振中的彗尾映射[8]S:m→n．系統(tǒng)的顫振完成點(diǎn)為x1=0.1，x2=0，時(shí)間為t=26.667，與前面的理論分析吻合，這驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的正確性．

圖2 系統(tǒng)((4)式和(5)式)的完全顫振到粘滑運(yùn)動(dòng)的彗尾映射

考慮系統(tǒng)的向量場(chǎng)（7），取系統(tǒng)參數(shù)ω=2.787，其余參數(shù)均同于上圖，令恢復(fù)系數(shù)r依次為0.800、0.801、0.802、0.803、0.803 04、0.803 1．圖3（a）–（f）為系統(tǒng)的時(shí)間位移圖像，展示了系統(tǒng)由非完全顫振到完全顫振再到非完全顫振的過(guò)程．從圖3（d）和圖3（e）可知，當(dāng)恢復(fù)系數(shù)r取0.803 – 0.803 04時(shí)，系統(tǒng)有一個(gè)穩(wěn)定的完全顫振周期1軌道，從這兩幅圖中可以明顯看到，完全顫振包含有非零時(shí)間的黏滑運(yùn)動(dòng)，即s＞0．隨著恢復(fù)系數(shù)r值的增大，黏滑運(yùn)動(dòng)時(shí)間s將減少直到最終對(duì)于某個(gè)恢復(fù)系數(shù)值r*有s=0，此時(shí)意味著完全顫振將轉(zhuǎn)變?yōu)榉峭耆澱?，r*為系統(tǒng)從完全顫振到不完全顫振的參數(shù)分岔點(diǎn)，它是以黏滑運(yùn)動(dòng)的突然產(chǎn)生和消失作為標(biāo)準(zhǔn)的．更精確地說(shuō)，在r*處的軌道存在一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)是無(wú)限次碰撞的結(jié)束點(diǎn)，因此無(wú)黏滑運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生．圖3中（a）、（b）、（c）、（f）的一部分軌跡描繪了這種碰撞次數(shù)有限、但值很大的特殊碰撞．

圖3r取不同值時(shí)系統(tǒng)((4)式和(5)式)的時(shí)間歷程圖

4 結(jié) 語(yǔ)

本文引入了一種新穎的數(shù)值算法來(lái)計(jì)算碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的完全顫振，求得了具體的顫振完成點(diǎn)及顫振時(shí)間，并通過(guò)計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬，驗(yàn)證了理論的正確性和可行性．本文所提出的方法適用于普通的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的顫振研究，包括線(xiàn)性碰振系統(tǒng)、弱或強(qiáng)的非線(xiàn)性碰振系統(tǒng)．

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Chattering Analysis of a Vibrating System with Single Degree of Freedom

WANG Xiaobin1, ZHOU Peng2, HUANG Jian1
(1. School of Mathematics, Physics and Software Engineering; 2. School of Mechanic Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

Chattering of a kind of impact oscillator system with single degree of freedom is studied. The chattering duration and the chattering complete point have been theoretically derived. Aimed at the impact problem caused by flutter in the collision system and by using the tail mapping technique, a numerical method has been found out to effectively study the chattering phenomena. Numerical simulation has also been applied to investigate the complete and incomplete chattering behaviors.

Impact; Chatter; Tail Map; Numerical Simulation

O325

A

1674-3563(2014)02-0015-07

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.02.003 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2013-12-04

王小斌(1985- )，男，甘肅秦安人，碩士研究生，研究方向：非線(xiàn)性與動(dòng)力系統(tǒng)