梅海蓉

（山東省墾利實驗中學 山東 東營 257500）

中學數學的教學要引導學生建立數學系統(tǒng)和網絡，在理解的基礎上形成良好的認知結構。隨著中學數學教學改革的深入進行，在數學的教學方法上要探索問題情境的創(chuàng)設及其有效性的評價，并為開展創(chuàng)新教育打下良好的基礎。《全日制義務教育數學課程標準》中指出：中學數學的教學要從學生原有的知識和經驗出發(fā)，緊密聯(lián)系學生的生活實際，向學生提供從事數學活動的機會，通過創(chuàng)設問題情境來激發(fā)學生對數學的興趣，樹立學好數學的愿望。

數學思想和數學方法是連接中學數學與高等數學的一條紐帶和橋梁，中學數學的思想、方法和相聯(lián)系的內容可以在高等數學中保留下來。中學數學的基本內容包括代數以及幾何中的概念、公式和定理等，以及這些基礎知識折射出來的數學思想和數學方法。數學知識包括表層知識和深層知識，表層知識指的是數學的基本知識和技能，深層知識則是指數學思想和數學方法，深層知識駕馭和引領表層知識，體現了數學的真正靈魂。中學數學教學中的建構性學習是對數學知識形成一種達到理解的理性的訴求，這里的理解過程實際上也是一種數學的認知結構反復建構的過程，而中學數學解題的認知過程則是一種更高級的知識建構的學習過程。

一、中學數學教學的認知及建構性探究活動

中學數學教師進行教學一般有兩個階段。第一階段，首先由教師提供知識框架來幫助學生學習新知識，學生在教師幫助下進行模仿學習，這種模仿是智力上的自覺模仿，不是無意義的機械模仿。第二階段，學生把模仿學習的結果遷移到其他類似的問題情境中，并將技能內化為自身的能力。因此，以學生為中心的數學教學改革的重點在于教師是否知道每個學生是在從事有實質價值的模仿性學習，還是在從事無意義的簡單學習，以及教師需要做哪些指導才能促進每一個學生數學技能的提高。

在數學教學的認知過程中，數學教師首先要深刻了解和把握所教年級的教學目標，因為這些描述的目標基本反映了多數學生的最近發(fā)展區(qū)，而且是由相關學科的專家根據學生的數學思維發(fā)展水平研究確立的。例如，初中生的數學抽象思維水平和高中生不同，初中年級數學的教學目標就不同于高中數學的目標。[1]數學教師要為學生設置分層次遞進的教學目標，對學生的數學發(fā)展不能采取一刀切的統(tǒng)一評價標準。通常情況下，數學課堂往往成為教師和一部分優(yōu)等生的課堂，數學教學行動的參加者往往是教師和少數優(yōu)等生，大部分學生往往成為數學課堂上的旁觀者，這種教學現象的出現非常不利于課程教學效果的提高。為了更好地進行差異性的教學，數學教師需要了解學生學習數學新知識的生長點，確立關于學生的認知結構和思維形式的模型，從層次上區(qū)分學生，特別是要為學習困難的學生提供更多和細致的教學幫助，引導其掌握數學知識的本質。

中學數學課堂教學中，數學教師一般要針對幾十名正在學習的學生，為他們提供有價值的教學援助，而現實情況是學生與學生的差別較大，每個人有不同的數學認知結構和思考習慣，因此在建構數學知識上也會有很大的區(qū)別。數學知識的建構性探究活動指的是學生學完一個章節(jié)后，自主地去建立一個內容豐富的知識網絡系統(tǒng)，通過總結提煉數學的思想和方法，歸納出解題的規(guī)律和思路。這樣的建構性探究活動對于學生養(yǎng)成良好的學習習慣和組建良好的認知結構是十分必要的。通常來講，教師往往片面認識學生的建構學習能力，這在一定情況下是有好處的，因為教師只能采取某幾種教學方式，對不同的年級提出不同的要求，這樣會較為容易有效地實施教學，并逐步增加學習中的創(chuàng)造性內容。

二、創(chuàng)設中學數學教學中的問題情境

根據命題等價理論，如果原命題成立，則其逆否命題一定成立，但其逆命題卻不一定成立。使用這種命題等價的數學思想和方法，可以從不同的方向來論證或轉化命題的方式，也可以加強認識和理解命題的意義。為解決一些數學命題問題，在中學數學課堂教學中創(chuàng)設更多有效的問題情境可以激發(fā)學生們主動的認知參與、情感參與和行為參與意識，培養(yǎng)學生的興趣意識和數學思維能力。數學問題情境的創(chuàng)設就是指數學教師以某個具體的教學情境為載體，致力于把數學思想和方法融合于這個具體的教學情境中，從而幫助學生克服數學抽象性思維上的困惑，分析和解決數學上的疑難問題。因此，真正能夠啟迪學生思維的問題情境就是將數學上的一些枯燥問題巧妙地貫穿于設定的具體情境中，而具體的情境又能包含數學的本質內容，學生就可以通過這些問題情境進行數學意義上的觀察、判斷和總結，從而最終解決數學的問題。

數學這門學科實際上是解釋世界的一種語言類工具，是對自然語言的一種補充和提高，可以完善信息的交流和存儲。數學知識主要是指數學概念、公式、定理、法則等數學規(guī)則。數學這門學科的語言包括文字、語句和一些邏輯符號等，其中，邏輯符號可以幫助人們提升數學思維，正因為此，中學數學問題情境的創(chuàng)設要教會學生怎樣使用數學符號、理清數學符號語言的語法特點等。數學知識的產生包括生活經驗和數學自身的邏輯體系發(fā)展兩個方面，通常來講，來自學習者以往經驗的數學相關知識和實際生活的關系更加緊密，如果我們能創(chuàng)設一些合適的數學問題情境，結合實際來還原這些數學知識的真實生命，就能更好地激發(fā)學生的求知欲，并讓學生通過自我活動和思考將這些知識建構起來。舉個例子，初等數學中在教學“分數的概念”時，問題情境的創(chuàng)設可以提出：如果一共有2個蘋果和3個面包，需要給2個小孩平均分開，怎樣用數學的概念表示呢？2個蘋果每個小孩分得1個，整數的概念很清晰。3個面包每人分得1個后，還剩1個怎么辦呢？每人只能再分得半個，“半個”用數學表示就是分數的概念。這種問題情境真實地還原了生活中數學上“分數”的一種用途，即當不能用整數來表示某種數學結果的時候，就可以用分數來表示。

我們知道，方程是建立已知和未知之間數量關系的一種思想方法，中學數學中的代數學就是以方程這個概念為線索開展描述的，解方程的教學實踐和效果關系到學生對有關數學概念、定理和運算規(guī)則等的理解程度，解方程也是破解數學上應用題型的一種主要方式。從數到式、列代數式、以字母表示數、求代數式值和解方程的降次消元等，都反映了一種化歸的數學思想和方法?；瘹w的轉換方法可以提高學生的數學技能和探究發(fā)現能力，化歸也能建立起一種對立面之間的辯證統(tǒng)一關系，整個中學數學的教學在一定意義就是貫徹化歸的辯證思想的教學。中學數學教師要教會學生分析、滲透和化解對立面，充分利用特殊化、一般化等方法實現化歸，運用辯證思維的規(guī)律來調控數學思維活動。如果我們能創(chuàng)設生動有趣的數學問題情境，將數學技能的獲得融入這些快樂的情境之中，那么將有助于培養(yǎng)學生數學思維的基本技能。

在中學數學教學中，如果要使學生真正感悟數學知識和培養(yǎng)數學的創(chuàng)新能力，并理解數學的理性精髓，就應該讓學生積累豐富的數學活動的親身經驗，這些經驗包括學生在數學有關活動中形成的情緒體驗、感性知識和應用意識等。情緒體驗是指學生對于數學的一些好奇和興趣、活動中獲得的成功的感受、對數學嚴謹性體驗以及對數學的審美感覺等[2]；感性知識是指一些學生針對個人的過程性知識；應用意識則包括勇于實踐數學知識的信念、通過數學提出和解決問題的意識以及數學的創(chuàng)新意識等。因此，為了能激發(fā)學生的真實需要和活動的積極性，在課堂教學中創(chuàng)設一些蘊含數學意義的真實活潑的情境就是非常必要的一項任務。情境應建立在學生已熟悉的知識經驗和生活經驗的基礎上，可以方便學生輕松入門，進而可以激發(fā)學生去思考和探索新的問題。例如，在教學統(tǒng)計表、條形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖的概念時，可以創(chuàng)設這樣的問題情境：教師在教學中先讓學生收集和整理數據，寫出中國近10年的國民經濟增長的統(tǒng)計表和條形統(tǒng)計圖，然后，教師展示這些數據的折線統(tǒng)計圖，提出思考問題。學生則通過觀察、判斷和比較3種統(tǒng)計方式的不同特點，理解通過折線統(tǒng)計圖可以看出數據的變化趨勢，特別是可以直觀地預測數據今后的發(fā)展勢頭，這對國家制定合理的政策意義重大。借助類似這樣的問題情境，學生深刻感悟到了統(tǒng)計的數學思想。在整個教學環(huán)節(jié)中，提出合理的數學問題是教學的前提，創(chuàng)設有效的數學問題情境是教學的關鍵，提高學生的數學分析和應用能力是根本目的。作為數學教師，要根據不同地域、不同水平的學生及不同的教學內容，創(chuàng)造一些個性鮮明的數學問題情境，并善于總結和積累，建立情境教學的資源庫。

三、數學問題的理解與解題的認知過程

中學數學學習與其他學科學習的一個最大區(qū)別就是雖然你能把相關數學知識點背得很熟，但卻往往不能應用這些知識解決一些簡單的數學問題，這通常是因為沒有理解數學知識，或沒有建立組織良好的認知結構。數學理解的本質就是數學知識的系統(tǒng)化、結構化和網絡化，一個數學的概念或者定理如果被理解了，它就成為學習者的內部認知網絡內容的一部分，而理解的程度則是由學習者聯(lián)想的范圍和聯(lián)想的深度決定的。因此，數學理解可以認為就是學生在頭腦中形成一種網絡化的認知結構，而不是記住一些他人灌輸的、零散的知識碎片，因為機械的零碎知識是不能用于解決實際問題的。數學理解實質上是數學學習的建構性活動，其形成的機制是重新組織，即學習者需要依照自己原來的知識和經驗，通過與環(huán)境之間的相互交流，積極地建構當前信息具有的含義，也就是一個新知識的建構與新知識理解的進程，即生成了新的意義。按照皮亞杰的認知理論，在數學理解的過程中，同化和順應是新的和老的經驗相互影響的兩種基本方式。同化方式就是學生將最新學習的知識歸入和合并到原有的數學認知結構系統(tǒng)之中，也就是說，學生是以舊的知識和經驗來理解新接受的信息，即同化到了已經確立的認知系統(tǒng)中，假如輸入的信息與現有的認知系統(tǒng)不吻合，就要對以前的數學認知系統(tǒng)進行整合或重組，從而建立起一個新的認知系統(tǒng)，并形成一種新的平衡狀態(tài)，這樣的一個過程就叫作順應。[3]

中學數學的學習過程具有持續(xù)性和積累性，在已有的知識和經驗基礎上去再學習才能獲取新知識。學生以前的認知系統(tǒng)和知識結構對新的學習過程會帶來一定的影響，而新知識的獲取過程也會改造學生以前的認知結構，擴展以前的知識經驗，提升以前的知識和技能水平，這就是所謂的知識的遷移。中學數學教師不必要教給學生全部的知識和技能，但需要教會和培養(yǎng)學生獲取新知識、克服困難的一種遷移能力。這里，數學的認知結構可以理解為在學習者的頭腦中生成數學知識的一種表現方式，不但包括原理性和陳述性的知識，而且包括行動性、過程性的知識以及蘊含其中的一些數學觀念。學生依照已有知識結構將新的知識系統(tǒng)地組織起來，組成一個聯(lián)系密切的新的知識網絡系統(tǒng)，從另一個角度講就是一個重新建構數學知識的過程。由此說來，建構是數學知識遷移的基礎，學生個體獨立建構的知識之間可以相互滲透和融合；結構轉移是數學知識遷移的實質，知識的結構化程度影響著遷移的范圍；數學知識遷移的實現方式是聯(lián)系和聯(lián)想，解決新出現的問題的唯一方法是善于從面對的問題中聯(lián)想到網絡中的其他相關聯(lián)的數學知識和能力。[4]

中學數學學習中，僅僅依靠機械地套用現有的概念、算法、定理和公式，并不能解決所有問題，需要首先重新識別問題，采取過濾和篩選的方法，跟蹤不斷轉換的問題空間，選用有關的定理、公式和算法等解決策略，經過重新建構和整合，最后找到問題的答案。通常來講，中學數學解題的認知過程如圖1所示。

中學數學的解題過程中，對于不同的數學問題情境，學生需要重新調整、組合或者打破原先的認知結構，才可以深刻理解和認識數學問題中所包含的元素的復雜關系，從而識別多個不同類型問題的實質性區(qū)別。所以，中學數學的解題過程既可以攝取和運用已有的知識與技能，也可以建構性地學習數學的新知識。這是一種數學學習的創(chuàng)新行為，可以積累策略性知識、程序性知識和過程性知識的經驗，從而建構起一種運作自如的認知結構網絡。數學解題活動也是一個雙向建構的學習過程，一是有助于學生建構一些全新的問題情境，二是可以強化原有知識和經驗的整合和應用，進行復習、鞏固和提煉，從而對原有的數學認知結構進行調整和補充。[5]

圖1 數學解題的認知過程

綜上所述，數學思想和方法本質上是指物質世界的空間方式和定量關系映射到人的意識形態(tài)之中，通過思維加工形成的一種工具。通過創(chuàng)設教學情境，教學中不同程度地滲透了模型、變換、集合、極限、函數、類比、對應等數學思想和方法。數學問題情境是學生領悟數學思想的有效載體，能夠靈活而生動地去駕馭和運用已學會的數學知識和方法，深化數學認知的建構和理解，并完成數學的解題過程，最終體現出數學思想的理性之美。[6]▲

[1]肖棟坡,郭宗慶.基于潛在構建區(qū)理論的中學數學教學[J].教學與管理,2011（5）：91-92.

[2]徐東星.數學問題情境創(chuàng)設的有效性探究[J].教學與管理,2010（12）：127-128.

[3]周友士,柏傳志.數學學習建構性之特征[J].教學與管理,2011（2）：84-86.

[4]張和平,賈長虹.操作·掌握·領悟:數學思想方法教學的有效模式[J].教學與管理,2009(5)：128-129.

[5]張建偉.基于問題解決的知識建構[J].教育研究,2000（10）：58-62.

[6]賈長虹,葉留青.新課程教學中數學應用意識和能力的培養(yǎng)[J].教學與管理,2006（8）：88-89.