陳建強(qiáng)

摘 要：培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo)之一，而概念教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中主要的教學(xué)內(nèi)容，在數(shù)學(xué)概念課教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是一種主要的方式，同時(shí)也是數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的主要手段?；诖?，在探討數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的重要性，及在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的必要性的基礎(chǔ)上，提出了在概念教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維途徑和方法，以期進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維；概念教學(xué)；培養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G427 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1001-7836（2014）03-0078-02

1 引言

提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一?！陡咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的十大理念之一提到：“注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力?！比藗?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題時(shí)，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、演繹證明、反思建構(gòu)等思維過程。這些過程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)……《標(biāo)準(zhǔn)》自始至終力求體現(xiàn)有利于提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力這一基本理念。義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“作為促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展教育的重要組成部分，數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用?！?/p>

數(shù)學(xué)中包含大量的數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)概念是客觀事物在數(shù)與形方面的抽象，是客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式本質(zhì)屬性的反映，是學(xué)生理解知識(shí)、掌握知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)、培養(yǎng)能力的基礎(chǔ)，是構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)大廈的基石。數(shù)學(xué)概念在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位，因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要加強(qiáng)概念教學(xué)，通過概念教學(xué)提高學(xué)生的思維能力。

2 數(shù)學(xué)概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的必要性

數(shù)學(xué)是思維的體操，在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，一直是數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)。足見數(shù)學(xué)思維對(duì)人的影響比知識(shí)和技能更重要。但是在實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了追求學(xué)生成績(jī)的提高，追求教學(xué)效果的顯著和效率，很多教師已經(jīng)不再進(jìn)行學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，代之以解題訓(xùn)練為主，確實(shí)在短期內(nèi)能夠提高學(xué)生的考試成績(jī)和解題能力，但同時(shí)也發(fā)現(xiàn)學(xué)生再想提高成績(jī)反而會(huì)出現(xiàn)瓶頸。究其原因，正是忽略了學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，正所謂欲速不達(dá)。

2.1 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)上是數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)

全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程?！薄耙龑?dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、合作交流，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！盵1]著名的日本數(shù)學(xué)家米山國(guó)藏說(shuō)過：“作為知識(shí)的數(shù)學(xué)出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想、研究的方法和著眼點(diǎn)等，這些隨時(shí)隨地地發(fā)生作用，使人終身受益?！睂W(xué)生將知識(shí)忘卻了以后剩下的東西，這其中核心的成分是數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)思維的外在形式是邏輯推理，但其內(nèi)涵要比邏輯深刻得多。

2.2 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容

如果把數(shù)學(xué)比喻成生物體的話，那么數(shù)學(xué)概念就可以比喻成生物體的基本單位—細(xì)胞。因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有關(guān)鍵地位，一直是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的一個(gè)主題[2]。同時(shí)數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的載體，是構(gòu)成數(shù)學(xué)學(xué)科的基本成分，具有高度的抽象性、概括性和簡(jiǎn)潔性[3]。概念教學(xué)的基本目標(biāo)是讓學(xué)生理解概念，并能運(yùn)用概念表達(dá)思想和解決問題，而這一基本目標(biāo)也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)。

2.3 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的重要手段

早在1990年，張乃達(dá)先生在其所著的《數(shù)學(xué)思維教育學(xué)》一書中就已明確指出：傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)忽視了概念和定義本身已經(jīng)是思維的結(jié)果[4]，因此數(shù)學(xué)概念一方面是更深入地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)，另一方面其自身已經(jīng)是思維的結(jié)果，是基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法的有機(jī)結(jié)合體。因而學(xué)生在學(xué)習(xí)概念的過程中，同時(shí)也接觸和運(yùn)用了隱含的數(shù)學(xué)思想方法，如觀察與實(shí)驗(yàn)、比較與分類、歸納與類比等，這對(duì)培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維是很有裨益的。例如：教學(xué)長(zhǎng)度的度量時(shí)，我們不應(yīng)僅滿足于讓學(xué)生獲得具體的長(zhǎng)度單位如米、分米、厘米等的認(rèn)識(shí)，更重要的是讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)這些具體單位的過程中獲得比較兩個(gè)物體的長(zhǎng)度需要一個(gè)統(tǒng)一的長(zhǎng)度單位的抽象知識(shí)，這樣就為學(xué)生學(xué)習(xí)諸如面積、體積、角度、重量等所有有關(guān)量的度量?jī)?nèi)容時(shí)，通過類比順利地遷移上述知識(shí)和方法奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)也使學(xué)生獲得更高層次的抽象知識(shí)。

3 在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

概念教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的教學(xué)內(nèi)容，同時(shí)數(shù)學(xué)概念也是中學(xué)數(shù)學(xué)邏輯基礎(chǔ)中的最基本單位，概念的掌握已經(jīng)成為整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)最核心的部分。因而在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，應(yīng)注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。下面，筆者將從概念教學(xué)的一般過程角度闡述在概念教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

3.1 概念的導(dǎo)入對(duì)學(xué)生觀察、比較、分類、抽象、歸納、類比方法的鍛煉

引入是概念教學(xué)的第一步，也是形成概念的基礎(chǔ)和前提，在概念引入時(shí)，教師可以根據(jù)概念的類型，設(shè)計(jì)引入概念的方式，將概念還原為客觀實(shí)際（如實(shí)例、模型或已有經(jīng)驗(yàn)、題組）提出問題，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)生動(dòng)形象的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。通過移植概念的本質(zhì)屬性，使實(shí)際現(xiàn)象數(shù)學(xué)化，達(dá)到展示知識(shí)的形成過程，促進(jìn)學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)概念的導(dǎo)入方法大致可以分為兩類：具體歸納法和抽象演繹法。這兩類導(dǎo)入數(shù)學(xué)概念的方法都是對(duì)學(xué)生的觀察、比較、分類、歸納等數(shù)學(xué)思維方法的鍛煉和培養(yǎng)。

3.2 概念獲得過程中對(duì)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性、批判性品質(zhì)的培養(yǎng)

概念的獲得有三種方式：概念的形成、同化與順應(yīng)。依據(jù)概念的形成這種學(xué)習(xí)方式可采取概念形成的教學(xué)模式，這種模式其教學(xué)過程[5]如下：提供概念例證→抽象出本質(zhì)屬性形成初步概念→概念的深化→概念的運(yùn)用。在這一教學(xué)過程中，學(xué)生要對(duì)提供的概念例證作為刺激模式進(jìn)行比較、分類，抽象出共同屬性，為了確認(rèn)概念的本質(zhì)屬性，教師要提供給學(xué)生抽象檢驗(yàn)的例子。而這一過程中對(duì)學(xué)生的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性及批判性品質(zhì)進(jìn)行鍛煉和培養(yǎng)。比如：負(fù)數(shù)的形成過程就是在學(xué)生學(xué)習(xí)了正數(shù)以及自然數(shù)零之后逐漸感覺到不能表述生活中的實(shí)際需要的時(shí)候產(chǎn)生的，那么創(chuàng)設(shè)這樣的情景再定義負(fù)數(shù)時(shí)學(xué)生感覺就會(huì)很自然了，即相等還有很多不等的問題。只有注重了概念的形成過程，才可以完整地、本質(zhì)地、內(nèi)在地揭示概念的本質(zhì)屬性，更好地理解概念的內(nèi)涵，使學(xué)生對(duì)理解概念具備思想基礎(chǔ)，同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的思維方法。endprint

3.3 概念的理解中對(duì)學(xué)生思維的廣闊性、批判性的培養(yǎng)

概念教學(xué)的第二種教學(xué)模式——概念同化。其實(shí)質(zhì)上是學(xué)習(xí)者利用已掌握的概念去理解新概念，或者對(duì)原有的概念重新進(jìn)行加工整理，它是一種有意義的學(xué)習(xí)。因此，在利用這種教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)時(shí)，可以加強(qiáng)對(duì)學(xué)生思維的廣闊性、批判性和嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)。概念同化的教學(xué)模式要經(jīng)歷以下幾個(gè)階段[6]：

（1）提示概念的關(guān)鍵屬性，給出定義、名稱和符號(hào)。這一過程中教師的引導(dǎo)體現(xiàn)了思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，使學(xué)生在學(xué)習(xí)或觀察理解任何一個(gè)概念時(shí)都要對(duì)概念中的關(guān)鍵詞語(yǔ)進(jìn)行分析。

（2）對(duì)概念進(jìn)行特殊的分類，討論概念所包含的各種特使，突出概念的本質(zhì)屬性。這是從例證（外延）的角度分析概念。這一過程是對(duì)關(guān)鍵屬性的具體體現(xiàn)，是對(duì)學(xué)生思維的廣闊性、靈活性以及嚴(yán)謹(jǐn)性的鍛煉與培養(yǎng)。

（3）使新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念建立聯(lián)系，把新觀念納入到已有概念體系中，同化舊概念。如將一次函數(shù)的概念與函數(shù)、一次多項(xiàng)式概念進(jìn)行比較，認(rèn)識(shí)一次函數(shù)與這些相關(guān)概念的聯(lián)系與區(qū)別。這一過程能夠鍛煉學(xué)生的批判性。

（4）用肯定例證與否定例證讓學(xué)生辨認(rèn)，使新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念分化。通過這一階段可以從正反兩個(gè)方面深化學(xué)生對(duì)概念的理解，真正體會(huì)概念定義的本質(zhì)屬性。對(duì)于學(xué)生思維的批判性及深刻性是一個(gè)很好的培養(yǎng)。

3.4 概念運(yùn)用中對(duì)學(xué)生思維的靈活性、深刻性的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)概念運(yùn)用中，一般通過三個(gè)層次進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，識(shí)別、簡(jiǎn)單運(yùn)用和靈活運(yùn)用，通過這三個(gè)層次來(lái)運(yùn)用概念，既可以強(qiáng)化對(duì)概念的理解，促進(jìn)概念系統(tǒng)的建構(gòu)，形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高解決問題的能力，同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)思維的靈活性、深刻性和廣闊性等進(jìn)行了培養(yǎng)。概念體系的形成是通過多次循環(huán)，不斷操作，逐步理解的。

近年來(lái)，美國(guó)數(shù)學(xué)家杜賓斯基等人提出一種建構(gòu)主義學(xué)說(shuō)——APOS理論。它將數(shù)學(xué)概念的獲得分為“活動(dòng)—過程—對(duì)象—概念”四個(gè)階段，APOS理論真實(shí)地反映了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的思維過程，既強(qiáng)調(diào)了概念形成對(duì)過程的體驗(yàn)，又重視了概念同化中的抽象。事實(shí)上，APOS理論指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，本質(zhì)上更強(qiáng)調(diào)學(xué)生的思維能力的培養(yǎng)和鍛煉。因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維這一課題是每一位數(shù)學(xué)教師都應(yīng)當(dāng)銘記的。

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