蘭月新，李育安，蘇國強(qiáng)

（中國人民武裝警察部隊(duì)學(xué)院 基礎(chǔ)部，河北 廊坊 065000）

基于數(shù)學(xué)建模的收入定位模型研究

蘭月新，李育安，蘇國強(qiáng)

（中國人民武裝警察部隊(duì)學(xué)院 基礎(chǔ)部，河北 廊坊 065000）

構(gòu)建理想狀態(tài)下收入定位的logistic模型和兩極分化條件下的收入定位的Gompertz模型，定義分化系數(shù)并研究兩極分化程度，通過計(jì)算模型關(guān)鍵點(diǎn)，確定中等收入等收入?yún)^(qū)間、對應(yīng)人口比例及對應(yīng)收入比例，并通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行模型驗(yàn)證，定義了新的洛倫茲曲線，為深入研究經(jīng)濟(jì)理論、調(diào)節(jié)分配格局提供理論依據(jù)。

Gompertz模型；收入模型；兩極分化；中等收入；人口比例；收入比例

一、引 言

居民收入分配關(guān)系到廣大民眾的生活水平，分配公平程度是廣泛關(guān)注的話題，其中中等收入人口比重是反映收入分配格局的重要指標(biāo)，這一人口比重越大，意味著收入分配結(jié)構(gòu)越合理，稱之為“橄欖型”收入分配格局。在這種收入分配格局下，收入差距不大，社會(huì)消費(fèi)旺盛，人民生活水平高，社會(huì)穩(wěn)定，因此研究中國中等收入定位問題具有重要意義。

國內(nèi)外在中等收入者的度量方法上已有眾多研究。Blackburn等采用勞動(dòng)收入的中位數(shù)作為劃分的依據(jù)，將中等收入者的收入下限定為中位數(shù)收入的0．6倍，上限定為中位數(shù)收入的2．25倍［1］；Levy將收入水平處于收入分布20%～80%的人口視為中等收入者［2］20－25［3］；Birdsall等定義人均家庭收 入在中位數(shù)收入的0．75倍和1．25倍之間的家庭為中等收入［4］；D′Ambrosio等利用變動(dòng)點(diǎn)原理設(shè)定高、中、低收入階層的門限值［5］；狄煌認(rèn)為中等收入的下限應(yīng)略高于當(dāng)年人均GDP，接近職工平均工資水平，上限定為起點(diǎn)的4倍比較合理，以2002年的數(shù)據(jù)測算，中國中等收入者的年收入范圍為1萬～4萬元［6］；Slimano則認(rèn)為人均家庭收入處于30%～90%的家庭為中等收入［7］；Banerjee等則認(rèn)為人均每天消費(fèi)水平處于2～4美元和家庭平均每天消費(fèi)水平處于6～10美元者為中等收入者［8］；段志民等立足于中等收入者的新定義，采用Esteban的極化分析思路，提出一種新的度量方法——EGR法［9－10］；

此外，中等收入人口的多少與兩極分化的程度有關(guān)，所謂兩極分化用密度函數(shù)表示時(shí)，嚴(yán)重右偏且厚尾，即中間部分空洞化。兩極分化與收入不平等是不同的概念，F(xiàn)oster等對這兩個(gè)概念進(jìn)行了準(zhǔn)確闡述，建立了一種指數(shù)，這種指數(shù)說明兩極分化的大小或嚴(yán)重程度，該指數(shù)擴(kuò)大意味著兩極分化嚴(yán)重了，這時(shí)表示中等收入人口縮小了；反之若該指數(shù)縮小了，則意味著中等收入人口擴(kuò)大了，但其并沒有給出測算中等收入人口比例大小的方法［11］。

雖然中等收入測算方法已有較多的研究，但仍存在的不足主要有：（1）收入?yún)^(qū)間上限和下限的取法具有任意性，由于經(jīng)濟(jì)進(jìn)步、通貨膨脹等因素的影響，收入的區(qū)間是變化的，更多的情形是所有人口的收入都提高了，即全社會(huì)的收入?yún)^(qū)間右移，可見取法的任意性使得在縱向比較各年的中等收入人口時(shí)出現(xiàn)困難；（2）中等收入人口比例大多是人為約定，且不具備動(dòng)態(tài)性，當(dāng)收入分配發(fā)生變化時(shí)，比如收入范圍拉大，低端人口收入下降，高端收入人口收入增加，直觀上兩極分化擴(kuò)大了，也即中等收入人口應(yīng)該是下降了，然而中間60%的人口擁有的總收入比例仍是60%，這與經(jīng)濟(jì)直觀不符；（3）部分研究依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行定性分析得出的規(guī)律應(yīng)用于確定中等收入?yún)^(qū)間，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)依賴性強(qiáng)，對將來的預(yù)測研究以及國家之間橫向?qū)Ρ妊芯咳狈χС帧?/p>

區(qū)別于大部分研究中的統(tǒng)計(jì)建模方法，本文在研究收入、收入比例及對應(yīng)人口比例相互關(guān)系基礎(chǔ)上，建立微分方程模型來研究收入分配規(guī)律，通過模型分析確定中等收入?yún)^(qū)間及其對應(yīng)比例，并進(jìn)行數(shù)據(jù)驗(yàn)證分析，可以為制定合理的中等收入劃分標(biāo)準(zhǔn)提供參考。

二、中等收入定位模型研究

（一）約定與假設(shè)

假設(shè)x為收入，p為［0，x］區(qū)間中人口比例，L為［0，x］區(qū)間中人口擁有的總收入比例。顯然p＝p（x），L＝L（x），且均小于等于1。然而，在實(shí)際中，人口收入數(shù)據(jù)大多是調(diào)查統(tǒng)計(jì)得到的，是離散數(shù)據(jù)，不具有連續(xù)可微性，但由于事物發(fā)展變化的連續(xù)性以及有大量收入數(shù)據(jù)的支持，可以用連續(xù)函數(shù)來描述離散現(xiàn)象，所以本文假設(shè)p（x）、L（x）均為連續(xù)函數(shù)，以下簡稱p（x）為人口函數(shù)，L（x）為收入函數(shù)。

（二）收入分配的理想狀態(tài)模型

洛倫茲曲線定義為“最貧窮的人口計(jì)算起一直到最富有人口”的人口百分比對應(yīng)其收入百分比的點(diǎn)組成的曲線，即消去x后，得到的p、L之間的函數(shù)關(guān)系L（p）。圖1中，曲線OA為洛倫茲曲線，直線OA為絕對平均分配，即理想收入狀態(tài)，折線OBA為絕對不平均分配［12］。

圖1 洛倫茲曲線圖

圖2 理想狀態(tài)收入曲線圖

通過模型分析，可以定義中等收入?yún)^(qū)間為［x1，x2］，其對應(yīng)收入比例和人口比例均為57．74%；同理，可以得出低收入、高收入?yún)^(qū)間及對應(yīng)比例，詳見圖3。通過此種方法確定收入?yún)^(qū)間避免了收入?yún)^(qū)間上限和下限的取法的任意性，從而使中等收入?yún)^(qū)間定義更加規(guī)范；另一方面，中等收入比例和人口比例均為57．74%，也與眾多文獻(xiàn)約定的60%相近，體現(xiàn)出本文建模結(jié)果與實(shí)際情況相符。

圖3 收入分層及比例圖

3．深入研究。然而，在實(shí)際情況中，理想狀態(tài)模型很少出現(xiàn)。收入分配經(jīng)驗(yàn)分析說明，人口曲線是左偏的，收入曲線是右偏的，這也就是兩極分化的實(shí)質(zhì)［13］。無論左偏還是右偏，理想模型曲線不再是對稱的，但仍是“S”曲線，所以應(yīng)用Gompertz曲線描述收入、人口曲線會(huì)更合理一些［14］。另外，為更好地說明兩極分化程度，本文取人口曲線和收入曲線的拐點(diǎn)橫坐標(biāo)之差來定義分化系數(shù)，即：

其中x99%代表p（x）＝99%時(shí)的收入。顯然F越小，兩極分化程度越小，F(xiàn)＝0時(shí)為理想收入狀態(tài)（圖4）。

圖4 兩極分化示意圖

（三）基于Gompertz的收入模型研究

1．Gompertz模型。在兩極分化前提下，收入模型、人口模型宜用Gompertz模型，其模型一般形態(tài)為：

其中r＞0為最大增長率（定值，與經(jīng)濟(jì)模式有關(guān)），y0為初值。

本文確定中等收入及其對應(yīng)人口比例的基本思想（圖5）：首先，通過模型L（x）計(jì)算兩個(gè)特征點(diǎn)x1、x2，確定中等收入?yún)^(qū)間［x1，x2］；其次，將x1、x2代入p（x）計(jì)算p（x1）、p（x2），確定中等收入人口比例范圍［p（x1），p（x2）］。

圖5 確定中等收入人口基本思想圖

2．模型分析與研究。收入比例L（x）、人口比例p（x）的Gompertz模型為：

通過模型分析，可以得出中等收入?yún)^(qū)間為［x1，x2］，其對應(yīng)收入比例為60．85%；同理，低收入所占收入比例為7．3%，高收入對應(yīng)收入比例為31．75%（圖6）。

綜合以上，得出基于Gompertz模型的三種收入及其對應(yīng)比例，見表1。

圖6 L（x）中等收入?yún)^(qū)間及其對應(yīng)收入比例

表1 收入空間分析

三、數(shù)據(jù)驗(yàn)證分析

（一）數(shù)據(jù)來源

實(shí)際工作中由于保密或保護(hù)隱私的原因，理論與應(yīng)用分析人員不能獲得收入分配抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能得到的可能是所謂的分組數(shù)據(jù)，這種數(shù)據(jù)的完整形式為：

其中xi是收入?yún)^(qū)間點(diǎn)，滿足0≤x1＜x2＜…＜xn＜xn＋1，通常xn＋1理解為充分大的正數(shù)，pi是第i個(gè)低收入端的累計(jì)人口比例，Li是該人口組所擁有總收入的比例，［0，xi］是該人口組所在的收入?yún)^(qū)間，μ是平均收入。n通常不大，例如n＝10。很多國家只提供上式描述的數(shù)據(jù)，經(jīng)濟(jì)學(xué)界只能利用這種稀疏的信息進(jìn)行收入分配分析。為驗(yàn)證模型，本文選取參考文獻(xiàn)［15］中的數(shù)據(jù)（表2）研究模型。

表2中［Xj，Xj＋1］是收入?yún)^(qū)間，單位為元，fj是該區(qū)間內(nèi)的人口比例，pj是［0，Xj＋1］中人口比例，Lj是［0，Xj＋1］中人口擁有的總收入比例，總平均收入μ＝6 603元。根據(jù)模型需要本文取收入?yún)^(qū)間［Xj，Xj＋1］的中點(diǎn)數(shù)據(jù)xj作為收入變量數(shù)據(jù)。

（二）模型驗(yàn)證

本文模型驗(yàn)證思路如圖7所示。

表2 收入分配分組數(shù)據(jù)表

圖7 模型驗(yàn)證思路圖

應(yīng)用Matlab擬合xj、pj、Lj數(shù)據(jù)，得出收入比例模型、人口比例模型為：

于是得出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對應(yīng)的收入情況見表3。通過表3得出：實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)兩極分化程度明顯，主要體現(xiàn)在：低收入人口比例為31．29%，所占收入比例為7．3%，相差較大，15．59% 的高收入人口對應(yīng)收入比例為31．75%，所占比例過高，而中等收入人口比例為53．12%，所占收入比例為60．85%，差距不大。

圖8 曲線擬合效果圖

表3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的收入空間分析表

四、結(jié) 論

本文通過構(gòu)建微分方程模型，分別研究了理想狀態(tài)下的收入模型、兩極分化狀態(tài)下的收入模型，計(jì)算了模型的特征點(diǎn)，確定了中等收入等三類收入的劃分方法，解決了以前研究中區(qū)間設(shè)置隨意性問題，并在此基礎(chǔ)上研究三類收入對應(yīng)的人口比例、收入比例及影響關(guān)鍵區(qū)間的參數(shù)，這一點(diǎn)便于深入研究經(jīng)濟(jì)理論，也為調(diào)節(jié)分配格局提供了理論依據(jù)。

［1］ Blackburn M，Bloom D．What is Happening to the Middle Class？［J］．Am．Demogr，1985，7（1）．

［2］ Levy F．Dollars and Dreams：The Changing American Income Distribution［M］．New York：Sage，1987．

［3］ Levy F．The Middle Class：Is It Really Vanishing？［J］．Brookings Rev．，1987（3）．

［4］ Birdsall N，Graham C，Pettinato S．Stuck in the Tunnel：Is Globalization Muddling the Middle Class？［R］．Brookings Institution，Center on Social and Economic Dynamics，Working Paper No．14，2000．

［5］ D′Ambrosio C，Muliere P，Secchi P．Income Thresholds and Income Classes［R］．Working Paper，University Bocconi，Milano，Italy，2002．

［6］ 狄煌．合理界定中等收入者［N］．經(jīng)濟(jì)參考報(bào)，2003－02－12（E2）．

［7］ Solimano A．The Middle Class and the Development Process［C］．Santiago Chile：Economic Commission for Latin America and Caribbean（ECLAC），2008．

［8］ Banerjee A，Duflo E．What is Middle Class about the Middle Classes around the World？［J］．Journal of Economic Perspective，2008，22（2）．

［9］ Esteban J，Gradin C，Ray D．Extensions of a Measure of Polarization，with an Application to the Income Distribution of Five OECD Countries［R］．Working Paper No．218，1999．

［10］段志民，白雪梅．中等收入者度量方法的比較研究［J］．調(diào)研世界，2013（8）．

［11］Foster J E，Wolfson M C．Polarization and the Decline of the Middle Class：Canada and the U．S．［J］．Journal of Economic Inequality，2009（8）．

［12］俞翰君．洛倫茲曲線的半?yún)?shù)估計(jì)［J］．統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2013（5）．

［13］祁丹丹，王青．加入WTO以來我國農(nóng)民收入變動(dòng)趨勢分析及收入預(yù)測［J］．西北農(nóng)林科技大學(xué)學(xué)報(bào)：社會(huì)科學(xué)版，2011，11（2）．

［14］朱正元，陳偉侯，陳豐．Logistic曲線與 Gompertz曲線的比較研究［J］．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2003，33（10）．

［15］全國研究生數(shù)學(xué)建模競賽E題［EB／OL］．（2013－9－21）［2014－01－20］．http：／／www．nyjsmm．csu．edu．cn／phd／zlxz／140．html．

Research on Income Positioning Model Based on Mathematical Modeling

LAN Yue-xin，LI Yu-an，SU Guo-qiang

（Foundation Department，The Chinese People＇s Armed Police Forces Academy，Langfang 065000，China）

To construct the model of logistic positioning income under ideal condition and the Gompertz model under the condition of income polarization orientation，the definition of coefficient of differentiation of polarization degree，by calculating the key point，determine the middle-income income interval，corresponding to the proportion of the population and the corresponding income ratio，and model is validated by experimental data，the definition of a new Lorenz curve，for further research on the economic theory，provides the theory basis for adjusting distribution pattern．

Gompertz model；revenue model；polarization；middle income；population；income ratio

F224．0∶O212．1

A

1007－3116（2014）07－0035－06

2014－03－07

蘭月新，男，河北承德人，理學(xué)碩士，講師，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)；

李育安，男，河北大悟人，經(jīng)濟(jì)學(xué)博士，副教授，研究方向：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)；

蘇國強(qiáng)，男，河北文安人，理學(xué)碩士，教授，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。

book=40,ebook=362

（責(zé)任編輯：崔國平）