摘 要： 作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要標(biāo)志之一的向量已進(jìn)入了中學(xué)數(shù)學(xué)，為用代數(shù)方法研究幾何問題提供了強(qiáng)有力的工具，促進(jìn)了高中幾何的代數(shù)化.在高中數(shù)學(xué)體系中，幾何占有很重要的地位.有些幾何問題用常規(guī)方法解決往往比較復(fù)雜，運(yùn)用向量做行與數(shù)的轉(zhuǎn)化，則使會(huì)過程得到大大簡(jiǎn)化.向量法應(yīng)用于平面幾何中時(shí)，能將平面幾何中的一些問題代數(shù)化、程序化，從而有效解決，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中數(shù)與形的完美結(jié)合.

關(guān)鍵詞： 向量 立體幾何 證明 計(jì)算 運(yùn)用

空間向量是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，是處理空間線線、線面、面面位置關(guān)系和夾角的重要工具，是高考考查的重要內(nèi)容之一.運(yùn)用向量方法研究立體幾何問題思路簡(jiǎn)單，模式固定，能很好地把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，淡化傳統(tǒng)方法的由“形”到“形”的推理過程，使解題變得程序化，從而降低立體幾何問題的難度.下面我就空間向量在立體幾何中的應(yīng)用談?wù)劯形蚝腕w會(huì).

一、利用空間向量證明空間垂直問題

例1.（2010遼寧理19）已知三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=■AB，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN，M，S分別為PB，BC的中點(diǎn)，證明：CM⊥SN.

審題要津：本題空間坐標(biāo)系易建立，可用坐標(biāo)法.

證明：設(shè)PA=1，以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），M（1，0，■），N（■，0，0），S（1，■，0），■=（1，-1，■），■=（-■，-■，0），因?yàn)椤觥ぁ?-■+■+0=0，所以CM⊥SN.

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)坐標(biāo)系易建立的空間線線垂直判定（證明）問題，常用向量法，即通過證明所證直線的方向向量的數(shù)量積為0證明兩直線垂直.

二、利用空間向量處理空間平行關(guān)系

例2.（2010湖南理18）在正方體ABCD-A■B■C■D■，E是棱DD■的中點(diǎn)。在棱C■D■上是否存在一點(diǎn)F，使B■F∥平面A■BE？證明你的結(jié)論。

審題要津：本題坐標(biāo)系易建立，可用向量法求解.

解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)正方形的棱長(zhǎng)為2，則B（2，0，0），E（0，2，1），A■（0，0，2），B■（2，0，2），

∴■=（-2，2，1），■=（-2，0，2），

設(shè)面BEA■的法向量為m=（x，y，z），則

m·■=-2x+2y+z=0且m·■=2x+2z=0，取x=1，則z=-1，y=■，

∴m=（1，■，-1）.

假設(shè)在棱C■D■上存在一點(diǎn)F，使B■F∥平面A■BE，設(shè)F（x■，2，2）（0≤x■≤2），

則■=（x■-2，2，2），則m·■=1×（x■-2）+■×2+（-1）×2=0，解得x■=1，∴當(dāng)F為C■D■中點(diǎn)時(shí)，B■F∥平面A■BE.

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于易建立坐標(biāo)系的線面平行問題的向量解法，有兩種思路：（1）用共面向量定理，證明直線的方向向量能用平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量表示，即這三個(gè)向量共線，根據(jù)共面向量概念和直線在平面外，可得線面平行；（2）求出平面法向量，然后證明法向量與直線的方向向量垂直即可.對(duì)于探索性問題，通常先假設(shè)成立，設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用相關(guān)知識(shí)，列出關(guān)于坐標(biāo)的方程，若方程有解，則存在，否則不存在.注意：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，利用點(diǎn)在某線段上，設(shè)出點(diǎn)分線段所成的比，用比表示坐標(biāo)可以減少未知量，簡(jiǎn)化計(jì)算；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍.

三、利用空間向量處理異面直線夾角、線面角、二面角等空間角問題

總之，向量在立體幾何中的應(yīng)用為我們解決立體幾何問題提供了新的解題思路和方法，打破了傳統(tǒng)解法“一作、二證、三計(jì)算”的模式，突破了傳統(tǒng)解法中“添置輔助線”的難點(diǎn)，將立體幾何中“形”的問題轉(zhuǎn)化為了“數(shù)”的問題，開創(chuàng)了解決立體幾何問題的新模式.

參考文獻(xiàn)：

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