摘 要：在綜合法的教學(xué)過程當(dāng)中，首先結(jié)合數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本證明方法之一：綜合法，然后通過數(shù)學(xué)實(shí)例，了解綜合法的思考過程、特點(diǎn)，最后讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)證明的特點(diǎn)，感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣。

關(guān)鍵詞：已知條件；定義；定理；公理；推理論證；由因?qū)Ч?/p>

引例：已知a，b>0，求證a（b2+c2）+b（c2+a2）≥4abc

證明：因?yàn)閎2+c2≥2bc，a>0，所以a（b2+c2）≥2abc

又因?yàn)椋╟2+a2）≥2ac，b>0所以b（c2+a2）≥2abc

因此a（b2+c2）+b（c2+a2）≥4abc

設(shè)計(jì)意圖：通過這個(gè)例題給出綜合法的定義、總結(jié)綜合法的論證過程以及綜合法的思維特點(diǎn)。

題型一：利用綜合法證明不等式

（寫出證明過程并指出本題中涉及的數(shù)學(xué)定義、定理、公理）

題型二：利用綜合法證明立體幾何問題

例2.△ABC在平面α外，AB∩α=P，BC∩α=Q，AC∩α=R求證：P，Q，R三點(diǎn)共線公理證明。

分析：本例的條件表明，P，Q，R三點(diǎn)既在平面α內(nèi)，又在平面ABC內(nèi)，所以可以利用兩個(gè)相交平面的公理證明。

證明：因?yàn)锳B∩α=P，BC∩α=Q，AC∩α=R，

所以P，Q，R∈α，

P∈AB，Q∈BC，R∈AC，

所以P，Q，R∈平面ABC，

因此P，Q，R是平面ABC與平面α的公共點(diǎn)，

因?yàn)閮善矫嫦嘟挥星抑挥幸粭l交線，所以P，Q，R三點(diǎn)在平面ABC與平面的交線上，P，Q，R三點(diǎn)共線。

練習(xí)2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn).求證：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直線A1F//平面ADE。

注意：在應(yīng)用綜合法時(shí)，應(yīng)對問題先進(jìn)行仔細(xì)認(rèn)真地分析、討論，找到因果關(guān)系，明確、簡潔、正確、規(guī)范的表達(dá)方法，注意避免出現(xiàn)因果關(guān)系不清、邏輯表達(dá)混亂的情況。

練習(xí)3.在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，求證：△ABC為等邊三角形。

注意：在證明數(shù)學(xué)問題時(shí)，經(jīng)常需要把已知條件進(jìn)行語言轉(zhuǎn)換，如把文字語言轉(zhuǎn)換成符號語言，或把符號語言轉(zhuǎn)換成文字語言等，還要把命題中的隱含條件顯性化。

題型四：利用綜合法證明數(shù)列有關(guān)問題

通過以上簡單明了的例題向?qū)W生展示利用綜合法證明數(shù)學(xué)問題的基本思想及基本步驟，讓學(xué)生從證明題中真正體會(huì)綜合法的內(nèi)涵，并能熟練應(yīng)用綜合法進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的證明。

備選練習(xí)：

這樣我們把一個(gè)填空題變成了證明題，而我們會(huì)發(fā)現(xiàn)填空題的解題過程與證明題的證明過程其實(shí)是一致的。

2.如果公差不為零的等差數(shù)列中第二、第三、第六項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，那么這個(gè)等比數(shù)列的公比等于（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

我們也可將本題改寫成證明題如下：

如果公差不為零的等差數(shù)列中第二、第三、第六項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，證明：這個(gè)等比數(shù)列的公比等于3，這樣我們把一個(gè)選擇題變成了證明題，結(jié)果我們也會(huì)發(fā)現(xiàn)選擇題的解題過程與證明題的證明過程其實(shí)也是一致的。這兩個(gè)題的設(shè)置是讓學(xué)生體會(huì)到綜合法的思維方式與推證過程不僅可以用它證明問題，還可以解決很多其他類型的問題。

編輯 溫雪蓮