數(shù)列的通項(xiàng)公式是從函數(shù)的視角反映數(shù)列的本質(zhì)的，而待定系數(shù)法又是高中數(shù)學(xué)中重要的方法之一，借助該方法構(gòu)造等比數(shù)列可以求出幾類數(shù)列的通項(xiàng)公式。

類型一：形如an+1=Aan+B（A≠0，B≠0）的數(shù)列.

例1.已知數(shù)列an滿足：a1=1，an+1=4an+1（n∈N*），求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

類型二：形如an+1=Aan+Bn（A≠0，B≠0）的數(shù)列.

例2.已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=2an+4n（n∈N*），求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

類型三：形如an+1=Aan+Bn2 +Cn+D（A≠0，B≠0，C≠0，D≠0）的數(shù)列.

例3.已知數(shù)列an滿足：a1=1，an+1=2an+n2+3n+1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解析：因?yàn)閍1=1，an+1=2an+n2+3n+1，設(shè)

an+1+x（n+1）2+y（n+1）+z=2（an+xn2+yn+z）展開化簡(jiǎn)得：

an+1=2an+xn2+（y-2x）n+z-x，根據(jù)待定系數(shù)法，與已知條件比較系數(shù)得：

x=1，y-2x=3，z-x=1，故：x=1，y=5，z=2，代入所設(shè)的形式中得：

an+1+（n+1）2+5（n+1）+2=2（an+n2+5n+2），

例4.已知數(shù)列an滿足：a1=8，an+1=4an-6·2n+1（n∈N*），求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解析：因?yàn)閍1=8，an+1=4an-3·2n+1，設(shè)an+1-x·2n+1=4（an-x·2n），展開得an+1=4an-2x·2n.由待定系數(shù)法知x=3再將x=3，代入上面已設(shè)的形式中得：

an+1-3·2n+1=4（an-3·2n）從而數(shù)列an-3·2n是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列。故，an-3·2n=2×4n-1，即an=2×4n-1+3·2n

類型五：形如an+1=Aan+Bm2+Cn+D（A≠0，B≠0，C≠0，D≠0）的數(shù)列.

例5.已知數(shù)列an滿足：a1=-1，an+1=-2an-4·3n-3n+2（n∈N*），求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解析：設(shè)an+1=x·2n+1+y（n+1）+z=-2（an+x·2n+yn+z），展開整理得：

an+1=-2an-4x·2n-3yn-3z-y，由待定系數(shù)法知-4x=-4，-3y=-3，-3z-y=2.所以有x=1，y=1，z=-1代入上面已設(shè)的形式中得：

編輯 溫雪蓮