在新課標教材的指導下，導數(shù)及導數(shù)的應用成為高考的熱點，尤其是用導數(shù)的性質(zhì)研究函數(shù)的單調(diào)性成為必考內(nèi)容，利用它可以證明不等式問題、在恒成立問題中求參數(shù)的范圍、研究函數(shù)的極值與最值。這就要求學生既要對導數(shù)知識極其熟悉，還需要有豐富的應試技巧，從而獲得高分。

問題的易錯點

在新課程背景下，高考圍繞導數(shù)“核心”知識點單調(diào)性進行考查，單調(diào)性應用是學生的易錯點，通過對易錯題的錯解進行糾正，引導學生思考，鍛煉學生獨立解決問題的能力，形成自己的解題方法，進而能觸發(fā)學生積極思考、勤奮探索的動力，開發(fā)學生的智慧源泉，實現(xiàn)了舉一反三的效果。下面通過一道應用問題體現(xiàn)導數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性的誤用。

例：已知函數(shù)f（x）=3ax4-2（3a+1）x2+4x。（1）當時，求f（x）的極值；（2）若f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，求a的范圍。

解第一問為常規(guī)解法故略去，只解第二問。學生解：因為f（x）=3ax4-2（3a+1）x2+4x在（-1，1）上是增函數(shù)，所以f’（x）=12ax3-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上成立，所以f’（1）=12a-4（3a+1）+4=0≥0，所以a∈R。表面上看學生的解法是對的，而且理由也很充分，他們認為：如果連續(xù)函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，則這一函數(shù)在這個區(qū)間上的導函數(shù)大于或等于零，所以這個區(qū)間上每一點處的導函數(shù)值大于或等于零，但他們犯了一個嚴重的錯誤，用特殊代替了一般，從而導致范圍擴大。這類題目是考查函數(shù)的單調(diào)性的應用，近兩年很多地區(qū)高考題的導數(shù)大題就是這么考查的?？疾榈闹攸c在于對參數(shù)進行分類討論。這時候往往先考慮現(xiàn)有條件對參數(shù)有沒有限制，如有限制，一定要在限制范圍內(nèi)分類討論。

幾種正確的解法

下面筆者提供幾種正確的解法：

分離參數(shù)法 因為 f（x）=3ax4-2（3a+1）x2+4x在（-1，1）上是增函數(shù)，所以f’（x）=12ax3-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上成立，即4（x-1）（3ax2+3ax-1）≥0在（-1，1）上成立。因為x∈（-1，1）所以x-1<0，即3ax2+3ax-1≤0在（-1，1）上成立。當x=0時，3ax2+3ax-1=-1≤0成立。當x∈（-1，0）時，≥令 t（x）=x2+x在x∈（-1，0）上時，所以≥。當x∈（0，1）時，≤，t（x）=x2+x在x∈（-1，0）上是增函數(shù)，t（x）

二次函數(shù)法 二次函數(shù)的是初中的重點內(nèi)容，也是高考中的很多問題的解題工具，尤其利用二次函數(shù)求在某區(qū)間上的最值（或值域）的求法要掌握熟練，特別是含參數(shù)的兩類“定軸動區(qū)間”“定區(qū)間動軸”，其解法是抓住“三點一軸”數(shù)形結合。三點指的是區(qū)間的兩個端點和區(qū)間中點，一軸指的是對稱軸。解法如下：因為f（x）=3ax4-2（3a+1）x2+4x在（-1，1）上是增函數(shù)；所以f’（x）=12ax3-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上成立，即4（x-1）（3ax2+3ax-1）≥0在（-1，1）上成立，因為x∈（-1，1）所以x-1<0，即3ax2+3ax-1≤0在（-1，1）上成立，令g（x）=3ax2+3ax-1，x∈（-1，1）。當a=0時，則g（x）=-1≤0在（-1，1）成立。當a>0時，則二次函數(shù)開口向上，對稱軸，則x=1離對稱軸更遠，所以x=1時g（1）最大，則此時要3ax2+3ax-1≤0，所以3a+3a-1≤0，即0

二次求導法 函數(shù)在某點的一階導數(shù)表示函數(shù)圖象在該點的切線的斜率，表達了函數(shù)值在該點附近的變化快慢；相應地，對函數(shù)二次求導，相當于對原來函數(shù)的一階導函數(shù)再進行一次求導，所得二階導數(shù)即表示切線的斜率的變化快慢。因為f（x）=3ax4-2（3a+1）x2+4x在（-1，1）上是增函數(shù)，所以f’（x）=12ax3-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上成立，即4（x-1）（3ax2+3ax-1）≥0在（-1，1）上成立，因為x∈（-1，1），所以x-1<0，即3ax2+3ax-1≤0在（-1，1）上成立。當a=0時，3ax2+3ax-1=-1≤0在（-1，1）上成立令g（x）=3ax2+3ax-1x∈（-1，1）g’（x）=6ax+3a，令g’（x）=0，則。當a>0時，g（x）在為減函數(shù)，g（x）在為增函數(shù)，且g（1）=3a+3a-1=6a-1及g（-1）=3a-3a-1=-1，如果要使3ax2+3ax-1≤0在（-1，1）上成立，只需g（1）=6a-1≤0，即0

從以上問題解答中可透過現(xiàn)象看本質(zhì)，要從根本上掌握函數(shù)單調(diào)性的意義，從而在解題中更好地利用這一性質(zhì)。這部分知識本身比較抽象，但題目的結構和形式往往與學生日常練習中所熟悉的題型是有聯(lián)系的。因此，把常見的易錯點進行梳理和分析，考試時做到心中有數(shù)，就能讓自己的成績有所突破。

（作者單位：內(nèi)蒙古自治區(qū)阿拉善盟第一中學）