摘要：本文通過將1范數(shù)正則化引入到均值CVaR模型中，從而使最優(yōu)投資組合中非零權重的個數(shù)減少。最優(yōu)解中非零權重的個數(shù)決定了交易者的交易成本，而且1范數(shù)正則化能夠?qū)⒔灰壮杀疽肽Ｐ汀?/p>

關鍵詞：1范數(shù)正則化；非零權重；均值CVaR；交易成本

一、引言

國外對于正則化方法的研究比較深入，并且已將其引入到了投資組合的優(yōu)化中。經(jīng)過國外學者的研究發(fā)現(xiàn)1范數(shù)正則化能使解變稀疏。基于這一優(yōu)點，國內(nèi)學者們逐漸重視1范數(shù)正則化并將其引入金融領域來刷選變量或者用于構建最優(yōu)投資組合。1范數(shù)正則化比較常見的運用是在線性模型中，通過變化可調(diào)系數(shù)來求得稀疏解，這種模型叫ASSO模型（套索模型）。

Brodie（2009）在改進的MV模型的基礎上引入1范數(shù)正則化。這一模型不僅能提高投資組合的解稀疏性，而且解決了交易成本模型化的問題，更重要的是他將非賣空交易頭寸這一約束模型化。最后他通過對比夏普率發(fā)現(xiàn)該模型的樣本外表現(xiàn)顯著優(yōu)于等權重的投資組合。

B.Fastrich（2013）發(fā)現(xiàn)最小方差投資組合通過正則化方法能阻止協(xié)方差矩陣中的估計誤差進入到分配向量從而使其表現(xiàn)被大幅提升。將SCAD、Logarithmic penalty、q-penalty、zhang-penalty和LASSO對比，結(jié)果表明這幾種方法表現(xiàn)優(yōu)于LASSO在大數(shù)據(jù)集的情況下。這些方法的成功源于他們能維持重要的資產(chǎn)在投資組合中大的絕對值權重，同時減少那些不重要的資產(chǎn)。他還表明正則化參數(shù)憑借10折交叉驗證能有有效的確定。

李熠熠，潘婉彬等（2010）通過將LAD-LASSO方法引入到三次樣條函數(shù)中，從而對其變量進行選擇，確定了樣條行數(shù)的節(jié)點數(shù)量和位置，同時估計參數(shù)，構建模型來擬合上海證券交易的國債利率期限結(jié)果，樣本外預測結(jié)果顯示，與傳統(tǒng)的方法相比，LAD-LASSO方法有以下有點：首先，它通過最小一乘準則，有效地降低了樣本中異常值的影響，提高了抗干擾能力，增強了參數(shù)估計的穩(wěn)健性。其次，LAD-LASSO方法通過數(shù)據(jù)來選擇變量，找到合適的節(jié)點，建立模型，避免人為給定節(jié)點可能帶來的系統(tǒng)性偏差。最后，新方法的優(yōu)勢還在于，它可以在參數(shù)估計的同時完成節(jié)點選擇，避免了傳統(tǒng)的模型選擇方法中大量繁復的計算步驟，大大提高了效率.可以有效地選擇合適的模型，增加參數(shù)估計的穩(wěn)健性，提高預測的精度，增強期限結(jié)構定價的準確度。

劉叢瑜（2011）分析中應用LASSO方法對股指期貨進行套利研究，從300只成份股中選擇出17只股票作為構建資產(chǎn)組合的標的股票，并且通過實證分析證明應用于股票選擇的效果很好，并且計算處理的時間極短，變量系數(shù)的估計結(jié)果也十分穩(wěn)定。

梁斌，陳敏（2011）等將多元線性回歸選擇變量的LASSO方法引入到指數(shù)跟蹤和股指期貨套利策略研究，提出運用LARS算法實現(xiàn)非負限制下的LASSO選擇現(xiàn)貨組合問題，然后得到現(xiàn)貨組合，在組合含有較少數(shù)量股票的情況下，得到更小的跟蹤誤差。

劉遵雄，鄭淑娟（2012）將1范數(shù)正則化Logistic回歸模型用于上市公司財務危機預報，結(jié)合滬深股市制造業(yè)ST公司和正常公司的財務數(shù)據(jù)開展實證研究，對比Logistic回歸和正則化Logistic回歸模型進行對比分析。

三、結(jié)論

首先，投資組合中如果微小權重過多則不利于投資者在我國股票市場買入對應的股票頭寸。這種情況對于中小投資者尤其嚴重，因為當中小投資者如果按照微小權重的資金配比去購買股票可能連買入1手股票的資金都不夠，因而就不能按照最優(yōu)投資組合去構建頭寸。然而1范數(shù)正則化的引入能夠有效減少微小頭寸的數(shù)量。當我們λ1取一個合理的值后，最優(yōu)投資組合中非零權重的個數(shù)能夠有效減少，這意味著很多微小權重在1范數(shù)懲罰的情況被剔除。這樣的最優(yōu)投資組合就便于中小投資者在現(xiàn)實的股票市場中構建。

其次，考慮了交易成本對最優(yōu)投資組合的影響。Brodie（2009）指出在實際投資中，投資者構建最優(yōu)投資組合不僅要考慮風險和收益，而且還要考慮到交易成本對投資組合的影響。在證券交易中，交易成本分為兩個部分：一部分是固定交易成本，即無論交易多少證券都必須支付的成本。這部分與證券的個數(shù)成正比，可以用‖w‖0來衡量，其中‖w‖0為w中系數(shù)不為0的系數(shù)的個數(shù)。固定交易成本對于中小投資者是不可忽視的一部分，甚至說這是他們唯一值得考慮的一部分。然而當隨機變量增多時，引入‖w‖0正則化將大大增加計算的復雜程度。因此，引入1范數(shù)正則化代替0范數(shù)正則化。因為1范數(shù)正則化能促進解稀疏，這與0范數(shù)正則化求解中不為0的系數(shù)的個數(shù)具有相似的效果，所以可以將1范數(shù)正則化代替0范數(shù)正則化引入模型。我們從上圖可以發(fā)現(xiàn)通過合理的調(diào)整協(xié)調(diào)系數(shù)λ，1范數(shù)正則化確實能有效減少投資組合中非零權重頭寸的股票數(shù)，所以將1范數(shù)正則化引入模型適用于中小投資者，能夠有效的交易成本和模型最優(yōu)化相結(jié)合。另一部分是可變成本，可變成本由交易量乘以交易價差構成。理論上，買賣報價差只適用于做市商市場，因為做市商提供的是雙邊報價，并且買價低于賣價，因而有一個價差；但在連續(xù)競價市場，所有一對一匹配的買賣訂單都是按照相同的價格撮合的，故不存在價差，因此，分析連續(xù)競價市場的價差通常采取市場上未成交的有效訂單的最高買價和最低賣價之間的差額，這兩個價位上反映了下一筆可能的實際成交價格，也是當時投資者買進和賣出所愿意接受的最佳價格。對于大的投資者第一部分固定交易成本可以忽略，所以主要的交易成本是第二部分可以表示為ΣNi=1si|wi|，其中si表示第i只股票的買賣報價差。當假設所有股票的買賣報價差都是一致的并且假設對于所有不同交易規(guī)模的股票（即對于不同大小的wi）買賣報價差一致。通過以上假設，我們可以引入1范數(shù)正則化有效的表示交易成本對最優(yōu)投資組合的影響。

最后，我們可以通上圖發(fā)現(xiàn)當預期收益率越高，投資組合中非零權重的個數(shù)越多。這種情況主要是由于在允許賣空頭寸存在的情況下，投資組合預期收益率ρ=ΣNi（wi×ri-），而權重和的約束為ΣNiwi=1，當ri-為負的股票權重增大同時ri-為正的股票的權重增加正好使權重和為1的話，那樣就能既滿足預期收益率上升同時權重和仍為1的約束。這樣的情況下，導致了非零權重的個數(shù)相應的增多。

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（作者通訊地址：浙江工商大學 金融學院，浙江 杭州 310002）