二次函數(shù)屬初中內(nèi)容，但由于它與高中許多內(nèi)容聯(lián)系密切，并且應(yīng)用非常廣泛，因此每年高考都會有大量涉及二次函數(shù)的內(nèi)容，致使二次函數(shù)成了高考永恒的話題。二次函數(shù)與許多重要的數(shù)學(xué)方法，如配方法、換元法、分類討論法、基本不等式法、賦值法等都有著密切的關(guān)系。一元二次方程根的分布問題、一元二次不等式的討論、二次曲線的交點問題，都與二次函數(shù)密切相關(guān)。本文分析歷年的高考題可以發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)都與其他知識相結(jié)合進行綜合考查。常見的有：

一 求二次函數(shù)的解析式

求二次函數(shù)的解析式一般用待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是根據(jù)已知條件恰當(dāng)選擇二次函數(shù)解析式的形式，一般選擇規(guī)律如下：（1）已知三個坐標(biāo)點，宜選用一般式；（2）已知頂點坐標(biāo)、對稱軸、最值，宜選用頂點式；（3）已知與x軸的兩交點坐標(biāo)，宜選用兩根式。

例題：設(shè)二次函數(shù)f（x）滿足f（x－2）＝f（－x－2）且圖像在y軸上的截距為1，在x軸上截得的線段長為 ，求f（x）的解析式。

〖解題指南〗二次函數(shù)f（x）滿足f（x＋t）＝f（t－x），則其對稱軸方程為x＝t；圖像在x軸上截得的線段長度公式為|x1－x2|，本題可設(shè)f（x）的一般式，亦可設(shè)頂點式。

〖規(guī)范解答〗設(shè)f（x）的兩零點分別為x1，x2

解法一：設(shè)f（x）＝ax2＋bx＋c，則由題知：c＝1，且對稱軸為x＝－2。

∴ ，即b＝4a?！鄁（x）＝ax2＋4ax＋1

∴

∴b＝4a＝2，∴f（x）的解析式為 。

解法二：∵f（x－2）＝f（－x－2）

二次函數(shù)f（x）的對稱軸為x＝－2。

設(shè)f（x）＝a（x＋2）2＋b且f（0）＝1，∴4a＋b＝1

∴f（x）＝a（x＋2）2＋1－4a＝ax2＋4ax＋1，

∴

∴b＝－1，∴f（x）的解析式為 。

〖反思#8226;感悟〗用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：（1）設(shè)一般式是通法；（2）已知頂點（對稱軸或最值），往往設(shè)頂點式；（3）已知圖像與x軸的兩交點，往往設(shè)兩根式。若選用形式不當(dāng)，引入的對待系數(shù)過多，會加大運算量。

二 二次函數(shù)圖像與性質(zhì)的應(yīng)用

1．求二次函數(shù)最值的類型及解法

第一，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動，不論哪種類型，解決的關(guān)鍵是對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時，要依據(jù)對軸對稱與區(qū)間的關(guān)系進行分類討論。

第二，常結(jié)合二次函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性或圖像求解，最值一般在區(qū)間的端點或頂點處取得。

2．二次函數(shù)單調(diào)性問題的解法

結(jié)合二次函數(shù)圖像的升、降對對稱軸進行分析討論求解。

例題：已知函數(shù)f（x）＝x2＋2ax＋3，x∈［－4，6］，（1）當(dāng)a＝－2時，求f（x）的最值；（2）求實數(shù)a的取值范圍，使y＝f（x）在區(qū)間［－4，6］上是單調(diào)函數(shù)；（3）當(dāng)a＝－1時，求f（|x|）的單調(diào)區(qū)間。

〖解題指南〗解答（1）、（2）可根據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合圖像或單調(diào)性直接求解，對于（3），應(yīng)該先將函數(shù)化為分段函數(shù)，再求單調(diào)區(qū)間。

〖規(guī)范解答〗（1）當(dāng)a＝－2時，f（x）＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，則函數(shù)在［－4，2）上為減函數(shù)，在（2，6］上為增函數(shù)?！鄁（x）min＝f（2）＝－1，f（x）max＝f（－4）＝（－4）2－4×（－4）＋3＝35。（2）函數(shù)f（x）＝x2＋2ax＋3的對

稱軸為 。∴要使f（x）在［－4，6］上為單調(diào)函

數(shù)，只需－a≤－4或－a≥6?！郺≥4或a≤－6。（3）當(dāng)a＝

－1時， 。

又∵x∈［－4，6］，∴f（|x|）在區(qū)間（－4，1）和（0，1）上為減函數(shù)，在區(qū)間（－1，0）和（1，6）上為增函數(shù)。

〖反思#8226;感悟〗（1）影響二次函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，n）上最值的要素有三個，即拋物線的開口方向、對稱軸位置、閉區(qū)間；常用數(shù)形結(jié)合思想求解，但當(dāng)三要素中有一要素不明確時，要分情況討論。（2）確定應(yīng)用二次函數(shù)單調(diào)性，常借助其圖像數(shù)形結(jié)合求解。

三 二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的綜合問題

第一，解決一元二次方程根的分布問題的方法，常借助二次函數(shù)的圖像數(shù)形結(jié)合來解，一般從開口方向、對稱軸位置、判別式、端點函數(shù)值符合四個方面分析。

第二，解決一元二次不等式的有關(guān)問題的策略，一般需借助于二次函數(shù)的圖像、性質(zhì)求解。

例題：設(shè)函數(shù)f（x）＝ax2－2x＋2，對于滿足1＜x＜4的一切x值都有f（x）＞0，求實數(shù)a的取值范圍。

〖解題指南〗解答本題有兩條途徑：（1）分a＞0，a＜0，a＝0三種情況，求出在（1，4）上的最小值f（x）min，再令f（x）min＞0，從而求出a的取值范圍。（2）將參數(shù)a

分離得 ，然后求 的最大值即可。

〖規(guī)范解答〗解法一：當(dāng)a＞0時， ，

由f（x）＞0，x∈（1，4）得： 或

或

∴ 或 或 。

∴a≥1或 或φ，即 。

當(dāng)a＜0時， ，解得a∈φ；

當(dāng)a＝0時，f（x）＝－2x＋2，f（1）＝0，f（4）＝－6，

∴不合題意。

綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是 。

解法二：由f（x）＞0，即ax2－2x＋2＞0，x∈（1，4），

得 ，在（1，4）上恒成立。

令 ， ，

∴ ，

所以要使f（x）＞0在（1，4）上恒成立，只要 即可。

〖反思#8226;感悟〗（1）一元二次不等式問題及一元二次方程解的確定與應(yīng)用問題常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖像和性質(zhì)的應(yīng)用問題求解，但要注意討論。（2）關(guān)于不等式的恒成立問題，盡量使用分離參數(shù)法，因為該方法可以避開頻繁地對參數(shù)的討論。

總之，二次函數(shù)既簡單又具有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的初等函數(shù)，可以以它為素材來研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等性質(zhì)，還可建立起函數(shù)、方程、不等式之間的有機聯(lián)系；作為拋物線，可以聯(lián)系其他平面曲線，討論它們之間的相互關(guān)系。這些縱橫聯(lián)系使得圍繞二次函數(shù)可以編制出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題。同時，有關(guān)二次函數(shù)的內(nèi)容又與近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展緊密聯(lián)系，是學(xué)生進入高校繼續(xù)深造的重要基礎(chǔ)知識。因此，有關(guān)二次函數(shù)的問題在高考中頻繁出現(xiàn)，也就不足為奇了。

〔責(zé)任編輯：李錦雯〕