[摘 要]在當(dāng)前中等職業(yè)學(xué)校教學(xué)中，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)基本停留在研究的層面上，沒有深入師生和課堂。運(yùn)用的是傳統(tǒng)教學(xué)模式，教學(xué)設(shè)計(jì)的中心仍是教材和教師。以幾何畫板為平臺(tái)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，倡導(dǎo)以學(xué)生的學(xué)習(xí)為中心，對(duì)日常的中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐具有很大的意義。

[關(guān)鍵詞]幾何畫板；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；應(yīng)用

數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面數(shù)學(xué)是演繹科學(xué)，另一方面數(shù)學(xué)更像是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)。數(shù)學(xué)作為一門實(shí)驗(yàn)性的科學(xué)，它對(duì)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)遠(yuǎn)比讓學(xué)生會(huì)解幾道題更為重要。但在目前中等職業(yè)學(xué)校的實(shí)際教學(xué)中，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)更多地停留在教學(xué)研究的層面上，并未深入師生和課堂。在傳統(tǒng)教學(xué)模式中，教學(xué)內(nèi)容往往是靜態(tài)的，在CAI模式應(yīng)用的早期，也較多地采用“演示”的手段，這種教學(xué)設(shè)計(jì)的中心仍是教材和教師。以“幾何畫板”為平臺(tái)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，應(yīng)倡導(dǎo)以學(xué)生的學(xué)習(xí)為中心的教學(xué)模式。針對(duì)上述情形，作者結(jié)合日常的中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，以數(shù)學(xué)軟件幾何畫板為平臺(tái)，探討數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的四種常見類型：觀察型實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)、探索性實(shí)驗(yàn)、解題性實(shí)驗(yàn)。

一、觀察型實(shí)驗(yàn)及案例

[案例1]：正弦型函數(shù)y=Asin（wx+？漬）的圖像及性質(zhì)。

實(shí)驗(yàn)環(huán)境：計(jì)算機(jī)機(jī)房，一人一機(jī)。

實(shí)驗(yàn)過程：

（1）教師適當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生畫出函數(shù)y=Asin（wx+？漬）的圖像，主要由學(xué)生自己動(dòng)手設(shè)置參數(shù)A、w、？漬拖動(dòng)鼠標(biāo)來觀察函數(shù)圖像的變化，特別注意的變化對(duì)圖像的影響。（如圖1-1）

（2）討論交流，學(xué)生獨(dú)立或分組討論A、w、？漬的變化對(duì)圖像的影響。

（3）在教師的指導(dǎo)下，得出正弦型函數(shù)y=Asin（wx+？漬）的圖像及性質(zhì)的相關(guān)性質(zhì)和結(jié)論。

（4）反思延伸，一是學(xué)生自己批改課前預(yù)習(xí)題的錯(cuò)誤；二是啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行三角函數(shù)圖像的平移。如y=sinx通過怎樣的變換變?yōu)閥=2sin（2x+■）。

這樣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)境下的教學(xué)改變了傳統(tǒng)的教學(xué)方法，教學(xué)完全體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位和教師的主導(dǎo)作用。學(xué)生在積極參與教學(xué)中，獲得的是真正的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，而不僅是數(shù)學(xué)結(jié)論，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

二、驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)及案例

[案例2]：兩個(gè)平面向量減法的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

若則OA=（x1，y1），OB=（x2，y2），則OA-OB=BA=（x1-x2，y1-y2）。這個(gè)結(jié)論看似簡(jiǎn)單，但從筆者教學(xué)經(jīng)驗(yàn)看，大多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中是機(jī)械的記憶，特別是沒有理解向量減法的定義，這樣學(xué)生就不會(huì)靈活運(yùn)用，造成學(xué)生學(xué)習(xí)中的障礙。

實(shí)驗(yàn)環(huán)境：計(jì)算機(jī)機(jī)房，一人一機(jī)。

實(shí)驗(yàn)步驟：

（1）在幾何畫板中作出向量OA，OB；并作出OB的反向量OB'；

（2）構(gòu)造以O(shè)A，OB'為鄰邊的平行四邊行，構(gòu)造OA，OB'所夾的對(duì)角線OC，此向量為OA，OB'兩個(gè)向量的和向量，也是OA，OB'向量的差向量。

（3）平移OC向量，觀察OC向量與BA向量的關(guān)系。

（4）移動(dòng)A、B至任意點(diǎn)，驗(yàn)證OA-OB=OC=BA這一結(jié)論；（如圖2-1）

（5）度量A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，改變A、B的位置，進(jìn)一步驗(yàn)證OA-OB=BA=（x1-x2，y1-y2）。（如圖2-1）

驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)強(qiáng)調(diào)演示和證明的活動(dòng)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中有許多公式，定理是前人研究得出的結(jié)論。這些內(nèi)容中，有的難以理解或證明。針對(duì)這些內(nèi)容，可以設(shè)計(jì)一些針對(duì)性的驗(yàn)證性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，給學(xué)生提供了一個(gè)全新的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的環(huán)境，讓學(xué)生親自動(dòng)手做數(shù)學(xué)，從而在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行理性認(rèn)識(shí)。

三、探索性實(shí)驗(yàn)及案例

[案例3]：雙曲線的定義數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

在雙曲線的定義教學(xué)中，筆者從多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)許多教師在教學(xué)中用折紙的方法的畫雙曲線，具體步驟是：

（1）首先準(zhǔn)備一張紙，在紙上畫一個(gè)圓O，并在圓外取一點(diǎn)F。

（2）開始折紙，將圓周折起一角，使得圓周過F點(diǎn)。每一次折紙都有一條折痕，將這些折痕標(biāo)記出來。（如圖3-1）

（3）反復(fù)進(jìn)行不同的折紙，只要每一次讓圓周過F點(diǎn)就行。這樣你就可以得到一系列折痕，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些折痕會(huì)呈現(xiàn)出一個(gè)雙曲線的輪廓。（如圖3-2）

這種折紙的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)會(huì)帶來兩個(gè)疑問：一是從直觀上看，折紙的效果圖是雙曲線的一支，學(xué)生會(huì)誤認(rèn)為是拋物線。二是從折紙的過程中，由于折紙的次數(shù)多，對(duì)點(diǎn)、線描述得不夠清晰，學(xué)生難以形成雙曲線的第一定義。

鑒于以上兩個(gè)問題，在教學(xué)中可以設(shè)計(jì)幾何畫板的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來模擬折紙實(shí)驗(yàn)，來探求雙曲線的第一定義。實(shí)驗(yàn)過程中引導(dǎo)學(xué)生將折紙的過程用幾何畫板展示出來。

實(shí)驗(yàn)環(huán)境：計(jì)算機(jī)機(jī)房，一人一機(jī)。

實(shí)驗(yàn)步驟：

（1）在幾何畫板軟件上畫一個(gè)圓F1和圓外一點(diǎn)F2；

（2）在圓上構(gòu)造一點(diǎn)M，連接F2M，構(gòu)造F2M的中垂線l（折紙實(shí)驗(yàn)中的折痕）；（如圖3-3）

（3）依次選中點(diǎn)M和直線l，構(gòu)造動(dòng)畫，并追蹤l的軌跡；（如圖3-4）

在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，整個(gè)實(shí)驗(yàn)過程都是模擬傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)折紙實(shí)驗(yàn)，但效果顯然比傳統(tǒng)的折紙實(shí)驗(yàn)好。從圖（3-4）可以看出，折出來的曲線是兩支，不是一支，不可能是拋物線，更重要的是，結(jié)合圖（3-3），曲線上的點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離F1、F2的距離差的絕對(duì)值是是定長(zhǎng)|F1M|（定圓的半徑），即，|PF1PF2|=R<并且R|F1F2|。

這個(gè)實(shí)驗(yàn)，在模擬折紙數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，學(xué)生在主動(dòng)實(shí)驗(yàn)中，親身感受了雙曲線的形成過程，從而深刻地理解了雙曲線的第一定義。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，特別是開放性教學(xué)中，符合條件的圖形或所求的結(jié)論往往是不唯一的。如何將錯(cuò)誤的現(xiàn)象和結(jié)論排除掉，或?qū)⒉磺逦臄?shù)學(xué)現(xiàn)象、數(shù)學(xué)結(jié)論清晰明朗化，并最終進(jìn)行嚴(yán)密的證明，形成正確的數(shù)學(xué)結(jié)論，傳統(tǒng)教學(xué)通常無法做到。利用幾何畫板軟件能較好地解決上述問題，它能顯示對(duì)象的“軌跡”，對(duì)動(dòng)態(tài)對(duì)象的軌跡進(jìn)行追蹤，使學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中看到軌跡形成的動(dòng)態(tài)過程及軌跡變化的動(dòng)態(tài)過程，為學(xué)生清楚地觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，探討數(shù)學(xué)問題創(chuàng)設(shè)了較好的實(shí)驗(yàn)環(huán)境，從而激發(fā)學(xué)生的主體參與意識(shí)，利于學(xué)生探索正確的數(shù)學(xué)結(jié)論。

四、解題性實(shí)驗(yàn)及案例

[案例4]：（2008年江蘇單招高考題）已知函數(shù)f（x）=lg（ax2+2ax+1）的定義域是全體實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

在實(shí)際教學(xué)中，對(duì)于類似的問題，筆者確實(shí)感覺到教學(xué)中的困難，通常同一類型的問題講解多次，學(xué)生還是會(huì)出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：一是不考慮a=0的情況；二是機(jī)械記二次方程或二次函數(shù)的判別式小于零；三是不會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想。就這個(gè)問題而言，即要求出不等式ax2+2ax+1>0恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍。引進(jìn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)后，主要是引導(dǎo)學(xué)生畫出帶參數(shù)a的函數(shù)f（x）=ax2+2ax+1圖像，通過改變a的值，觀察圖像的變化。參數(shù)a的變化，帶來圖形的變化，如圖4-1至圖4-5。圖4-1至圖4-5反應(yīng)了參數(shù)a由負(fù)數(shù)、零、正數(shù)遞增的變化的過程中，函數(shù)圖像的隨著參數(shù)a變化過程。學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，改變參數(shù)，觀察動(dòng)態(tài)函數(shù)的圖像，很容易全面地理解這個(gè)問題，從而正確地解答出來。

在教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)學(xué)生的解題能力是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。對(duì)于一些復(fù)雜的、難以理解的問題，適當(dāng)?shù)匾M(jìn)以幾何畫板為平臺(tái)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)往往能幫助學(xué)生更深入地理解問題，從而提高學(xué)生的解題能力。數(shù)學(xué)中還有許多問題解決的難點(diǎn)是突破口難以發(fā)現(xiàn)，或解得的結(jié)果不完整，在教學(xué)中可以引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生一邊做數(shù)學(xué)，一邊研究數(shù)學(xué)，而不僅僅是做題，從而提高學(xué)生的解題能力。

通過以上四類實(shí)驗(yàn)，不難看出以幾何畫板為平臺(tái)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)引入數(shù)學(xué)課堂，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、增大教學(xué)信息量、拓寬認(rèn)知途徑、改進(jìn)概念教學(xué)、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)、訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維的能力和促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)觀念的改變等諸多方面有積極的作用，從而最終改善數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。

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