陳勇

【摘要】根據(jù)高中生解數(shù)學(xué)題常有的三種失敗境界，從直覺思維的角度分析了其解題過程中常犯的幾類錯(cuò)誤，分別得出了其教學(xué)應(yīng)對(duì)措施.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；錯(cuò)誤的；直覺思維；措施

【中圖分類號(hào)】G633【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

我們都知道，在數(shù)學(xué)的解題過程中，知識(shí)、方法、思想三者都很重要.而我們數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，其核心就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，提高高中生數(shù)學(xué)解題能力.因此，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的研究成為國內(nèi)外數(shù)學(xué)教育工作者研究的活躍話題之一.在文獻(xiàn)＼[1＼]-＼[6＼]中，賈廣利等就數(shù)學(xué)解題過程中的整體思想、變式訓(xùn)練、習(xí)題教學(xué)、逆向思維、應(yīng)用問題、分層教學(xué)等做了研究，研究得細(xì)致，實(shí)用價(jià)值很高.本文將從高中生解題過程中使用不正確的數(shù)學(xué)直覺思維方面進(jìn)行分析研究.

很多時(shí)候我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)問到一些學(xué)生為什么沒有做對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)題時(shí)，他們通常有三種回答：第一種，沒感覺看不懂題或者看錯(cuò)了題，所以不會(huì)做；第二種，我有點(diǎn)感覺，好像看懂了題，我會(huì)做，但我還是沒算出來；第三種，我感覺極好，我好不容易做了出來，但最后結(jié)果還是算錯(cuò)了.之所以出現(xiàn)以上這三種回答，原因是多方面的，但回答中都提到一個(gè)很重要的詞語就是“感覺”，即數(shù)學(xué)感，數(shù)學(xué)感覺錯(cuò)誤或者根本沒有數(shù)學(xué)感是導(dǎo)致他們解不出或解錯(cuò)數(shù)學(xué)題的直接原因之一.特別是第二、三種錯(cuò)誤，很可能是用了不當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)感.這里所說的數(shù)學(xué)感就是一種數(shù)學(xué)直覺思維.直覺思維是一種直接的、突然的和創(chuàng)造性認(rèn)識(shí)事物本質(zhì)的特殊心理活動(dòng).縱觀高中數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程，學(xué)生在解題的過程中出現(xiàn)不當(dāng)?shù)闹庇X思維即數(shù)學(xué)感錯(cuò)誤，可能出現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

一、概念的濫用或掌握不牢

概念是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的高度抽象與概括，它是事物最本質(zhì)特征的反映，每一個(gè)概念都有其定義時(shí)的背景，若對(duì)其背景視而不見，就會(huì)產(chǎn)生一種不可小視的錯(cuò)覺.

我們先來看一個(gè)例子：

例1復(fù)數(shù)z滿足（3-4i）z=4+3i，則z的虛部為（ ）.

A.4iB.4

C.45iD.45

學(xué)生一看到這個(gè)題，會(huì)出現(xiàn)兩種錯(cuò)誤，第一種是概念不清，不知道4+3i是什么意思，自然憑感覺猜就可能選B了.第二種就是正確計(jì)算出z=35+45i，但記不清復(fù)數(shù)的虛部是否帶i，可能直接就選出C了.在高中復(fù)數(shù)這個(gè)部分內(nèi)容簡單，在教學(xué)和高三的復(fù)習(xí)中我們往往會(huì)忽視這一點(diǎn)，而高考題通常有這樣一個(gè)選填題，學(xué)生解題也認(rèn)為簡單，會(huì)一晃而過，于是就出現(xiàn)了類似的直覺錯(cuò)誤.

在教學(xué)過程中，當(dāng)我們遇到一個(gè)基本概念時(shí)，我們應(yīng)該讓學(xué)生思考，我們抓住概念的本質(zhì)了嗎？概念的產(chǎn)生有無特殊背景和附加條件呢？如果想好這幾個(gè)問題，那么犯這個(gè)直覺思維錯(cuò)誤的可能性就不大了.

而且，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，我們必須重視數(shù)學(xué)基本概念、基本公式、基本法則等的學(xué)習(xí)與理解，重點(diǎn)要在運(yùn)用上下功夫.無論任何題型，都是從數(shù)學(xué)的基本知識(shí)中衍生出來的.因此，只有掌握了扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，才能“以不變應(yīng)萬變”，在解題時(shí)才有利于鍛煉學(xué)生的獨(dú)立思考能力，有利于提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，減少犯直覺錯(cuò)誤的幾率.

二、定理的應(yīng)用上，類比推理的誤導(dǎo)

例2在某判斷真假命題的選擇題中，有這么一個(gè)選項(xiàng)：設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，若z1=z2，則有z21=z22.

很多學(xué)生一看就認(rèn)為是真命題，因?yàn)樗麄冎涝趶?fù)平面上復(fù)數(shù)可以和平面向量對(duì)應(yīng)，而且在向量的運(yùn)算中，我們有：a2=a2.但復(fù)數(shù)中，z2=z2成立嗎？復(fù)數(shù)的模和復(fù)數(shù)的平方有什么區(qū)別呢？復(fù)數(shù)和向量有什么本質(zhì)的區(qū)別？本題正確答案是假命題，事實(shí)上，z是一個(gè)實(shí)數(shù)，z2是一個(gè)復(fù)數(shù)，它很可能是一個(gè)虛數(shù)，潛在本質(zhì)上有很大的區(qū)別，讓學(xué)生弄清這一點(diǎn)，這類的直覺錯(cuò)誤就不會(huì)發(fā)生了.

定理、公式、性質(zhì)等是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的反映，它是快速、準(zhǔn)確解題的基礎(chǔ)，但每一個(gè)公式、定理等均有其成立的特定條件和背景，如果僅依靠形式上的相似就將結(jié)論進(jìn)行類比遷移，而缺少對(duì)公式、定理的理解，就容易形成錯(cuò)覺.因此，教學(xué)過程中，在遇到有聯(lián)系的類似問題時(shí)，不僅要讓學(xué)生弄清楚它們的共同點(diǎn)，更重要的是要讓學(xué)生弄清它們的不同點(diǎn)和本質(zhì)上的差別，特別是在高三的復(fù)習(xí)中，在學(xué)生似乎對(duì)每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都很熟悉的前提下，不搞清這一點(diǎn)，出現(xiàn)這類錯(cuò)誤直覺就很正常了.

三、需要分類討論的問題中，解數(shù)考慮不清

這類包括漏解和多解兩種情況：

例3不等式（a-2）x2+（a-2）x-4<0對(duì)一切x∈R恒成立，則a的取值范圍是.

學(xué)生一看到這個(gè)問題，就直覺感到這是一個(gè)二次不等式的恒成立問題，等式左邊的二次函數(shù)值小于零滿足開口向下且與x軸無交點(diǎn)，于是很自然得出：

a-2<0Δ=（a-2）2-4（a-2）（-4）<0-14

這樣做對(duì)嗎？不等式的左邊一定是一個(gè)二次函數(shù)嗎？當(dāng)a=2時(shí)，不等式變?yōu)?4<2也是恒成立的.這個(gè)題的正確答案是-14

再來看一個(gè)多解的例子：

例4已知凸n邊形的各內(nèi)角成等差數(shù)列，公差為5°，且最小內(nèi)角為120°，則n=（）.

A.8B.9或16

C.16D.9

本題一看就是一個(gè)基礎(chǔ)題，由n邊形的內(nèi)角各公式和等差數(shù)列的求和公式，有

（n-2）180°=120°·n+n（n-1）2·5°.

學(xué)生很容易解得n=9或n=16，就直覺地選出了B.本題的解中兩種情況是否都成立呢？事實(shí)上，當(dāng)n=16時(shí)，最大內(nèi)角為195°，這與凸n邊形矛盾，故選D.

一解還是兩解甚至是多解，不同的選擇反映了對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)了解的程度不同，這就造成了解答中出現(xiàn)增解或漏解的情況.而出現(xiàn)這種情況，往往是由于審題不嚴(yán)密造成的.教學(xué)過程中，我們既要讓學(xué)生認(rèn)真審題考慮到多種情況，又要讓學(xué)生分析每一種情況解出來的結(jié)果是否都符合題意，多看看題目是否還有其他的限制條件尤為重要.