岳東旭

備受關(guān)注的2013年安徽中考閱卷工作已經(jīng)落下帷幕，我有幸被抽調(diào)參加阜陽市的中考數(shù)學(xué)閱卷工作，我批閱的恰巧是壓軸題第23題. 批閱之前我認(rèn)真地將此試題及參考答案反復(fù)推敲，發(fā)現(xiàn)試題中第（3）問的第二個(gè)問題“若點(diǎn)E不在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)，情況又如何？”的參考答案有待商榷. 現(xiàn)結(jié)合試題及參考答案將我的一點(diǎn)思考寫出來與大家共同探討.

一、試題來源

23.（14分）我們把由不平行于底邊的直線截等腰三角形兩腰所得的四邊形稱為“準(zhǔn)等腰梯形”.如圖1，四邊形ABCD即為“準(zhǔn)等腰梯形”. 其中，

（1）在圖1所示的“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個(gè)頂點(diǎn)引一條直線將四邊形ABCD分割成一個(gè)等腰梯形和一個(gè)三角形或分割成一個(gè)等腰三角形和一個(gè)梯形（畫出一種示意圖即可）；

（3）在由不平行于BC的直線AD截△PBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線交于點(diǎn)E，若EB = EC，請(qǐng)問：當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)（即圖3所示情況），四邊形ABCD是不是“準(zhǔn)等腰梯形”，為什么？若點(diǎn)E不在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)，情況又將如何？寫出你的結(jié)論. （不必說明理由）

二、試題參考答案

（3）過點(diǎn)E分別作EF⊥AB，EG⊥AD，EH⊥CD，垂足分別為F，G，H（如圖7）.

∵ AE平分∠BAD，

∴ EF = EG.

又∵ ED平分∠ADC，

∴ EG = EH ，EF = EH，

又∵ EB = EC，

∴ Rt△BFE≌Rt△CHE，

∴ ∠3 = ∠4，

又∵ EB = EC，∠1 = ∠2，

∴ ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4，即 ∠ABC = ∠DCB.

又∵ ABCD為AD截某三角形所得，且AD不平行BC，

∴ ABCD為“準(zhǔn)等腰梯形”.（12）

當(dāng)點(diǎn)E不在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)，有兩種情況：

當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD的邊BC上時(shí)，四邊形ABCD為“準(zhǔn)等腰梯形”；

當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD的外部時(shí)，四邊形ABCD為“準(zhǔn)等腰梯形”.（14分）

三、試題初探

1. 縱觀試題，簡要評(píng)析

本題作為壓軸題，以學(xué)生熟悉的等腰三角形和等腰梯形為背景自定義“準(zhǔn)等腰梯形”的概念，閱讀量適中，起步低，學(xué)生容易上手，本題前兩問解法多樣，圖形簡潔，能綜合考查學(xué)生的直觀和理性思維. 第（3）問難度加大，兩個(gè)小問題層層遞進(jìn)，變式自然，有一定的區(qū)分度. 另外，本題與2008年安徽中考數(shù)學(xué)卷的第22題有類似之處，是第22題的拓展. 時(shí)隔4年，我們不得不感嘆命題人的用心，試題穩(wěn)中求變，既能考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)基本知識(shí)解決新問題的能力，又能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

2.深入試題，提出質(zhì)疑

可惜的是本題第（3）問中第二個(gè)小問題：“若點(diǎn)E不在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)，情況又如何？”的參考答案有待商榷. 第二個(gè)問題需分為以下兩種情況進(jìn)行討論：

① 當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD的邊BC上時(shí).

此時(shí)四邊形ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”. 理由如下：如圖8，此種情況只需類比第（3）問的第一個(gè)小問題的證明過程就可以輕易解答，結(jié)論仍然成立. 這里不再贅述.

② 當(dāng)點(diǎn)E 在四邊形ABCD的外部時(shí).

對(duì)于此種情況，出現(xiàn)了兩種不同的理解.

第一種理解：是在圖8的基礎(chǔ)上將BC邊向上平移，平移過程中保持其他線段的相對(duì)位置不變，這樣點(diǎn)E就在四邊形ABCD外部了，顯然由平行線性質(zhì)定理可得∠ABC = ∠BCD，且AD不平行于BC，所以當(dāng)點(diǎn)E在四邊形外部時(shí)，四邊形ABCD仍然是“準(zhǔn)等腰梯形”，即試題所給答案無任何異議. 此種理解方式并沒有錯(cuò)誤，只是忽略了這樣的四邊形可能只是滿足題設(shè)的一種情況.

第二種理解：當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD外部時(shí)，且點(diǎn)E同時(shí)是∠BAD的角平分線和∠CDA的平分線以及線段BC的中垂線這三條線的交點(diǎn)時(shí)，四邊形ABCD的邊AD∥BC，此時(shí)四邊形ABCD將不滿足“準(zhǔn)等腰梯形”的概念. 所以這樣的四邊形不是“準(zhǔn)等腰梯形”. 這種理解無疑是忽略了第三問“題干”中“由不平行于BC的直線截△PBC所得的四邊形ABCD……”，所以這個(gè)反例實(shí)際上在題目要求的范圍內(nèi)是不存在的. 那么當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD外部時(shí)，情況到底怎樣？是一定存在“準(zhǔn)等腰梯形”，還是不一定存在“準(zhǔn)等腰梯形”呢？

3. 構(gòu)造圖形，解決問題

事實(shí)上，當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD外部時(shí)，四邊形ABCD確實(shí)不一定符合“準(zhǔn)等腰梯形”的概念. 下面筆者將利用構(gòu)造圖形的方法給予證明.

（?。┊?dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD外部時(shí)，四邊形ABCD可能是“準(zhǔn)等腰梯形”.

如圖9，點(diǎn)P是圓E外一點(diǎn)，過點(diǎn)P做圓E的兩條切線PB，PC，點(diǎn)B，C為切點(diǎn)，作圓E的另一條切線AD交PB，PC于A，D兩點(diǎn)，點(diǎn)F是切點(diǎn)，且AD不平行于BC. 連接BC，由切線長定理知，PB = PC，所以∠ABC = ∠BCD，點(diǎn)E顯然應(yīng)在四邊形ABCD的外部. 連接BE，CE，F(xiàn)E，由切線的性質(zhì)定理，得BE⊥AB，CE⊥DC，EF⊥AD，且BE = CE = EF. 所以AE，DE分別是∠BAD和∠CDA的角平分線，點(diǎn)E在線段BC的中垂線上. 此時(shí)四邊形ABCD和點(diǎn)E滿足第三問的題設(shè)條件：點(diǎn)E在四邊形ABCD外部，AE，DE分別是∠BAD和∠CDA的角平分線，BE = CE.這里容易證明∠ABC = ∠BCD. 圖9既為當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD外部時(shí)，四邊形ABCD仍是“準(zhǔn)等腰梯形”.

（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD外部時(shí)，四邊形ABCD可能不是“準(zhǔn)等腰梯形”.

如圖10，在圓E外找一合適的點(diǎn)P，過點(diǎn)P做圓E的兩條切線PF，PG，點(diǎn)F，G為切點(diǎn)，且∠P = 45°，作圓E的另一條切線AD（控制∠PAD ≠ 90°）交PF，PG于點(diǎn)A，D，點(diǎn)H是切點(diǎn). 作BC⊥DG，使得點(diǎn)C在線段DG上，點(diǎn)C是垂足，交PF的延長線于點(diǎn)B，再過點(diǎn)C作CM⊥PA，點(diǎn)M是垂足，找到線段BC的中點(diǎn)N，連接MN，EN，由垂徑定理和等腰直角三角形的性質(zhì)，可知點(diǎn)M，N，E三點(diǎn)共線，此時(shí)點(diǎn)E顯然在四邊形ABCD的外部，且BE = EC. 連接GE，HE，F(xiàn)E，則GE⊥DC，HE⊥AD，EF⊥AB，且GE = HE = EF. 所以AE，DE分別是∠BAD和∠CDA的角平分線. 此時(shí)四邊形ABCD和點(diǎn)E滿足第三問中題設(shè)條件“在由不平行于BC的直線截△PBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD = ∠ADC的平分線交于點(diǎn)E， 且EB = EC”，但∠ABC = 45°，∠BCD = 90°，所以∠ABC ≠ ∠BCD，不符合“準(zhǔn)等腰梯形”的概念. 即此圖形說明當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD外部時(shí)，四邊形ABCD不是“準(zhǔn)等腰梯形”.

綜上，當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD外部時(shí)，四邊形ABCD不一定是“準(zhǔn)等腰梯形”.

俗話說：問題越辯越明. 以上是我對(duì)本題第（3）問第二個(gè)小問題的思考，拋磚引玉，歡迎各位同仁批評(píng)指正！

四、試題對(duì)今后數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

1. 教學(xué)過程中加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，只講解題方法，只重視題型訓(xùn)練是不夠的，要想以不變應(yīng)萬變，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，必須注意數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，例如解決本題的構(gòu)造法.

2. 落實(shí)過程性教學(xué)

一方面課堂教學(xué)中不能只滿足于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)結(jié)論的理解和記憶，一定要讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生過程，另一方面是重視平時(shí)課堂教學(xué)要穩(wěn)扎穩(wěn)打，不搞突擊訓(xùn)練.

3. 重視學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)

平時(shí)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生具體問題具體對(duì)待的思想，不生搬硬套題型，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)同一問題提出不同的看法，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力.

4. 重視手腦結(jié)合

隨著新課改的深入，對(duì)學(xué)生動(dòng)手操作能力要求越來越高. 這里需要指出的是不能為了動(dòng)手而動(dòng)手，為了操作而操作，僅僅只做表面功夫. 要指導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)手的同時(shí)動(dòng)腦，讓動(dòng)手操作與動(dòng)腦思考有機(jī)地結(jié)合起來.