孫月華

【摘要】函數(shù)性質(zhì)是高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，其中函數(shù)最值問題又是函數(shù)性質(zhì)的重中之重，在函數(shù)性質(zhì)中占有很重的分量，具有很強的綜合性和運用性，也是高考考查的重點.

【關(guān)鍵詞】高三函數(shù)性質(zhì)；相關(guān)問題；解法

求最值問題需要學(xué)生有全面的分析能力和靈活運用方法解決問題的能力，是高考數(shù)學(xué)中的熱點和難點.本文筆者通過多年的高三數(shù)學(xué)教學(xué)實踐活動，對于函數(shù)性質(zhì)相關(guān)問題中的最值問題的解法進行了總結(jié)和歸納，僅供參考.

一、利用數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)最值

數(shù)形結(jié)合法也是函數(shù)最值問題中比較常見的用法，舉例說明：

典例設(shè)函數(shù)f（x）=x2-2x+2，x∈[t，t+1]，t∈R，求函數(shù)f（x）的最小值.

思路分析本題中區(qū)間是變化的，從運動的觀點來看，讓區(qū)間從左向右沿x軸正方向移動，分析移動到不同位置時對最值有什么影響.借助圖形，可使問題的解決顯得直觀、清晰.

解析f（x）=x2-2x+2=（x-1）2+1，x∈[t，t+1]，t∈R，對稱軸為x=1.

當(dāng)t+1<1，即t<0時，函數(shù)圖像如圖 （1）所示，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上為減函數(shù)，所以最小值為f（t+1）=t2+1；

當(dāng)t≤1≤t+1，即0≤t≤1時，函數(shù)圖像如圖 （2）所示，最小值為f（1）=1；

當(dāng)t>1時，函數(shù)圖像如圖 （3）所示，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上為增函數(shù)，所以最小值為f（t）=t2-2t+2.

二、利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值

用導(dǎo)數(shù)法求給定區(qū)間上函數(shù)的最值問題一般可用以下幾步答題：a.求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）；b.求f（x）在給定區(qū)間上的單調(diào)性和極值；c.求f（x）在給定區(qū)間上的端點值；d.將f（x）的各極值與f（x）的端點值進行比較，確定f（x）的最大值與最小值.

典例已知函數(shù)f（x）=ln x-ax （a∈R）.（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)a>0時，求函數(shù)f（x）在＼[1，2＼]上的最小值.

思路分析（1）已知函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間，實質(zhì)上是求f′（x）>0，f′（x）<0的解區(qū)間，并注意定義域.（2）先研究f（x）在＼[1，2＼]上的單調(diào)性，再確定最值是端點值還是極值.（3）由于解析式中含有參數(shù)a，要對參數(shù)a進行分類討論.

解f′（x）=1[]x-a （x>0），

①當(dāng)a≤0時，f′（x）=1[]x-a>0，即函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）.

②當(dāng)a>0時，令f′（x）=1[]x-a=0，可得x=1[]a，

當(dāng)00；

當(dāng)x>1[]a時，f′（x）=1-ax[]x<0，

故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為0，1[]a，

單調(diào)遞減區(qū)間為1[]a+∞.

（2）①當(dāng)1[]a≤1，即a≥1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間＼[1，2＼]上是減函數(shù)，所以f（x）的最小值是f（2）=ln 2-2a.

②當(dāng)1[]a≥2，即0

③當(dāng)1<1[]a<2，即1[]2

又f（2）-f（1）=ln 2-a，所以當(dāng)1[]2

當(dāng)ln 2≤a<1時，最小值為f（2）=ln 2-2a.

綜上可知，當(dāng)0

當(dāng)a≥ln 2時，函數(shù)f（x）的最小值是ln 2-2a.

結(jié)語高三函數(shù)性質(zhì)一直是高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點和難點，是高考中比較偏愛的考查對象.在平時的教學(xué)實踐過程中，要不斷地鉆研和學(xué)習(xí)，提高自身的教學(xué)綜合素質(zhì)，從而能夠根據(jù)高三函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的學(xué)習(xí)情況合理地安排教學(xué)內(nèi)容.

【參考文獻】

＼[1＼]田玉梅.例談函數(shù)最值問題的解法＼[J＼].試題與研究：新課程論壇，2012（10）：33-34.

＼[2＼]莊中文，張麗莎.中學(xué)函數(shù)最值問題的學(xué)習(xí)情況與教學(xué)探析——以某縣中學(xué)高三（1）班為例.教育教學(xué)論壇，2011（18）：25-27.