曹西林

【摘要】級(jí)數(shù)是進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的重要工具.調(diào)和級(jí)數(shù)就是一種重要的級(jí)數(shù)，在考察正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性時(shí)，我們常將調(diào)和級(jí)數(shù)作為被比較的對(duì)象，判斷所求正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.筆者從事高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)多年，總結(jié)出適合高職高專學(xué)生掌握和應(yīng)用的幾種簡單證法.

【關(guān)鍵詞】調(diào)和級(jí)數(shù)；部分和；收斂；發(fā)散

項(xiàng)目名稱：職業(yè)院校高等數(shù)學(xué)課程改革的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)與評(píng)價(jià)研究，項(xiàng)目編號(hào)：（XTZY14J14）

調(diào)和級(jí)數(shù)∑∞n=11n的發(fā)散性最早是由法國學(xué)者尼古拉·奧雷姆給出了證明.后來，大數(shù)學(xué)家約翰·伯努利也作出了經(jīng)典的證明.而今，隨著級(jí)數(shù)理論的不斷完善，調(diào)和級(jí)數(shù)斂散性的證法有許多種.本文根據(jù)高職高專學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備和理解能力，給出了調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性的幾種證明方法.

一、 幾何證法

調(diào)和級(jí)數(shù)∑∞n=11n的部分和Sn=1+12+13+…+1n，作函數(shù)y=1x的圖像，構(gòu)造n個(gè)矩形（如下圖）.

由圖可知，Sn就是n個(gè)小矩形的面積之和，且面積之和大于所圍成的曲邊梯形的面積S曲，由定積分的幾何意義可得：

Sn>S曲=∫n+111xdx=lnxn+11=ln（n+1）.

因?yàn)楫?dāng)n→∞時(shí)，ln（1+n）→∞，所以limn→∞Sn=∞.所以，調(diào)和級(jí)數(shù)∑∞n=11n是發(fā)散的.

二、 反證法

假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)∑∞n=11n收斂，且 limn→∞Sn=s.

顯然有l(wèi)imn→∞S2n=s，limn→∞（S2n-Sn）=s-s=0.

而S2n-Sn=1n+1+1n+2+…+12n>12n+12n+…+12n=12.

故與 limn→∞（S2n-Sn）=12≠0矛盾.

所以調(diào)和級(jí)數(shù)∑∞n=11n發(fā)散.

三、比較判別法

1.利用不等式x>ln（1+x）

由上不等式可知，∑∞n=11n=1+12+…+1n+…的各項(xiàng)均大于下面級(jí)數(shù)的對(duì)應(yīng)項(xiàng).

ln（1+1）+ln1+12+…+ln1+1n+…（1）

而（1）式的部分和為：

Sn=ln（1+1）+ln1+12+…+ln1+1n=ln2+ln32+…+lnn+1n=ln2×32×…×n+1n=ln（n+1）.

因?yàn)?limn→∞Sn=limn→∞ln（n+1）→+∞，

故調(diào)和級(jí)數(shù)∑∞n=11n發(fā)散.

2.利用放縮的方法