朱兵

【摘要】 近年來(lái)有關(guān)規(guī)律探索型題目在初中數(shù)學(xué)中考試題中頻繁出現(xiàn)，這類(lèi)題目要求學(xué)生學(xué)會(huì)觀察，懂得分析，善于歸納、總結(jié)，不僅有利于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法的鞏固和掌握，也有利于學(xué)生思維能力的提高和自主探索、創(chuàng)新精神的培養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 規(guī)律型；初中數(shù)學(xué)；探索型；解決；歸納；總結(jié)

近年來(lái)，探索規(guī)律型的題目成為數(shù)學(xué)中考的一個(gè)熱點(diǎn)，目的是考查學(xué)生觀察分析及探索的能力. 題目分為題設(shè)和結(jié)論兩部分，通常題設(shè)部分給出一些數(shù)量關(guān)系或圖形變換關(guān)系，通過(guò)觀察分析，要求學(xué)生找出這些關(guān)系中存在的規(guī)律. 這種數(shù)學(xué)題目本身存在一種數(shù)學(xué)探索的思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想從特殊到一般的發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是中考的一個(gè)難點(diǎn)，越來(lái)越引起考生重視. 本文就這類(lèi)題目加以歸類(lèi)解析.

一、數(shù)字規(guī)律探索型

此類(lèi)問(wèn)題一般是有規(guī)律地呈現(xiàn)一組數(shù)字，為便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，?？蓪⒚總€(gè)數(shù)字化為有規(guī)律的等式，并通過(guò)豎排易于用代數(shù)式、方程、函數(shù)、不等式等數(shù)學(xué)模型表示事物的數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律的過(guò)程.

例1 觀察一列數(shù)3，8，13，18，23，28，…，依此規(guī)律，在此數(shù)列中比2000大的最小整數(shù)是 _____ .

分析 觀察數(shù)列，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：后一個(gè)數(shù)比前一個(gè)數(shù)大5，故3 = 3 + 5 × 0；8 = 3 + 5 × 1；13 = 3 + 5 × 2，18 = 3 + 5 × 3， …，第n個(gè)數(shù)為3 + 5（n - 1） = 5n - 2，所以5n - 2 > 2000，解得n > 400.4，則答案為5 × 401 - 2 = 2003.

二、數(shù)式型規(guī)律探索型

此類(lèi)問(wèn)題一般是給定一些代數(shù)式、等式或不等式，猜想其中蘊(yùn)含的規(guī)律，一般解法是先寫(xiě)出代數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過(guò)橫比（比較同一等式中不同的數(shù)量關(guān)系）或縱比（不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系），找出部分特征，寫(xiě)出符合條件的等式.

例2 觀察下列各式：2 × 4 = 32 - 1，3 × 5 = 42 - 1，4 × 6 = 52 - 1，…，10 × 12 = 112 - 1，…，用關(guān)于n的等式表示這個(gè)規(guī)律： _____ .

解析 觀察等式，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：等式左邊是兩個(gè)連續(xù)偶（或奇）數(shù)的積，右邊是夾在這兩個(gè)連續(xù)偶（或奇）數(shù)中間的奇（或偶）數(shù)的平方與1的差.故n（n + 2） = （n + 1）2 - 1（n 為大于等于 2的正整數(shù)）.

三、幾何變換規(guī)律探索型

此類(lèi)問(wèn)題一般是有規(guī)律地呈現(xiàn)一組圖形，讓學(xué)生首先觀察圖形，從中發(fā)現(xiàn)圖形的變化方式，再將圖形的變化以數(shù)或式的形式反映出來(lái)，從而得出圖形與數(shù)式的對(duì)應(yīng)關(guān)系，總結(jié)出圖形的變化規(guī)律，進(jìn)而解決相關(guān)問(wèn)題.

例3 已知△ABC的面積為1，連接這個(gè)三角形各邊中點(diǎn)得到一個(gè)小三角形的面積為，又連接這個(gè)小三角形各邊中點(diǎn)得到一個(gè)更小的三角形的面積為，……如此繼續(xù)下去，到第n次這樣作出的三角形的面積為 _____ .

解析 利用相似三角形的性質(zhì)，面積比等于相似比的平方，那么每次分出的小三角形和前一個(gè)三角形的相似比為，到第n次這樣作出的三角形和原三角形（面積為1）的相似比為n，因此它的面積為n2 = n.

四、循環(huán)排列規(guī)律探索型

此類(lèi)問(wèn)題一般是將數(shù)字循環(huán)排列起來(lái)，其中隱含著一定的規(guī)律. 規(guī)律的挖掘和表征是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

例4 如圖1，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-3，0），B（0，4），對(duì)△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次得到△1，△2，△3，△4，…，則△2013的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)____ .

解析 此題是對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律的考查了，難度不大，仔細(xì)觀察圖形，得到每三個(gè)三角形為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵，也是求解的難點(diǎn). 根據(jù)勾股定理列式求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)第四個(gè)三角形與第一個(gè)三角形的位置相同可知每三個(gè)三角形為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，然后求出一個(gè)循環(huán)組旋轉(zhuǎn)前進(jìn)的長(zhǎng)度，再用2013除以3，根據(jù)商為671可知第2013個(gè)三角形的直角頂點(diǎn)為循環(huán)組的最后一個(gè)三角形的頂點(diǎn)（8052，0）.

五、數(shù)形結(jié)合規(guī)律探索型

此類(lèi)問(wèn)題一般是以呈一定規(guī)律發(fā)展的圖形為載體，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)猜想其數(shù)量上的變化規(guī)律，再由這種規(guī)律確定問(wèn)題答案. 解決此類(lèi)問(wèn)題需要把圖形中有關(guān)數(shù)量的變化規(guī)律“數(shù)學(xué)化”地準(zhǔn)確表達(dá)出來(lái)，再推到計(jì)算.

例5 在圖2中，每個(gè)圖案均由邊長(zhǎng)為1的小正方形按一定的規(guī)律堆疊而成，照此規(guī)律，第10個(gè)圖案中共有 _____ 個(gè)小正方形.

解析 觀察圖案不難發(fā)現(xiàn)，圖案中的正方形按照從上到下成奇數(shù)列排布，寫(xiě)出第n個(gè)圖案的正方形的個(gè)數(shù)，然后利用求和公式寫(xiě)出表達(dá)式，再把n = 10代入進(jìn)行計(jì)算即可得解. 如第1個(gè)圖案中共有1個(gè)小正方形，第2個(gè)圖案中共有1 + 3 = 4（個(gè)）小正方形，第3個(gè)圖案中共有1 + 3 + 5 = 9（個(gè)）小正方形……第n個(gè)圖案中共有1 + 3 + 5 + … + （2n - 1） = = n2（個(gè)）小正方形，所以，第10個(gè)圖案中共有102 = 100（個(gè)）小正方形.

從上述求解過(guò)程中不難發(fā)現(xiàn)，規(guī)律探索型問(wèn)題中，一般隱含著某種規(guī)律或數(shù)學(xué)關(guān)系，解決此類(lèi)問(wèn)題，需要運(yùn)用歸納、猜想、合情推理等思維方法. 因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該注意培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)關(guān)系和揭示的能力，這也是數(shù)學(xué)思維能力的重要組成部分.