丁亮 楊星光

【摘要】函數(shù)是整個數(shù)學(xué)的一個重要分支，集合又是函數(shù)的基礎(chǔ)，所以理解好集合非常重要。經(jīng)過反復(fù)討論后，筆者們結(jié)合多年教學(xué)實踐，對高中數(shù)學(xué)里集合【1】的教法提出了三點新的想法，與同仁切磋探討，旨在拋磚引玉。

【關(guān)鍵詞】集合 新想法 問題 正整數(shù)集 空集

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）03-0160-01

被譽為數(shù)學(xué)之王的中國杰出數(shù)學(xué)家、教育家蘇步青曾說： 數(shù)學(xué)學(xué)得好壞，不僅關(guān)系著今天能不能學(xué)好其他學(xué)科如物理、化學(xué)等，而且，更重要的是關(guān)系著畢業(yè)后能不能解決生產(chǎn)實踐中遇到的實際問題，也關(guān)系著今后在攀登科學(xué)高峰的道路上能不能接近和趕上世界先進(jìn)水平【2】。數(shù)學(xué)的重要性，由此可見一斑。在數(shù)學(xué)這個龐大的體系中，函數(shù)卻又是一個非常重要的分支，更重要的是函數(shù)的思想貫穿了整個中學(xué)、大學(xué)，具有極其廣泛的應(yīng)用價值。而函數(shù)是建立在集合的基礎(chǔ)之上的，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的很多研究也是基于集合的角度，不僅如此，專門研究集合的理論—集合論，已被公認(rèn)為全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。所以理解好、掌握好集合非常重要。筆者們反復(fù)討論后，結(jié)合多年教學(xué)實踐，談?wù)勅绾谓毯眉稀?】這個內(nèi)容的三點新想法，供同仁參考。

1.換一種思路引入集合這個概念，啟發(fā)學(xué)生去思考

當(dāng)代美國著名數(shù)學(xué)家哈爾斯說過：問題是數(shù)學(xué)的心臟，沒有問題的存在，就沒有數(shù)學(xué)活動的開始，有了問題，思維才能有方向。我們都知道，小學(xué)的學(xué)習(xí)告訴我們，一個數(shù)與另一個數(shù)有關(guān)系，比如3>2，3<4，3.2>2.1，3=3，6>4等等，即有大小關(guān)系。那么教師此時可以問學(xué)生一個很自然的問題，如果一個數(shù)與多個數(shù)有沒有關(guān)系呢？比如，一個數(shù)是3，多個數(shù)是1，3，5。如果有，那有什么關(guān)系呢，還能繼續(xù)用大小關(guān)系來刻畫一個數(shù)與多個數(shù)之間的關(guān)系嗎？此時，大家會發(fā)現(xiàn)，3>1，但是3=3，3<5，也就是說3一會兒比這多個數(shù)里面的數(shù)大，一會兒與這多個數(shù)里面的數(shù)相等，一會兒又比這多個數(shù)里面的數(shù)小，大小關(guān)系不固定，所以用大小關(guān)系來刻畫一個數(shù)與多個數(shù)的關(guān)系已經(jīng)不行了。那么，既然已經(jīng)不能用大小來表示一個數(shù)與多個數(shù)的關(guān)系了，那還有沒有其他關(guān)系呢？如果有，那用什么來刻畫它們之間的關(guān)系呢？

我們經(jīng)過觀察，不難發(fā)現(xiàn)例子中，一個數(shù)的3在多個數(shù)里面。所以，我們可以把后面的三個數(shù)看成一個集體，而例子中，一個數(shù)的3就屬于多個數(shù)的集體1，3，5。用這種思想，我們可以繼續(xù)給學(xué)生舉例子了，比如，一個數(shù)是2，多個數(shù)是2，3。類似地，我們可以把多個數(shù)2，3看成一個集體，2就屬于這個多個數(shù)組成的集體。這樣，我們就不知不覺引入了集合這個概念的實質(zhì)。接著，給學(xué)生再舉一個例子，比如一個數(shù)是2，集體是2，a，3。此時，2仍然出現(xiàn)在這個集體中，所以，類似地，我們依然可以很自然地說2屬于2，a，3這個新集體。當(dāng)然由于1不在2，a，3這個集體中，所以1理所當(dāng)然地不屬于2，a，3這個集體。課前引入部分就輕松完成了，接著，告訴學(xué)生，剛才集體這個名字，就是課本上的集合，讓學(xué)生自己結(jié)合剛才我們的幾個例子，對照一下課本上面的元素，集合，屬于，不屬于的概念，很輕松就懂集合了。

為了增加學(xué)生預(yù)習(xí)新課的主動性，也為了體現(xiàn)知識點之間的聯(lián)系，同時為了讓我們的教學(xué)具有很好的連貫性，當(dāng)我們把“集合的表示與含義【1】”這個內(nèi)容上完之后，我們不會強迫學(xué)生回去預(yù)習(xí)，而是會讓大家回想一下，剛上課時，我們說了一個數(shù)和一個數(shù)有關(guān)系，即大小關(guān)系；這一節(jié)課學(xué)得其實就是一個數(shù)與多個數(shù)的關(guān)系，那么我們自然會提醒同學(xué)們想一想，多個數(shù)與多個數(shù)有什么關(guān)系，怎么刻畫這種關(guān)系呢？還能用屬于來刻畫嗎？比如，1，2與1，3，4這個例子。分析：1屬于1，3，4，但是2不屬于1，3，4。怎么辦呢？其實這就是下次課要解決的問題。這樣，學(xué)生就會明白我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)新的數(shù)學(xué)知識，同時也會帶著趣味性去思考下一節(jié)的內(nèi)容。

2.不要迷信權(quán)威，盡量減少學(xué)生記憶負(fù)擔(dān)，教師多問問學(xué)生為什么

教材【1】中第三頁有：數(shù)學(xué)中一些常用的數(shù)集及其記法，可是我們仔細(xì)觀察一下，會發(fā)現(xiàn)，第一個介紹的是自然數(shù)集，用N表示，其實就是0，1，2，3，4…。第二個又出來一個概念：所有正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集，記作N+，很多初學(xué)者還要花時間記憶N+就是代表正整數(shù)集。教師可以問一下同學(xué)，為什么用N+代表所有正整數(shù)組成的集合，即正整數(shù)集呢？激發(fā)學(xué)生思考。其實，仔細(xì)觀察一下，會發(fā)現(xiàn)：N+這個表示由兩部分組成，一部分是字母N，另一部分是“+”，“正”的意思，既然學(xué)生記住了N代表自然數(shù)集，兩部分合起來意思就是正的自然數(shù)，當(dāng)然0不在其中了，只能是1，2，3，4…。這不正好是正整數(shù)組成的集合嗎？這樣，我們就可以讓學(xué)生不用去死記N+就是代表正整數(shù)集，輕松領(lǐng)會N+的本質(zhì)意思，而且學(xué)生還知道了為什么教材上N+代表所有正整數(shù)組成的集合。

3.對空集符號“？覬”的新理解

大家都知道{0，2，6}是一個集合，0是這個集合中的一個元素。我們仔細(xì)觀察“空集”這兩個字，發(fā)現(xiàn)它由兩部分組成，一部分是一個“空”字，另一部分是一個“集”字，在上面的第三方面，已經(jīng)說了，“集”字代表空集首先是一個集合，這只是對空集的一半“集”的理解?！翱铡?，意思是空的，什么都沒有，說明這個集合里面什么都沒有，連0都沒有，所以在0上加一斜線，表示去掉0，空集連0這個元素都沒有。

中國科學(xué)院院士、第三世界科學(xué)院院士、法國科學(xué)院外籍院士李大潛說：數(shù)學(xué)蘊含并造就了廣泛的應(yīng)用空間，但對普通人來說，它的抽象形式會使它變成不可捉摸的東西，繼而產(chǎn)生理解上的障礙【3】。筆者們通過這篇文章談了“集合”教法三點新想法，希望能盡量減輕初學(xué)者理解上的障礙。

參考文獻(xiàn)：

【1】劉紹學(xué). 高中數(shù)學(xué)必修1[M]. 第2版.北京：人民教育出版社，2007年1月。

【2】蘇步青. 談?wù)勗鯓訉W(xué)好數(shù)學(xué)[M]. 第1版.上海：上海教育出版社，1989年6月。

【3】李大潛. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是提高素質(zhì)[N]. 中國青年報，2012年7月16日（12版）。