楊麗霞

波利亞主張數(shù)學(xué)教育主要目的之一是發(fā)展學(xué)生的解決問題的能力，教會學(xué)生思考。1944年在美國出版了《怎樣解題》（How to solve it），其中“怎樣解題”表總結(jié)了人類解決數(shù)學(xué)問題的一般規(guī)律和程序，對數(shù)學(xué)解題研究有著深遠(yuǎn)影響。解題方法數(shù)學(xué)問題規(guī)律程序波利亞曾經(jīng)教過中學(xué)，長期從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作。在漫長的歲月中，他的精湛的教學(xué)藝術(shù)與杰出的數(shù)學(xué)研究相結(jié)合，產(chǎn)生了他特有的豐富的數(shù)學(xué)教育思想。波利亞數(shù)學(xué)教育思想有兩個基點：其一是關(guān)于對數(shù)學(xué)科學(xué)的認(rèn)識，其二是關(guān)于對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識。其中他的《怎樣解題》產(chǎn)生深刻影響。

一、怎樣解題

1.理解題目

未知量是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知量，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？畫張圖，引入適當(dāng)?shù)姆?。把條件的各個部分分開，能否把它們寫下來？

2.找出已知數(shù)與求知數(shù)之間的聯(lián)系

如果找不出直接的聯(lián)系，可能不得不考慮輔助問題，應(yīng)最終得出一個求解的計劃。

擬訂計劃：你以前見過它嗎？是否見過相同的問題而形式稍有不同？是否知道與此有關(guān)的問題？是否知道一個可能用得上的定理？觀察未知量。試想出一個具有相同未知量或相似未知量的熟悉的問題。能應(yīng)用它嗎？能不能利用它？能利用它的結(jié)果嗎？為了能利用它，是否應(yīng)引入某些輔助元素？能不能重新敘述這個問題？能不能用不同的方法重新敘述它？回到定義去。

如果不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關(guān)的問題。能不能想出一個更容易著手的有關(guān)問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對于未知能確定到什么程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西？

3.執(zhí)行方案

執(zhí)行解題方案，檢驗每一步驟。能否清楚地看出這一步是正確的？你能否證明這一步是正確的？

4.檢查已經(jīng)得到的解答

回顧：能否檢驗這個結(jié)果？你能否用別的方法導(dǎo)出這個結(jié)果？你能不能把這結(jié)果或方法用于其他的問題？

二、例子

例題：已知長方體的長、寬和高，求它的對角線長度。

第一步：理解題目。

教師和學(xué)生之間的對話可以像下面這樣開始：

“未知量是什么？”“這個長方體的對角線的長度?！?/p>

“已知數(shù)據(jù)是什么？”“此長方體的長、寬和高?！?/p>

“引入適當(dāng)?shù)姆?。用哪個字母表示未知量？”“x?！?/p>

“你選哪些字母來表示長、寬和高？”“a，b，c。”

“聯(lián)系a、b、c與x的條件是什么？”“x是長為a、寬為b和高為c的長方體的對角線長度?！?/p>

“這是一個合理的題目嗎？我的意思是，條件是否足以確定未知量？”“是的。如果我們已知a、b、c，我們就知道了長方體，如果長方體被確定，其對角線也就被確定了。”

第二步：擬定方案。

“你們知道一道與它有關(guān)的題目嗎？”“觀察未知量。你們是否知道有哪一道題目和這一道題目有相同的未知量？”“那么，未知量是什么？”“長方體的對角線?！薄澳銈冎烙惺裁搭}目和這一題目有相同的未知量嗎？”“不知道，我們從來沒碰到過關(guān)于長方體的對角線的題目?！薄澳銈冎烙惺裁搭}目和這一題目有相似的未知量嗎？”“你們看，對角線是一條線段，是一條直線的一部分。難道你們從未做過未知量是一條線段長度的題目嗎？”“我們當(dāng)然做過這樣的題目。比如說求一個直角三角形的一條邊。”“很好。這里有一道題目和你們的題目有關(guān)而且以前解過。你們能利用它嗎？”“非常幸運的是，你們能想起一道與你們現(xiàn)在要解的題目有關(guān)，并且你們以前曾經(jīng)解答過的題目。你們想要在這里應(yīng)用它嗎？”“往這兒看，你們所記得的題目是關(guān)于一個三角形的。在你們現(xiàn)在的圖形里有沒有三角形呢？”引入一個直角三角形，圖中用陰影強(qiáng)調(diào)指出。

“我認(rèn)為在圖中把那個三角形畫出來是一個很好的主意。你們現(xiàn)在有了一個三角形，但是你們有沒有找到未知量呢？”“未知量就是這個三角形的斜邊，我們可以用勾股定理把它計算出來?！?/p>

“如果兩條直角邊都是已知的，你們是會計算的，但是它們是否已知呢？”“其中一條直角邊是給定的，就是c。至于另外一條，我想也不難求出。對了，這條直角邊又是另一個直角三角形的斜邊?！薄疤袅耍‖F(xiàn)在我知道你們已經(jīng)有了一個方案了?！?/p>

第三步：執(zhí)行方案。

學(xué)生有了解題思路。他發(fā)現(xiàn)了一個直角三角形，這個直角三角形的斜邊就是要求的未知量x，它的一條直角邊是已知的高度c，另一條邊是長方體一個面上的對角線。也許必須激勵學(xué)生引入其他合適的符號。他應(yīng)引入y來標(biāo)記另一條直角邊，也就是長方體一個面上的對角線，這個面的兩條邊長分別為a和b。這樣，在引入了另一個求未知量y的輔助題目后，他解題的思路就更清晰了。最后，在先后對兩個直角三角形分別進(jìn)行計算后，他可以得到：

第四步：回顧。

你能檢驗這個結(jié)果嗎？“你用到所有的已知數(shù)據(jù)了嗎？”“所有三個已知量a、b、c都在你的對角線公式中出現(xiàn)了嗎？”“假如a、b、c互換，表達(dá)式時候保持不變？”

三、對《怎樣解題》的評價

正如著名數(shù)學(xué)家范·德·瓦爾所說：“每個大學(xué)生，每個學(xué)者，特別是每個老師都應(yīng)該讀讀這本引人入勝的書?！?/p>

參考文獻(xiàn)：

[1]百度百科.

[2]維基百科.

[3]G·波利亞著.涂泓，馮承天譯.怎樣解題.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2011.

[4]張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論.北京：高等教育出版社，2004.