王濤

摘 要：訂正作業(yè)和測(cè)試中的錯(cuò)誤是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)突出現(xiàn)象。針對(duì)錯(cuò)解，老師講得很詳細(xì)，效果卻不一定好。分析了學(xué)生錯(cuò)解產(chǎn)生的主要原因，針對(duì)這些錯(cuò)因，提出改進(jìn)教學(xué)的一些策略。

關(guān)鍵詞：學(xué)生錯(cuò)解；成因分析；教學(xué)策略

一、問(wèn)題的提出

訂正作業(yè)和測(cè)試中的錯(cuò)誤是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)突出現(xiàn)象。針對(duì)錯(cuò)解，老師講得很詳細(xì)，效果卻不一定好。究其原因，學(xué)生表面上懂了，實(shí)質(zhì)上沒(méi)有真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)含義。那么，我們?cè)撊绾巫叱黾m錯(cuò)教學(xué)的困境呢？

二、學(xué)生錯(cuò)解的主要成因

1.概念理解模糊

例1.已知數(shù)列{log2（an-1）}（n∈N+）為等比數(shù)列，且a1=3，a3=9.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）證明：Tn= + +…+ <1

此題涉及的數(shù)列、對(duì)數(shù)和不等式知識(shí)均為高中數(shù)學(xué)教材中的基本內(nèi)容，但許多學(xué)生對(duì)這些基本概念理解模糊，以至于出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：

（1）{Tn}是等比數(shù)列；

（2）a1=log2（a1-1），a3=log2（a3-1）；

（3）Tn< + +…+ <1

這些錯(cuò)誤實(shí)質(zhì)上是將學(xué)過(guò)的方法錯(cuò)誤地?cái)U(kuò)展到新概念中所造成的，表現(xiàn)為學(xué)生對(duì)基本數(shù)學(xué)概念的混淆，如，數(shù)列的整體關(guān)系與局部指標(biāo)的混淆，一般特征與特征值的混淆以及代數(shù)式恒等變形與不等式運(yùn)算的混淆。

2.審題不清，考慮不全

一方面，審題是“快、準(zhǔn)、活”解題的基礎(chǔ)和前提；另一方面，閱讀，理解能力是數(shù)學(xué)能力的重要部分。有的學(xué)生對(duì)審題重視不夠，匆匆一看，急于下筆，以致題目的條件與要求都沒(méi)有吃透，這樣解題出錯(cuò)自然多。

例2.求過(guò)點(diǎn)P（3，2），且與圓（x-4）2+（y-1）2=1相切的直線方程。

誤解：設(shè)所求切線方程為y-2=k（x-3），即kx-y+2-3k=0，則圓心（4，1）到此切線的距離等于半徑1，所以 =1，（k+1）2=k2+1，故所求的切線方程為y=2。

檢驗(yàn)：作出圖形，可以看出過(guò)一點(diǎn)作圓的切線應(yīng)該是兩條。為什么上面的解法只求出一條？原因是另一條是x=3，其斜率不存在。上面做法先設(shè)直線的斜率存在，沒(méi)考慮到斜率不存在的情形，第一步就把直線x=3排除了。正確的答案是：y=2或x=3。

3.轉(zhuǎn)化能力不強(qiáng)

例3.在學(xué)習(xí)了“隔板法”后，我給學(xué)生出了這樣一題：（1）將十個(gè)不同的小球放入三個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子至少一個(gè)球，共有多少種不同的放法？（2）將十個(gè)相同的小球放入編號(hào)1、2、3的三個(gè)盒子里，每個(gè)盒子的球數(shù)不少于它的編號(hào)數(shù)，共有多少種不同的放法？

題（1）學(xué)生會(huì)用“隔板法”處理，但對(duì)題（2）就不會(huì)用“隔板法”處理了。“隔板法”是適用于一類特殊模型的解題技巧，它的前提是元素相同，每個(gè)位置至少放一個(gè)元素，具體操作時(shí)，先固定位置，當(dāng)將隔板插入后，分成的部分就與位置構(gòu)成了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。若元素各不相同，就不存在這種對(duì)應(yīng)。第（2）小題要求盒子的球數(shù)不少于它的編號(hào)數(shù)，學(xué)生一下無(wú)從下手，覺得“隔板法”不能用了。其實(shí)，只要在2號(hào)、3號(hào)盒子先放好一個(gè)、二個(gè)球，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為“將7個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子里，每個(gè)盒子至少放一球，共有多少種不同的放法？”

對(duì)于題（2）學(xué)生無(wú)法在問(wèn)題情境中去辨認(rèn)，從而導(dǎo)致解題思路僵化，不能對(duì)問(wèn)題進(jìn)行多角度理解。

三、針對(duì)學(xué)生錯(cuò)解實(shí)施有效教學(xué)策略

1.強(qiáng)化理解性學(xué)習(xí)，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)

真正有意義的學(xué)習(xí)不是簡(jiǎn)單的表面化的模仿，而是對(duì)知識(shí)發(fā)生過(guò)程、數(shù)學(xué)本質(zhì)的深刻理解。

例4.2004年上海高考數(shù)學(xué)試卷有一道填空題：教材中“坐標(biāo)平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是__________。

這是一道不需要“解”而需要“理解”的新型考題，主要考查學(xué)生對(duì)解析幾何這門學(xué)科的本質(zhì)和基本數(shù)學(xué)思想方法的理解。因此，教師要用數(shù)學(xué)的本質(zhì)意義，去聯(lián)結(jié)認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建認(rèn)知系統(tǒng)，才能促進(jìn)理解，從而影響學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信念。

2.重視思想方法的滲透，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化化歸的能力

高中數(shù)學(xué)涉及的四種主要思想方法，即“函數(shù)與方程”“數(shù)形結(jié)合”“分類討論”“等價(jià)轉(zhuǎn)化”，注意提煉。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，只有運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，才能把數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

例5.已知t為常數(shù)，函數(shù)y=x2-2x-t在區(qū)間[0，3]上的最大值為2，則t=__________。

在講評(píng)時(shí)，先讓學(xué)生解：已知t為常數(shù)，函數(shù)y=x-t在區(qū)間 [-1，3]上的最大值為2，則t=__________。

學(xué)生稍加思索，即得出t=2。這時(shí)教師也不用多言語(yǔ)，在x2-2x下畫一條橫線，寫上x，學(xué)生很快就能領(lǐng)悟。但此時(shí)的學(xué)生還只是停留在換元法上。在此基礎(chǔ)上，教師再引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)絕對(duì)值的概念背景，提煉思想方法。

3.利用變式教學(xué)，提升學(xué)生反思能力

教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)課本例題、習(xí)題進(jìn)行組合、加工和發(fā)展，通過(guò)改變?cè)O(shè)問(wèn)方式，增加或減少變動(dòng)因素和必要的引申、推廣來(lái)擴(kuò)大題目的訓(xùn)練功能，拓展思維空間，提高思維層次。

例6.O為△ABC所在平面上一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足 = +

λ （λ∈R），則隨著λ的變化，點(diǎn)P必經(jīng)過(guò)△ABC的__________心。

更改命題條件的表達(dá)式的結(jié)構(gòu)形式，構(gòu)建變式：將“ = +λ （λ∈R）”

分別變式1： = +λ（ + ）（λ∈R）；

變式2： = +λ （λ∈R）；

變式3：設(shè)G是△ABC的重心，且 =x +y ，求x、y的值；

變式4：設(shè)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求證： = + ，其中S△ABC表示△ABC的面積。

通過(guò)這種講評(píng)方式，學(xué)生在更廣闊的天地認(rèn)識(shí)了這類題型，

促進(jìn)了原有的思維空間，并使其不斷完善和發(fā)展。

傳統(tǒng)的用正確答案替換學(xué)生頭腦中錯(cuò)誤觀念的教法受到置疑，多種形式的糾錯(cuò)教學(xué)已呼之欲出。這就要求教師從更高的觀點(diǎn)去指導(dǎo)學(xué)生把評(píng)議引向深處，以提高學(xué)生的“元認(rèn)知”能力，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)給人帶來(lái)的成功愉悅感。

參考文獻(xiàn)：

陳柏良.三談數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的藝術(shù)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2008（10）.

（作者單位 浙江省麗水市松陽(yáng)縣第一中學(xué)）

編輯 張珍珍