楊程錦

[摘 要] 實踐是檢驗真理的唯一標準，培養(yǎng)學生在學習數(shù)學過程中的不斷反思是教與學環(huán)節(jié)中一個重要組成部分；是教師關(guān)注學生，關(guān)注自身教學的一種途徑；更是學生提高效率，培養(yǎng)能力，促使可持續(xù)發(fā)展的行之有效的必由之路.

[關(guān)鍵詞] 反思；途徑；可持續(xù)發(fā)展

《義務(wù)教育教學課程標準》（2011版）明確指出：通過義務(wù)教育階段的數(shù)學學習，學生能夠獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗. 而基本活動經(jīng)驗是新課程標準的一個亮點，它對教學過程提出了更高的要求，它包括教師教學經(jīng)驗和學生學習過程中的活動經(jīng)驗（包括預(yù)習、聽課、課上課下練習及單元練習與反思）.

我從語文老師常用的布置學生寫日記或周記的要求中得到啟發(fā)，也嘗試在幾何初始教學過程中讓學生寫周記，以此來梳理教學過程中的得失. 以下是幾個學生在某一個階段的學習反思周記，讓我們共享.

■ 基本圖形的演變

在三角形的學習過程中，有兩個基本圖形（圖1和圖2），我認為非常重要， 一般簡稱為8字圖與蝴蝶圖. 它們是解決復(fù)雜圖形（或稱為難題）的源泉.

案例1 如圖3所示，AD，BC相交于點Q，DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，DM，BM相交于點M. 求證：∠A+∠C=2∠M.

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反思 在此題的證明過程中，兩個基本圖形都可以用于證明結(jié)論. 它說明了復(fù)雜圖形是可以拆解成我們已經(jīng)認識或解決了的問題，以此進一步探討未知結(jié)論.

拓展 如圖4所示，AD與BC相交于點Q，點E在CD的延長線上，∠ADE的平分線和∠ABC的平分線交于點N，若∠DCB=24°，∠DAB=42°，求∠DNB的度數(shù).

解題反思 把這個圖與案例1比較后發(fā)現(xiàn)，區(qū)別是多了一個外角平分線而少了一個內(nèi)角平分線（相對于△CDQ而言），所以繼續(xù)構(gòu)建基本圖形，即過點D作∠CDA的平分線，與BN的延長線交于點M，從而還原了基本圖形且得解：∠DNB=■+90°=123°.

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■ 一個圖形的結(jié)論變化

幾何是圖形與題設(shè)、結(jié)論三者相互交融的過程，呈現(xiàn)出了美妙與和諧，它是一門讓人們神往而又畏懼的科學. 我對老師分析一道題后的一句話感到特別興奮.

案例2 如圖5所示，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE，DF分別是∠ABC，∠ADC的平分線. 求證：（1）BE∥DF（分析過程略）. 老師說此題中有三個條件（將∠A=∠C=90°看成是一個條件）與一個結(jié)論. 用出現(xiàn)的三個條件與一個結(jié)論重新組合成為四個命題，這些命題一定成立嗎？我嘗試了一下，有：（1）若∠A=∠C=90°，∠1=∠2，BE∥DF，則∠3=∠4；（2）若∠ABC+∠ADC=180°，∠1=∠2，∠3=∠4，BE∥DF，則∠A=∠C=90°. 這說明反思題目結(jié)構(gòu)特征性可培養(yǎng)思維的深刻性，運用反思過程形成的知識結(jié)構(gòu)組塊可提高思維的敏捷性.

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■ 用運動的觀點看問題

幾何的變化就是在運動中演變而來，點動成線、線動成面、面動成體，這就是幾何的實質(zhì)之一.

案例3 如圖6所示，有一個五角星ABCDE，你能證明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°嗎？如果點B向右移動到AC上或到AC的另一側(cè)，那么上述結(jié)論仍然成立嗎？

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解題反思 題目的延伸是把B點作為動點且相對于AC所在的直線而動. 通過自己動手，我畫出了圖7和圖8，發(fā)現(xiàn)結(jié)論仍然成立.

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■ 用代數(shù)方法解幾何題

幾何問題，有時使用代數(shù)方法（方程、方程組、不等式等）求解，能使問題簡化并迅速得到結(jié)果.

案例4 多邊形一個內(nèi)角相鄰的外角與其余所有內(nèi)角的和為2680°，求這個多邊形的邊數(shù)和這個內(nèi)角的度數(shù).

簡析 設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，這個內(nèi)角的度數(shù)為x°，則其相鄰?fù)饨菫椋?80-x）°，根據(jù)題意，可得

180（n-2）-x=2680-（180-x），

解得，x=90n-1430.

因為0

所以0<90n-1430<180，

解得15■

又因為n為正整數(shù)，

所以n=16，x=10或n=17，x=100.

解題反思 此題是多邊形內(nèi)角和及內(nèi)、外角關(guān)系的幾何問題，但它運用了一個解題模式，就是實際問題幾何化、幾何問題方程化、方程問題不等式化. 而不等式組的建立又是由取值范圍所確定，這能讓我今后解決此類問題思路更加清晰.

要在治學道路上小有成就，就必須注重積累. 正如華羅庚所說：“天才在于勤奮，聰明在于積累. ”厚積薄發(fā)是老師指導(dǎo)學生學好數(shù)學目的之一，而記好周記、寫好反思是手段之一，最終是讓學生在學習的活動過程中積累經(jīng)驗與教訓(xùn). 學生思維品質(zhì)的培養(yǎng)與提升需要反思，解題思路的廣闊性、批判性需要反思，對數(shù)學思想、數(shù)學方法的應(yīng)用、解題能力的提高需要反思，促使學生健康可持續(xù)發(fā)展更需要教師與學生共同反思. 這無疑對全社會倡導(dǎo)創(chuàng)新意識與提升學生“心態(tài)的平衡，主體的彰顯，個性的張揚”都十分有益.