王全夫

[摘 要] 平行四邊形無(wú)論從圖形所具有的性質(zhì)與圖形的運(yùn)動(dòng)軌跡，還是從知識(shí)的邏輯性與知識(shí)研究過(guò)程，或者從分類學(xué)與數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約性角度來(lái)看，把它歸為特殊的梯形比較有利.

[關(guān)鍵詞] 平行四邊形；特殊；梯形

“平行四邊形是特殊的梯形嗎？”“有一組對(duì)邊平行的四邊形是梯形嗎？”為了回答以上兩個(gè)問(wèn)題，筆者查閱了有關(guān)資料. 在現(xiàn)行的中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，平行四邊形與梯形這兩個(gè)概念大多這樣定義：“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫平行四邊形；只有一組對(duì)邊平行的四邊形叫梯形. ”（人教版四上《數(shù)學(xué)》第71頁(yè)）“有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.”“一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形. ”（人教版八下《數(shù)學(xué)》第83頁(yè)與106頁(yè)）其他版本的中小學(xué)數(shù)學(xué)教材與教學(xué)輔導(dǎo)用書中大多也都類似這樣定義. 按照這樣的定義，平行四邊形和梯形是兩個(gè)完全不同的概念，這兩個(gè)概念之間是一種并列關(guān)系，完全沒(méi)有相交或者包含的可能. 顯然，前面兩個(gè)問(wèn)題的答案應(yīng)該都是否定的. 其實(shí)，在大多數(shù)數(shù)學(xué)教材中，為了讓學(xué)生能夠清楚地區(qū)分這兩個(gè)概念，教材還特意采用集合圖的形式對(duì)平行四邊形不是特殊的梯形進(jìn)行了區(qū)別，以加深學(xué)生對(duì)這兩個(gè)概念的理解.

然而，從長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐以及對(duì)以上兩個(gè)問(wèn)題的深入思考，筆者總覺(jué)得現(xiàn)行教材中對(duì)梯形的定義并不是十分貼切，總感覺(jué)平行四邊形宜為特殊的梯形較為妥當(dāng). 現(xiàn)將筆者認(rèn)為“平行四邊形宜為特殊的梯形”的理由簡(jiǎn)述如下.

（1）從圖形所具有的性質(zhì)來(lái)看，平行四邊形宜為特殊的梯形. 眾所周知，梯形的面積計(jì)算公式（（上底+下底）×高÷2或中位線×高）、周長(zhǎng)計(jì)算公式（四條線段的和）、內(nèi)角和（360°）等，梯形所具有的一些公式、性質(zhì)，平行四邊形也都具有. 因此，平行四邊形宜為特殊的梯形，即平行四邊形為上底與下底相等的特殊梯形.

（2）從圖形的運(yùn)動(dòng)軌跡角度來(lái)看，平行四邊形宜為特殊的梯形. 如圖1所示，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB

（3）從知識(shí)的邏輯性角度來(lái)講，平行四邊形宜為特殊的梯形. 四邊形按對(duì)邊是否平行的情況可分為：0組對(duì)邊平行的四邊形（即一般的四邊形）、只有一組對(duì)邊平行的四邊形（即梯形）、有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形（即平行四邊形）. 這從分類學(xué)的角度來(lái)講是可以的，但從知識(shí)的邏輯性角度來(lái)講，就并不怎么貼切了. 我們知道，兩組對(duì)邊分別平行應(yīng)該是一組對(duì)邊平行的特殊情況（即在四邊形范圍內(nèi)，一組對(duì)邊平行包括只有一組對(duì)邊平行與有兩組對(duì)邊分別平行兩種情況），而一組對(duì)邊平行又是任意四邊形的特殊情況（即任意四邊形包括有一組對(duì)邊平行與沒(méi)有對(duì)邊平行也就是0組對(duì)邊平行兩種情況）. 也就是說(shuō)，按照原來(lái)的平行四邊形與梯形的定義，平行四邊形與梯形還應(yīng)有一個(gè)共同的上位概念——有一組對(duì)邊平行的四邊形（目前暫沒(méi)有命名這一上位概念，而被大多數(shù)人認(rèn)為它們的上位概念都是四邊形，這是不妥當(dāng)?shù)模? 其實(shí)，符合這一條件的上位概念應(yīng)該就是梯形本身，也就是說(shuō)平行四邊形應(yīng)是特殊的梯形.

（4）從知識(shí)研究過(guò)程的角度來(lái)看，平行四邊形宜為特殊的梯形. 大家知道，我們研究事物經(jīng)常用到的方法是從特殊到一般，然后用一般的方法或結(jié)論去解決特殊的問(wèn)題. 對(duì)于四邊形的研究，我們是從正方形（特殊的長(zhǎng)方形）與長(zhǎng)方形（特殊的平行四邊形）開(kāi)始，接著是平行四邊形（特殊的四邊形），然后是梯形（特殊的四邊形）. 也就是說(shuō)，如果我們對(duì)四邊形的研究采用常用方法（即從特殊到一般：正方形——長(zhǎng)方形——平行四邊形——梯形——四邊形）的話，那么，平行四邊形就宜為特殊的梯形.

（5）從分類學(xué)的角度來(lái)看，平行四邊形宜為特殊的梯形. 大家知道，對(duì)事物（知識(shí)）進(jìn)行分類，主要是為了讓人們能夠更好地認(rèn)識(shí)事物（知識(shí)），理清各種事物（知識(shí)）之間的關(guān)系，使事物（知識(shí)）系統(tǒng)化. 分類有一些原則，即不重復(fù)、無(wú)遺漏、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、逐層劃分等. 然而，人們?cè)趯?duì)事物（知識(shí)）分類時(shí)，習(xí)慣于將事物（知識(shí)）分為兩類（即非此即彼），因?yàn)檫@樣分類便于將事物（知識(shí)）進(jìn)行歸類與記憶. 例如將實(shí)數(shù)分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)兩類，將有理數(shù)分為整數(shù)與分?jǐn)?shù)兩類，將圖形分為平面圖形與立體圖形兩類等. 因此，最好將四邊形分為一般的四邊形與梯形兩類，也就是說(shuō)，將平行四邊形歸為特殊的梯形，而并非現(xiàn)行教材中的三類，即四邊形包括一般的四邊形、平行四邊形與梯形.

（6）從數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約性角度來(lái)看，平行四邊形宜為特殊的梯形. 數(shù)學(xué)是把人們?cè)谌粘Ｉ钪械谋姸嗌瞵F(xiàn)象進(jìn)行高度抽象、概括、簡(jiǎn)化的結(jié)晶，因此，數(shù)學(xué)具有簡(jiǎn)潔性，而且，隨著人類對(duì)數(shù)學(xué)研究的不斷深入，數(shù)學(xué)內(nèi)容將會(huì)越來(lái)越概括，越來(lái)越簡(jiǎn)潔. 把平行四邊形歸為特殊的梯形，就可以使四邊形的分類由目前的一分為三（即四邊形包括一般的四邊形、平行四邊形與梯形）簡(jiǎn)化為將來(lái)的一分為二（即四邊形包括一般的四邊形與梯形），這樣便于學(xué)生的研究與記憶.

綜上所述，平行四邊形宜為特殊的梯形. 也就是說(shuō)，梯形應(yīng)定義為：有一組對(duì)邊平行的四邊形叫做梯形（即把原來(lái)梯形定義中的“只有”改為“有”，這樣平行四邊形就隸屬于梯形的范疇）.平行的一組對(duì)邊叫做梯形的底（其中一條邊叫做上底，另一條邊叫做下底），另一組對(duì)邊叫做腰. 兩腰相等且相鄰內(nèi)角相等的梯形叫做等腰梯形. 有一只角是直角的梯形叫直角梯形（即正方形與長(zhǎng)方形也可以理解為特殊的等腰梯形或特殊的直角梯形）.

以上是筆者的一點(diǎn)想法與認(rèn)識(shí)，如有不妥，敬請(qǐng)各位專家、同行批評(píng)指正.