劉富豪， 蔣漢軍， 朱龍英

(1.鹽城工學院汽車工程學院， 江蘇 鹽城 224051； 2.江蘇安捷汽車配件有限公司， 江蘇 鹽城 224002；3.重慶大學機械傳動國家重點實驗室, 重慶 400044)

引 言

在汽車行業(yè)中，由于客戶對舒適性的需求，使得降低制動器振動和噪聲成為重要的研究課題。到目前為止，還沒有統(tǒng)一的理論能解釋制動器振動和噪聲產(chǎn)生的機理和動力學特性。制動器產(chǎn)生振動和噪聲主要是由于制動盤和摩擦片之間相互摩擦導致的。影響制動器制動噪聲的因素非常復雜，除了摩擦副材料參數(shù)及其匹配性外，其剛度及質(zhì)量等結(jié)構(gòu)參數(shù)也是非常重要的因素，特別是高頻噪聲，大多在摩擦過程中發(fā)生，其機理在很大程度上取決于摩擦副的接觸穩(wěn)定性。根據(jù)Ibrahim，Oden，Sinou和Hoffmann等的研究成果[1～5]，主要有4種機理闡示摩擦導致的不穩(wěn)定性現(xiàn)象：斜滑、粘滑、變動態(tài)摩擦和耦合機理。耦合機理是內(nèi)共振和拍擊導致的系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象。然而，制動器噪聲發(fā)生在1～16 kHz的高頻[6]，很難被辨識。劉獻棟等搭建了汽車盤式制動器試驗臺架，對制動噪聲進行了試驗研究，從而揭示汽車盤式制動器制動噪聲產(chǎn)生的機理[7]。雖然制動器振動和噪聲問題從20世紀30年代就開始進行研究，并獲得了一些重要成果。但由于問題的復雜性，制動器振動和噪聲目前仍處于研究階段，還沒有得到圓滿解決。這些不足的一個重要原因是還沒有統(tǒng)一的模型通過使用具有物理意義的參數(shù)值來解釋振動和噪聲問題產(chǎn)生的機理。另一個原因是大部分關(guān)于制動器振動的研究工作采用的是恒定的摩擦系數(shù)模型以及有限元模型，沒有探索更復雜的動力學現(xiàn)象[5，8～12]。

對于制動系統(tǒng)來說，其振動和噪聲與系統(tǒng)的穩(wěn)定性有著密切的關(guān)系[2]。在現(xiàn)研究階段，對制動器系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究成為一個熱點問題。本文通過參數(shù)識別，獲得了具有物理意義的制動器參數(shù)值。使用變摩擦系數(shù)，并考慮到制動力和接觸剛度，克服了先前研究的不足。對提出的考慮時變摩擦系數(shù)的制動盤和摩擦片耦合的兩自由度簡約模型，采用勞斯赫爾維茨標準，辨識了制動器系統(tǒng)的穩(wěn)定和不穩(wěn)定域，分析了制動器主要參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性和共振頻率的影響，闡述了模型中不同角度與極限環(huán)穩(wěn)定性和幅值的關(guān)系。通過兩個參數(shù)的分岔圖、三個動態(tài)參數(shù)的霍普夫分岔和龐加萊截面，分析了該制動器系統(tǒng)的非線性動力學特性。

1 物理模型及方程

本文以盤式制動器為研究對象，其制動原理示意圖如圖1所示：在活塞的推動下，摩擦片在左右支架及襯塊作用下和制動盤相接觸，在制動盤上面產(chǎn)生一個阻力矩，促使制動盤停止轉(zhuǎn)動。該制動器可簡化成如圖2所示的簡約模型，制動盤和摩擦片通過滑動摩擦界面連結(jié)在一起，傳輸帶代表制動盤，質(zhì)量塊m代表摩擦片的質(zhì)量。在這個模型中，襯塊和摩擦片之間的連接可以等價于在兩個角度α1，2方向上的剛度為k1，2的兩個線性彈簧。摩擦片和制動盤之間的連接可以等價于一個在垂直于制動盤方向上剛度為k3的線性彈簧，Vb為制動盤的轉(zhuǎn)速。摩擦片在固定坐標系(X,Y)中任意時刻T的坐標為(X(T)，Y(T))。在制動過程中，為了防止質(zhì)量塊和傳輸帶脫離接觸，在質(zhì)量塊上加了一個初始的預(yù)緊力F。因此，整個模型受到了三個彈簧力、一個預(yù)載荷和摩擦力的作用?？紤]到在穩(wěn)定，滑動狀態(tài)下的小擾動，該模型的動力學方程可表達為

(1)

(2)

式中k11=k1cos2α1+k2cos2α2，k12=k21=k1sinα1cosα1+k2sinα2cosα2，k22=k1sin2α1+k2sin2α2+k3。其中，k11，k12，k21和k22為耦合剛度系數(shù)。

圖1 盤式制動器原理示意圖

圖2 制動器簡約模型

對振動微分方程(1)和(2)進行歸一化處理得

(3)

(4)

圖3 Stribeck摩擦模型

非線性摩擦力是速度的函數(shù)，產(chǎn)生于制動盤和摩擦片之間，并激勵摩擦片振動。摩擦系數(shù)隨著相對滑動速度增加而相應(yīng)變化，因而出現(xiàn)振動和噪聲的可能性也會增加。當克服靜摩擦力后，在低速下隨著速度的增加而摩擦力減小，呈現(xiàn)為速度的連續(xù)函數(shù)。為了研究制動器動態(tài)特性，本文采用如下的Stribeck摩擦模型[13，14]

(5)

(6)

把摩擦模型方程(6)代入歸一化方程(3)和(4)，可得兩自由度的系統(tǒng)模型為：

(7)

(8)

根據(jù)方程(7)和(8)，可知該系統(tǒng)存在一個平衡點于(x，y)=(x*，y*)，即

(9)

(10)

方程(10)可用于數(shù)值求解系統(tǒng)在變化參數(shù)情況下的穩(wěn)定域及吸引子等。

2 系統(tǒng)穩(wěn)定性和共振頻率分析

對于非線性系統(tǒng)來說，系統(tǒng)的穩(wěn)定性是由其線性系統(tǒng)決定的。穩(wěn)定性主要通過計算在平衡點的雅可比行列式來研究。根據(jù)勞斯赫爾維茨標準[15]，如果系統(tǒng)在平衡點的雅可比行列式的特征值的實部為正值，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，同時意味著系統(tǒng)將會產(chǎn)生振動和噪聲。反之，特征值的實部為負值時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。特征值的虛部代表系統(tǒng)的頻率。

在固定點，方程(10)的雅可比行列式為

(11)

雅可比行列式(11)的特征方程為

λ4+p3λ3+p2λ2+p1λ=0

(12)

式中ρ0=-a2a3-a4，p1=a1a4，p1=1-a4，p3=-a1。

特征值實部的符號可通過多項式(12)的系數(shù)確定，根據(jù)勞斯赫爾維茨標準，為確保系統(tǒng)穩(wěn)定，必須使特征值實部為負，因此需定義如下條件：

(a)p3>0

(b)p2p3-p1>0

(c)p1(p2p3-p1)-p0p2>0

表1 基于試驗的物理參數(shù)

圖4 簡易制動系統(tǒng)試驗臺：①帶有剎車片的簡易制動器;②導桿;③傳感器;④導氣管1;⑤導氣管2

表1中的參數(shù)是在簡易制動系統(tǒng)試驗臺上測量的。如圖4所示，導桿通過氣缸產(chǎn)生的拉力在帶有剎車片的簡易制動器中運動，其速度可以通過傳感器測量出來，簡易制動器通過氣缸產(chǎn)生的壓力對導桿進行制動，氣缸產(chǎn)生的拉力和制動所需的壓力均可通過導氣管中的氣流大小來控制。通過模態(tài)識別法獲得簡易制動器系統(tǒng)在各個方向上的剛度值。使用表1中的基本參數(shù)，隨著角度α1的變化，相應(yīng)的特征值的實部及頻率如圖5～7所示。在使用庫侖摩擦模型的情況下，當α1∈(1.57±1.57，4.06±1.57)rad，特征根是一對純虛數(shù)。在這種情況下，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，其動力性行為取決于非線性條件。霍普夫分岔產(chǎn)生的極限環(huán)將會出現(xiàn)于該系統(tǒng)，系統(tǒng)在平衡點附件的穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)周期解穩(wěn)定性的問題。當α1∈(4.06±1.57，4.71±1.57)rad，兩個模態(tài)耦合，形成復雜的一對，系統(tǒng)將會出現(xiàn)內(nèi)共振。這就表明即使摩擦系數(shù)為常數(shù)，對于盤式制動器來說，振動和噪聲仍然可以發(fā)生[16]。在圖5和6中，由于負斜率摩擦的存在，當α1∈(1.57±1.57，2.25±1.57)∪(3.22±1.57，4.06±1.57)rad，系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的，這與負斜率摩擦-速度曲線導致的負阻尼不穩(wěn)定相一致[17]。另外，由于有兩個模態(tài)非常接近，拍擊振動將會發(fā)生在系統(tǒng)中。在這里，共振頻率使系統(tǒng)不穩(wěn)定，非共振頻率使系統(tǒng)出現(xiàn)拍振。這一結(jié)果證實，分離共振頻率及拍振是在設(shè)計階段降低制動器出現(xiàn)振動和噪聲現(xiàn)象的重要途徑。同時，系統(tǒng)在不同角度下所表現(xiàn)出來的穩(wěn)定性特征表明了制動器的結(jié)構(gòu)因素在制動振動的產(chǎn)生過程中起到了關(guān)鍵的作用[18]。

圖5 庫侖摩擦模型特征值實部和頻率隨角度α1的變化

圖6 Stribeck摩擦模型特征值實部和頻率隨角α1的變化

圖7 Stribeck摩擦模型特征值的實部局部放大圖

穩(wěn)定性是一個復雜的問題，圖8(a)～圖11(a)顯示了隨不同參數(shù)組合時系統(tǒng)的穩(wěn)定和不穩(wěn)定域。其中，實心點代表穩(wěn)定域，空心點表示不穩(wěn)定域。為了分析共振頻率，特征值在復平面上的實部和虛部如圖8(b)～圖11(b)所示。橫坐標為系統(tǒng)阻尼或等效阻尼，復平面右邊模態(tài)是負阻尼，為不穩(wěn)定域。相反，左邊模態(tài)是解耦的，代表穩(wěn)定域。從圖5～7和圖8(b)～11(b)可知，耦合模態(tài)出現(xiàn)于正負模態(tài)同時存在的情況下。

圖8 穩(wěn)定域和耦合共振頻率隨質(zhì)量m和靜摩擦系數(shù)μs的變化

圖9 穩(wěn)定域和耦合共振頻率隨質(zhì)量m和轉(zhuǎn)速Vb的變化

圖10 穩(wěn)定域和耦合共振頻率隨角度α1和α2的變化

從圖8(a)和9(a)可知，在小質(zhì)量摩擦片、大轉(zhuǎn)速和大的摩擦系數(shù)或大質(zhì)量摩擦片、小轉(zhuǎn)速和小的摩擦系數(shù)情況下，制動器更容易產(chǎn)生振動和嘯叫。從圖10(a)和11(a)可知，當摩擦片的兩個支撐角度同時取值較小或較大時，或者摩擦片剛度k1較大時，系統(tǒng)更容易趨向不穩(wěn)定。從圖8(b)和11(b)可得出，各參數(shù)組合情況下，出現(xiàn)耦合共振頻率的范圍。

圖11 穩(wěn)定域和耦合共振頻率隨剛度k1和k2的變化

值得注意的是，系統(tǒng)穩(wěn)定性極大地依賴于所選擇的參數(shù)值，設(shè)計者可通過調(diào)整摩擦片質(zhì)量和剛度、制動盤轉(zhuǎn)速和材料的摩擦系數(shù)等參數(shù)，使系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)，降低制動器振動。

3 非線性分析

非線性分析可以提供極限環(huán)大小和混沌信息，以及對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響和共振現(xiàn)象的關(guān)系。穩(wěn)定的極限環(huán)是非常重要的，即使在沒有周期外力的情況下，也會使模型系統(tǒng)表現(xiàn)出自激振動。然而，由于系統(tǒng)中存在拍振，很難在不同角度的情況下比較極限環(huán)的大小。為了更好地理解角度對極限環(huán)振幅的影響，極限環(huán)的半徑將由位移的均方值(RMS)代替，由方程(10)進行數(shù)值積分得到。

圖12 當(α1，α2)=(π，0)rad時x和y方向上的振動

圖12示出了極限環(huán)在不同角度下的演變。首先，根據(jù)表2中的實例，當(α1，α2)=(3.14，0.63)rad時，第一李雅普諾夫系數(shù)是負的，所以有一個超臨界Hopf分岔。并且負的Lyapunov指數(shù)意味著從失穩(wěn)后變成穩(wěn)定的周期分叉，所以這個極限環(huán)是穩(wěn)定的。隨著角度α1和α2的減少，Hopf分岔變成次臨界的，極限環(huán)出現(xiàn)了不穩(wěn)定。其次，由圖12可看出，極限環(huán)在兩個方向上的大小是不一樣的。隨著角度α1和α2的增大，極限環(huán)的半徑在x方向上是增加的，直到到達實例3的情況，然后又減少。最后，隨著角度α1和α2的增大，拍振頻率也相應(yīng)增大。由圖12和表2可知，在這個非線性系統(tǒng)中，彈簧的角度影響了極限環(huán)的振幅和穩(wěn)定性。

表2 極限環(huán)的三個動態(tài)參數(shù)：第一李雅普諾夫系數(shù)(α)，第一李雅普諾夫指數(shù)(L1)，李雅普諾夫維數(shù)(dL)

圖13 關(guān)于角度的兩個參數(shù)分岔曲線圖(+:雙Hopf分叉點;·: 廣義Hopf分岔點)

圖14 李雅普諾夫指數(shù)(實例3)和龐加萊截面圖(x2=0)

圖15示出了x1方向振動位移的吸引子隨接觸剛度k3的變化，當接觸剛度k3的值接近2×107N/m附近時，相對于其他條件下，在x1方向上運動的幅度變得越來越大，這意味著該系統(tǒng)的振蕩很顯著。這為制動系統(tǒng)的優(yōu)化提供了一個基本參考。

圖15 接觸剛度k3的吸引子

4 結(jié) 論

制動器振動和噪聲機理復雜，在不同的工況下可能存在不同的產(chǎn)生機理?；谧兡Σ料禂?shù)，本文采用了針對制動器振動的簡約模型，分析了不同參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性和共振頻率的影響。可得出以下結(jié)論：

(1)對比庫侖摩擦模型，負斜率摩擦模型更容易導致系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定；

(2)分離共振頻率和拍振是在設(shè)計階段降低制動器出現(xiàn)振動現(xiàn)象的重要途徑。

(3)摩擦片的質(zhì)量、剛度及制動盤的轉(zhuǎn)速對制動器系統(tǒng)穩(wěn)定性影響很大。在小質(zhì)量摩擦片、大轉(zhuǎn)速和大的摩擦系數(shù)或大質(zhì)量摩擦片、小轉(zhuǎn)速和小的摩擦系數(shù)情況下，以及摩擦片的兩個支撐角度同時取值較小或較大時，或者摩擦片剛度k1較大時，系統(tǒng)更容易趨向不穩(wěn)定，使制動器產(chǎn)生振動。

(4)角度不僅影響了系統(tǒng)在平衡點處的穩(wěn)定性，還會影響到周期解的穩(wěn)定性和極限環(huán)的幅值。隨著角度增大，極限環(huán)從不穩(wěn)定變成穩(wěn)定。

(5)制動盤和摩擦片等零件的質(zhì)量和結(jié)構(gòu)剛度經(jīng)過優(yōu)化設(shè)計，合理匹配，可以降低制動振動。

參考文獻:

[1] Ibrahim R. Friction-induced vibration, chatter, squeal, and chaos-Part I: Mechanics of contact and friction[J].Applied Mechanics Reviews, 1994,47(7):209—226.

[2] Ibrahim R. Friction-induced vibration, chatter, squeal, and chaos-Part II: Dynamics and modeling[J].Applied Mechanics Reviews, 1994,47(7):227—253.

[3] Sinou J, Thouverez F, Jezequel L. Analysis of friction and instabilityby the centre manifold theory for a non-linearsprag-slip model[J]. Journal of Sound and Vibration, 2003,265(3):527—559.

[4] Oden J, Martins J. Models and computational methods for dynamic friction phenomena[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1985,52(1-3):527—634.

[5] Hoffmann N, Fischer M, Allgaier R, et al. A minimal model for studying properties of the mode-coupling type instability in friction induced oscillations[J]. Mechanics Research Communications, 2002,29(4):197—205.

[6] 黃學文，張金換，董光能，等.汽車摩擦制動噪聲研究進展與發(fā)展趨勢[J].汽車工程，2007,29(5)：385—388.Huang Xuewen, Zhang Jinhuan, Dong Guangneng, et al. Progress and development trend of research on friction-induced brake squeal of vehicles[J]. Automotive Engineering，2007,29(5)：385—388.

[7] 劉獻棟，任增杰，王海霞，等.盤式制動器摩擦特性及制動尖叫測試與分析[J].振動測試與診斷，2013，5：746—750.Liu Xiandong, Ren Zengjie, Wang Haixia, et al. Test and analysis of friction characteristics and brake squeal of automotive disc brake[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis,2013，33(5)：746—750.

[8] Sinou J, Thouverez F, Jezequel L. Analysis of friction and instabilityby the centre manifold theory for a non-linearsprag-slip model[J]. Journal of Sound and Vibration, 2003,265(3):527—559.

[9] 陳光雄，戴煥云，曾京，等.踏面制動尖叫噪聲的有限元分析[J].機械工程學報，2009,45(3):203—207.Chen Guangxiong, Dai Huanyun, Zeng Jing, et al. Finite element analysis of the squeal propensity for a pad-wheel tread brake system[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2009,45(3):203—207.

[10] 余為高，于學華.應(yīng)用有限元法對盤式制動器制動噪聲分析[J]. 科學技術(shù)與工程，2009,9(12):3 234—3 236.Yu Weigao, Yu Xuehua, Analysis of disc brake noise based on finite element methods[J]. Science Technology and Engineering, 2009,9(12):3 234—3 236.

[11] Fritz G, Sinou J, Duffal J, et al. Investigation of the relationship between damping and mode-coupling patterns in case of brake squeal[J]. Journal of Sound and Vibration, 2007,307(3-5):591—609.

[12] 戴軼,張嵩.盤式制動片的特征參數(shù)對制動噪聲的影響[J].振動與沖擊，2006，25(6):162—166.Dai yi, Zhang Song. Effect of disc brake pad parameters on squeal noise[J]. Journal of Vibration and Shock, 2006,25(6):162—166.

[14] 黃毅，丁千.內(nèi)共振系統(tǒng)的干摩擦自激振動[J].振動與沖擊, 2008,27(5):103—104.Huang Yi, Ding Qian. The self-excited vibration of a dry-friction system with internal resonances[J]. Journal of Vibration and Shock, 2008,27(5):103—104.

[15] Cesari L. Asymptotic Behavior and Stability Problems in Ordinary Differential Equations[M]. Academic Press, 1963.

[16] Millner N. An analysis of disc brake squeal[J]. SAE International ,Technical Paper 780332, 1978.

[17] Sheng Gang. Friction-induced Vibrations and Sound: Principles and Applications[M]. CRC Press, 2008.

[18] 李清，劉佐民, 蔡萼華,等.浮鉗盤式制動器結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性仿真分析[J].武漢理工大學學報(信息與管理工程版),2008,30(5):744—748.Li Qing, Liu Zuomin, Cai Ehua, et al. Simulation analysis of the construction stabilization of the floating disk brake[J]. Journal of WUT (Information & Management Engineering)，2008,30(5):744—748.

[19] Grebogi C, Ott E, Yorke J A. Fractal basin boundaries, long-lived chaotic transients, and unstable-unstable pair bifurcation[J]. Physical Review Letters, 1983,50(13):935—938.