夏兆旺， 魏守貝， 溫華兵， 劉獻棟

(1.江蘇科技大學能源與動力工程學院， 江蘇 鎮(zhèn)江 212003； 2.北京航空航天大學交通科學與工程學院， 北京 100191)

引 言

顆粒阻尼減振器是含有顆粒的孔腔結(jié)構(gòu)，其孔腔可以有多種形式，可以是在現(xiàn)有結(jié)構(gòu)適當位置加工出一系列孔腔，也可以是附加在結(jié)構(gòu)上的獨立腔體[1～3]。顆粒阻尼器的減振機理是利用顆粒間的摩擦和碰撞消耗系統(tǒng)的能量，達到降低系統(tǒng)振動的目的，具有強非線性[4,5]。顆粒阻尼是一種有效的減振降噪方法，并被成功用于航空航天和工業(yè)領(lǐng)域惡劣環(huán)境下設(shè)備的減振降噪。Panossian等[6]研究了顆粒密度等參數(shù)對帶顆粒阻尼器的梁結(jié)構(gòu)和航天飛機主發(fā)動機進口分流葉片的振動影響。研究結(jié)果表明顆粒阻尼減振技術(shù)能適應高溫等惡劣環(huán)境下結(jié)構(gòu)的減振。近年來，顆粒阻尼減振技術(shù)被應用于航空、汽車等領(lǐng)域的減振研究[7～9]。但目前，還未見顆粒阻尼技術(shù)應用于旋轉(zhuǎn)制動鼓減振降噪的研究報道。

作者前期對顆粒阻尼技術(shù)的耦合仿真算法進行了研究[10]。本文將在耦合仿真算法的基礎(chǔ)上，重點分析帶顆粒阻尼器的旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)振動特性。研究顆粒阻尼用于處于離心力作用下的汽車制動鼓減振降噪，同時分析顆粒密度、填充率、激振力頻率和幅值等參數(shù)對減振效果的影響。考慮到旋轉(zhuǎn)狀態(tài)制動鼓測試的復雜性，靜態(tài)的制動鼓試驗測試將用于驗證仿真算法。論文拓展了顆粒阻尼技術(shù)的應用范圍，也為降低汽車制動噪聲提供了一種新的研究思路。

1 耦合仿真算法

離散元法將整個散體看作離散單元的組合，分為顆粒和塊體兩大系統(tǒng)，每個顆?；驂K體為一個單元，根據(jù)單元間力的相互作用和牛頓運動定律描述散體群行為。其運算法則是以運動方程的有限差分為基礎(chǔ)，以顆粒間作用模型為理論核心。離散元法適合計算顆粒阻尼器中顆粒的運動特性，有限元法能滿足帶顆粒阻尼的復雜結(jié)構(gòu)的響應分析。本文結(jié)合有限元法與離散元法的特點，提出了基于有限元-離散元的耦合仿真算法，應用DMAP語言對工程有限元軟件NASTRAN進行二次開發(fā)，通過MATLAB將有限元法與離散元法進行耦合[10]。

1.1 接觸力學模型

離散元法是模擬運動在顆粒中傳播的過程。顆粒運動必然會導致顆粒間的相互碰撞，顆粒之間也必然有接觸力產(chǎn)生。球狀顆粒間產(chǎn)生接觸力的條件是兩球心之間的距離小于兩球半徑之和。兩球狀顆粒接觸時的相對運動有三種：在連心線方向上的法向運動；在兩接觸面的相對切向運動；兩球的相對轉(zhuǎn)動。本文在分析顆粒間的接觸特性時，只考慮法向和切向接觸力作用。法向作用力為

(1)

帶顆粒阻尼器結(jié)構(gòu)在旋轉(zhuǎn)運動時，顆粒除了受到顆粒間及顆粒與孔腔間的接觸力外，還受到離心力作用。其離心力的大小為

P=mω2r

(2)

式中m為顆粒的質(zhì)量，ω為結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)速，γ為顆粒的離心半徑。

1.2 顆粒接觸時步

計算過程中，要保證顆粒加速度是近似恒定和在一個時步內(nèi)每個顆粒的動量只能傳播給其臨近的顆粒。根據(jù)瑞利波沿著顆粒表面的傳播速度得到臨界時間步長為

(3)

式中G為剪切模量，ρ為顆粒密度，γ為泊松比，Rmin為顆粒最小半徑。

根據(jù)瑞利波確定的時步一般能滿足數(shù)值仿真收斂的要求。對于顆粒間相對速度很大的情況，當與一個顆粒接觸的顆粒數(shù)大于等于4時，此時這個顆粒的接觸時間取公式中的20%較為合適；當與一個顆粒接觸的顆粒數(shù)小于4時，此時這個顆粒的接觸時間取公式中的40%較為合適。事實上，盡管很多學者對合理時步的選取做了大量工作，但由于時步的選取與很多因素有關(guān)，因此在實際計算時還應結(jié)合實際情況通過試算來確定。

1.3 顆粒運動方程

通過離散元法對系統(tǒng)中每個顆粒進行運動學分析，分析每個顆粒對系統(tǒng)的作用力即可得到整個系統(tǒng)的受力特性，將顆粒對系統(tǒng)的作用力作為邊界條件載入到有限元模型進行下一步分析。單個顆粒的受力由牛頓第二定律得到

(4)

式中xi(t)為平動位移，∑F(t)為合力，mi為質(zhì)量，∑M(t)為合力矩，θi(t)為角位移，Ii為轉(zhuǎn)動慣量。

由中心差分法可得中心時刻顆粒的速度和加速度

在諸城市南部山區(qū)的康嶺山上，占地1.2萬畝的榛子林讓原本光禿禿的山頭，如今變成了樹的海洋?！鞍趁刻於紒磙D(zhuǎn)轉(zhuǎn)，看著這些滿山成片的綠色，人就變得更有干勁兒。”64歲的魏本欣是這一片榛子林的主人，他將周邊村落的山嶺薄地流轉(zhuǎn)過來，荒山造林，還帶動百姓脫貧致富。

(5)

(6)

這樣，經(jīng)過Δt時間后顆粒i移動到新位置，計算顆粒收到的新的合力∑F(t+Δt/2) 和合力矩∑M(t+Δt/2)后返回式(6)計算，對顆粒i循環(huán)計算即可得到其運動特性。

2 帶顆粒阻尼的制動鼓振動特性

本節(jié)將通過有限元和離散元法研究制動鼓在強迫振動下的振動特性，首先用有限元計算一個步長內(nèi)結(jié)構(gòu)的響應，提取孔腔的位移；然后根據(jù)孔腔位移用離散元計算顆粒之間接觸力及顆粒與孔壁之間的接觸力、一個步長內(nèi)顆粒的位移、速度和加速度；再將顆粒與孔壁之間的接觸力作為邊界條件載入到制動鼓的有限元模型，計算制動鼓的響應特性，提取孔腔新的位移，如此循環(huán)。其有限元模型如圖1所示，制動鼓被劃分為48 080個單元。制動鼓的尺寸為直徑866 mm，高240 mm，壁厚16 mm。

圖1 制動鼓的有限元模型

由于制動鼓的前兩階模態(tài)體現(xiàn)為制動鼓圓柱部分的振動。因此，為方便起見，僅在圓柱部分進行模態(tài)試驗測試，制動鼓的密度為7 330 kg/m3，楊氏模量為115 GPa，泊松比為0.27。通過模態(tài)試驗得到如圖2,3所示的前兩階模態(tài)振型，試驗模態(tài)頻率與有限元計算頻率如表1所示。試驗結(jié)果與有限元計算結(jié)果對比，表明所建立的有限元模型是準確的。

表1 模態(tài)試驗和有限元計算結(jié)果比較

表1中的誤差計算公式為：誤差=(計算結(jié)果-平均試驗結(jié)果)/平均試驗結(jié)果。

圖2 第一階試驗模態(tài)振型(243 Hz)

圖3 第二階試驗模態(tài)振型(628 Hz)

在制動鼓上打孔并填充顆粒進行試驗測試。顆粒填充率分別為：0%,30%,50%,70%和90%；激振力幅值分別?。?,2,3和4 N；試驗中第一、二階激振力頻率范圍分別選取225～255 Hz和580～700 Hz(參考模態(tài)試驗得到的無顆粒阻尼器時，制動鼓的前兩階固有頻率)。試驗測試如圖4所示，沿制動鼓周緣等間距布置20個直徑為8 mm、深度為90 mm孔腔，填充顆粒后，在第一、二階共振頻率附近以幅值為4 N的激振力激振。

圖4 制動鼓振動測試系統(tǒng)

顆粒之間及顆粒與孔壁之間的彈性恢復系數(shù)都為0.78，填充顆粒為直徑1 mm的鋼球。圖5,6分別為填充直徑為1 mm鋼球顆粒時拾振點的響應均方根值與激振頻率的關(guān)系曲線，由這兩幅圖可得到各種顆粒填充率下制動鼓的第一、二階共振頻率；激振力頻率為制動鼓第一、二階共振頻率時，各種激振力幅值下拾振點的響應與填充率的關(guān)系如圖7,8所示。圖中，Cal 表示仿真結(jié)果，Exp表示試驗結(jié)果。從圖5,6可以看出：在制動鼓發(fā)生一階共振且其他參數(shù)相同時，顆粒填充率為70%左右的系統(tǒng)減振效果最好；在制動鼓發(fā)生二階共振且其他參數(shù)相同時，顆粒填充率為90%左右的系統(tǒng)減振效果最好。這說明在設(shè)計顆粒阻尼器時，應要充分考慮需增加阻尼的階次，否則難以達到最佳減振效果。

從圖7可以看出：當顆粒填充率為70%，在不同幅值的正弦激振力作用下，制動鼓發(fā)生一階共振時，系統(tǒng)都達到最好的減振效果；激振力幅值為1,2,3,4 N時，對應的制動鼓響應均方根值最大降低了52%,61%,62%,62%，說明在共振頻率處顆粒阻尼器能有效地降低制動鼓響應。

從圖8可以看出：當顆粒填充率為90%，在不同的正弦激振力作用下，制動鼓發(fā)生二階共振時，系統(tǒng)達到最好的減振效果。通過與圖7,8的比較可以發(fā)現(xiàn)顆粒填充率對制動鼓不同階次共振條件下減振效果的影響規(guī)律是不同的，因此在設(shè)計顆粒阻尼器時，應根據(jù)需要重點減振的頻帶范圍來確定合適的顆粒填充率。

從圖5～8可以看出計算結(jié)果與試驗結(jié)果具有很好的一致性，進一步證實了制動鼓有限元模型及仿真算法的正確性，鑒于此，下面將只通過數(shù)值仿真計算來研究制動鼓的響應均方根值與其他參數(shù)的關(guān)系。

填充顆粒直徑為1 mm鋼球，激振力幅值為1 N，調(diào)整激振力頻率使制動鼓發(fā)生第一、二階共振，此時制動鼓響應與孔徑粒徑比(孔腔直徑與顆粒直徑的比值)的關(guān)系如圖9和圖10所示。從圖中可以看出：在其他參數(shù)相同的情況下，當制動鼓發(fā)生第一、二階共振時，顆粒阻尼器的減振效果在孔徑粒徑比8左右時，系統(tǒng)達到了最佳的減振效果。設(shè)計顆粒阻尼器孔徑粒徑比時，要考慮可能存在的最優(yōu)值。

圖5 制動鼓仿真與實驗結(jié)果比較圖(第一階共振)

圖6 制動鼓仿真與實驗結(jié)果比較圖(第二階共振)

圖7 制動鼓響應與填充率的關(guān)系(第一階共振)

圖8 制動鼓響應與填充率的關(guān)系(第二階共振)

圖9 制動鼓響應與孔徑顆徑比的關(guān)系(第一階共振)

圖10 制動鼓響應與孔徑顆徑比的關(guān)系(第二階共振)

下面仿真分析制動鼓在旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下顆粒阻尼與孔腔數(shù)的關(guān)系：

填充顆粒直徑為1 mm鋼球，激振力幅值為1 N，調(diào)整激振力頻率使制動鼓發(fā)生第一、二階共振，此時制動鼓的響應與孔腔數(shù)量的關(guān)系如圖11和圖12所示。從圖中可以看出：在其他參數(shù)相同的情況下，當制動鼓發(fā)生第一、二階共振時，顆粒阻尼器的減振效果都是隨著孔腔數(shù)量增加而更明顯。說明在汽車制動鼓上施加顆粒阻尼器時，應該在滿足剛度和強度的條件下盡可能的增加孔腔數(shù)量。

圖11 制動鼓響應與孔腔數(shù)量的關(guān)系(第一階共振)

圖12 制動鼓響應與孔腔數(shù)量的關(guān)系(第二階共振)

孔腔直徑為8 mm、深度為90 mm、數(shù)量為20個，顆粒填充率為70%，填充顆粒為直徑1 mm鋼球，正弦激振力幅值為4 N，調(diào)整激振力頻率使制動鼓發(fā)生共振，研究此時各種孔腔數(shù)量下制動鼓響應隨轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律。設(shè)制動鼓轉(zhuǎn)速范圍為0～500 r/min，由于旋轉(zhuǎn)制動鼓結(jié)構(gòu)的共振頻率隨轉(zhuǎn)速改變而改變，激振力頻率分別為各轉(zhuǎn)速下的第一階、二階共振頻率。旋轉(zhuǎn)制動鼓在激振力作用下的響應曲線分別如圖13和圖14所示。制動鼓共振頻率和轉(zhuǎn)速的關(guān)系如圖15所示。從圖13和圖14可以看出：不同數(shù)量的顆粒阻尼器對各階振動的抑制規(guī)律基本一致，即在轉(zhuǎn)速較低時抑制效果好，隨著轉(zhuǎn)速提高,抑制效果逐漸減弱，在制動鼓轉(zhuǎn)速達到100 r/min時，顆粒阻尼仍有明顯的減振效果，隨轉(zhuǎn)速提高，減振效果趨于穩(wěn)定；制動鼓第一、二階響應在轉(zhuǎn)速較低時較小，但隨著轉(zhuǎn)速增加而增加，在轉(zhuǎn)速達到一定值時轉(zhuǎn)速對響應的影響趨于穩(wěn)定。其原因是：在轉(zhuǎn)速低時顆粒受到的離心力小，顆粒能充分發(fā)揮摩擦和碰撞，以此來消耗制動鼓的能量，隨著轉(zhuǎn)速的提高，由于離心力變大，顆粒之間的壓緊力增加，因而顆粒之間的約束增加，因此在耗能機制中碰撞耗能大幅減少，顆粒阻尼表現(xiàn)出的阻尼減少，振動響應變大；在轉(zhuǎn)速達到一定值時，顆粒在較大離心力作用下變得不活躍，顆粒間、顆粒與孔壁間幾乎無碰撞，顆粒與旋轉(zhuǎn)制動鼓的相對速度小，當結(jié)構(gòu)在激勵下發(fā)生彈性變形時顆粒在孔壁的推動下顆粒間、顆粒與孔壁間發(fā)生位移和摩擦，因此仍表現(xiàn)出比結(jié)構(gòu)本身較大的阻尼。

圖13 制動鼓旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下響應與轉(zhuǎn)速的關(guān)系(第一階)

圖14 制動鼓旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下響應與轉(zhuǎn)速的關(guān)系(第二階)

圖15 制動鼓第一、二階共振頻率與轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系

3 結(jié) 論

本文采用基于離散元和有限元法的耦合仿真算法研究了帶顆粒阻尼器的制動鼓結(jié)構(gòu)的動力學特性，計算了簡諧激振下制動鼓的穩(wěn)態(tài)響應，分析了制動鼓旋轉(zhuǎn)狀態(tài)的振動特性。通過上述研究得到的主要結(jié)論如下：

(1) 在制動鼓發(fā)生一階共振且其他參數(shù)相同時，顆粒填充率為70%左右的系統(tǒng)減振效果最好；在制動鼓發(fā)生二階共振且其他參數(shù)相同時，顆粒填充率為90%左右的系統(tǒng)減振效果最好。這說明在設(shè)計顆粒阻尼器時，應根據(jù)結(jié)構(gòu)需要減振的頻帶確定合適的填充率。

(2) 在其他參數(shù)相同的情況下，當制動鼓發(fā)生第一、二階共振時，顆粒阻尼器的減振效果在孔徑粒徑比為8左右時，系統(tǒng)達到了最佳的減振效果。說明顆粒阻尼的孔徑粒徑比存在的最優(yōu)值。

(3) 顆粒阻尼器的減振效果隨孔腔數(shù)量增加而更明顯。在設(shè)計顆粒阻尼器時，應該在滿足剛度和強度的條件下盡可能的增加孔腔數(shù)量。

(4) 在制動鼓轉(zhuǎn)速較低時顆粒阻尼器的減振效果較好，隨著轉(zhuǎn)速提高抑制效果逐漸減弱，在轉(zhuǎn)速達到100 r/min時，顆粒阻尼仍有明顯的減振效果，隨轉(zhuǎn)速提高減振效果趨于穩(wěn)定。

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