梅檢民， 肖云魁， 曾銳利， 趙慧敏，崔 鯤

(1.軍事交通學(xué)院軍用車輛系， 天津 300161；2.天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 天津 300072；3.軍事交通學(xué)院訓(xùn)練部， 天津 300161)

引 言

階比跟蹤是工程實際中常用的旋轉(zhuǎn)機(jī)械變轉(zhuǎn)速過程信號分析方法，其基本思想是對滿足平穩(wěn)性要求的等角度采樣信號進(jìn)行頻譜分析，關(guān)鍵是要根據(jù)轉(zhuǎn)速信息將等時間采樣信號重采樣成等角度采樣信號，當(dāng)不具備轉(zhuǎn)速脈沖信號時，應(yīng)用受限。無轉(zhuǎn)速計階比分析根據(jù)振動信號估計轉(zhuǎn)速信息[1～4]，再等角度重采樣，該方法不需要安裝轉(zhuǎn)速采集裝置，能分析現(xiàn)場沒有同步采集轉(zhuǎn)速信號的離線振動信號，因此在旋轉(zhuǎn)機(jī)械變轉(zhuǎn)速過程分析中得到越來越廣泛的應(yīng)用[5～7]。

無轉(zhuǎn)速計階比分析的精度不如有轉(zhuǎn)速計階比分析，其影響因素有兩個：一是根據(jù)振動信號估計的瞬時頻率；二是根據(jù)估計的瞬時頻率計算的重采樣時刻。目前估計瞬時頻率方法是：通過搜索旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動信號的時頻譜圖峰值獲得某個階比分量的瞬時頻率[1,8]，進(jìn)而得到所需要的參考軸轉(zhuǎn)速，分析精度受到頻率分辨率的限制；基于多尺度線調(diào)頻基的稀疏信號分解方法能有效分解頻率呈曲線變化的多分量信號，并估計瞬時頻率，在文獻(xiàn)[9～12]中的應(yīng)用效果良好。計算重采樣時刻主要通過多項式擬合頻率函數(shù)，求解擬合頻率積分方程計算等角度時刻[6,13]，當(dāng)擬合精度不高或方程較復(fù)雜時，有時會出現(xiàn)無解、無實數(shù)解的現(xiàn)象。

為了解決上述問題，本文提出了一種基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform, FRFT)多尺度線調(diào)頻基稀疏信號分解的自適應(yīng)分段方法，對分段內(nèi)信號采用2階多項式擬合頻率函數(shù)，提高擬合精度，構(gòu)建積分逼近方法代替方程求解確定等角度重采樣時刻，解決方程無解、無實數(shù)解對階比計算的影響等問題。仿真和實測信號應(yīng)用表明，基于稀疏信號分解和分段擬合積分逼近的無轉(zhuǎn)速計階比方法分析效果令人滿意。

1 無轉(zhuǎn)速計階比分析原理及存在問題

1.1 無轉(zhuǎn)速計階比分析原理

無轉(zhuǎn)速計階比分析方法根據(jù)估計出的瞬時頻率，計算等角度采樣時刻，通過插值實現(xiàn)等角度重采樣，具體實現(xiàn)過程如下[5]:

(1)采用瞬時頻率估計方法，估計出參考軸瞬時頻率，對該瞬時頻率進(jìn)行多項式擬合，假設(shè)采用3階多項式擬合，則有

f(t)=at3+bt2+ct+d

(1)

(2)確定最大分析階次Omax；

(3)計算等角度采樣間隔Δθ，依據(jù)采樣定理，等角度采樣率需大于或等于最大分析階次的兩倍，因此

(2)

(4)計算重采樣后數(shù)據(jù)的長度N

(3)

式中T為采樣總時間，f(t)為頻率擬合函數(shù)。

(5)計算重采樣時刻Tn

式中T0為時間起點(diǎn)。求方程(5)的有效解，即可求得等角度重采樣時刻Tn。

(6)根據(jù)Tn對振動信號進(jìn)行插值，獲得等角度采樣信號，再進(jìn)行FFT變換，得到無轉(zhuǎn)速計的階比譜。

1.2 存在問題

從上述無轉(zhuǎn)速計階比分析原理可以看出，傳統(tǒng)無轉(zhuǎn)速階比方法的兩個關(guān)鍵步驟如下：

(1)對瞬時頻率進(jìn)行多項式擬合確定瞬時頻率函數(shù)。傳統(tǒng)無轉(zhuǎn)速計階比方法，多采用單一多項式對整個時間范圍進(jìn)行擬合，多項式階次越低，擬合精度較差，多項式階次越高，擬合精度有所提高，但方程(5)越復(fù)雜；分段擬合能降低擬合階次并保證擬合精度，但如何進(jìn)行分段才能使分?jǐn)?shù)段數(shù)量最少和擬合精度到達(dá)最好，是需要解決的關(guān)鍵問題。

(2)求解擬合頻率積分方程(4)的實數(shù)解確定等角度重采樣時刻。擬合多項式階次越高，方程(5)越復(fù)雜，越容易出現(xiàn)無解、無實數(shù)解等情況，導(dǎo)致得不到等角度采樣時刻，或等角度重采樣時刻不準(zhǔn)確。

因此傳統(tǒng)的無轉(zhuǎn)速計階比方法存在低階多項式擬合精度差，高階擬合頻率積分方程難求解的問題，導(dǎo)致階比分析無結(jié)果，或分析結(jié)果精度低。

2 基于稀疏信號分解和分段擬合積分逼近的無轉(zhuǎn)速計階比分析方法

2.1 基于FRFT的多尺度線調(diào)頻基稀疏信號分解

分?jǐn)?shù)階傅里葉變換可以解釋為信號在時頻平面內(nèi)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度后所構(gòu)成的分?jǐn)?shù)階域上的表示[14]，設(shè)某個線性調(diào)頻(Linear Frequency Modulation,LFM)分量的時頻分布與時間軸的夾角β，如圖1所示。只要分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)角度α與β正交，則該LFM信號會聚集在分?jǐn)?shù)階傅里葉域u0一點(diǎn)上，此時的α為FRFT最佳旋轉(zhuǎn)角度，對應(yīng)的階次p=2α/π為FRFT最佳階次。所以，按照一定階次步長Δp，對信號連續(xù)進(jìn)行p∈[0,2]的FRFT，如果信號具有LFM特性，就會在分?jǐn)?shù)階域坐標(biāo)u和分?jǐn)?shù)階次p構(gòu)成的(p,u)平面上出現(xiàn)峰值，如圖2所示，實現(xiàn)LFM信號的檢測。

圖1 LFM信號在分?jǐn)?shù)階域的能量聚集性

圖2 LFM信號FRFT幅度譜

基于FRFT確定基函數(shù)的多尺度線調(diào)頻基稀疏信號分解方法(Multi-scale chirplet sparse signal decomposition based on FRFT, MSCSD_FRFT)，具體分解流程如下：

(1)將長度為N的分析信號x(t)在不同的尺度系數(shù)j下，以N2-j為長度進(jìn)行等分，形成動態(tài)時間支撐區(qū)集合I=[kN2-j～(k+1)N2-j]，動態(tài)時間支撐區(qū)長度必須大于32，長度太小影響分析結(jié)果，所以j=0,1,…,log2N-5為分析尺度系數(shù)，k=0,1,…,2j-1；

(2)對各動態(tài)時間支撐區(qū)內(nèi)的信號xI(t)的FRFT幅值譜搜索峰值，確定基函數(shù)。如圖2中峰值點(diǎn)位置(p0,u0)，結(jié)合圖1中最佳階次、分?jǐn)?shù)階域聚集點(diǎn)與頻率偏置a、頻率斜率2b的坐標(biāo)關(guān)系，經(jīng)過反歸一化處理[7]，得到該動態(tài)時間支撐區(qū)基函數(shù)的頻率偏置a和頻率斜率2b為

(6)

式中fs為離散觀測數(shù)據(jù)的采樣頻率，t0為觀測時間，根據(jù)a，2b確定最佳基函數(shù)為

ha,b,I(t)=Ka,b,Ie-i(at+bt2)lI(t)

(7)

式中Ka,b,I為歸一化系數(shù)，使得‖ha,b,I‖=1；lI(t)為矩形窗函數(shù)，當(dāng)t∈I時為1，當(dāng)t?I時為0；

(3)將動態(tài)時間支撐區(qū)內(nèi)的信號xI(t)向該區(qū)間的基函數(shù)ha,b,I(t)投影得到投影系數(shù)βI，定義該動態(tài)時間支撐區(qū)下的分解信號為cI(t)：

βI=[xI(t),ha,b,I(t)]≈re-iφ/2

(8)

cI(t)=2|βI|e-i(at+bt2-angle(2βI))lI(t)

(9)

可見，分解信號cI(t)保留了信號的初始相位、幅值和頻率信息；

(4)連接動態(tài)時間支撐區(qū)，搜尋使分解信號能量最大的動態(tài)時間支撐區(qū)連接方法[15]，通過該連接方法形成的信號分量即為本次分解的信號分量；

(5)將分析信號減去分解信號分量，形成殘余信號；

(6)判斷殘余信號能量與分析信號能量之比是否小于終止分解閾值，若大于終止閾值，則將殘余信號作為新的分解信號重復(fù)(2)～(5)步，如果小于終止閾值則停止分解。

2.2 分段擬合確定頻率函數(shù)

圖3 基于稀疏信號分解的分段擬合

采集BJ2020S變速器置二檔變速過程振動信號，以輸入軸為參考的二檔嚙合頻率階比為12.03，采樣頻率40 kHz，采樣時間3.287 6 s。對振動信號進(jìn)行基于FRFT的多尺度線調(diào)頻基稀疏信號分解，分解出的二檔嚙合頻率曲線如圖3(a)所示?？梢钥闯龌贔RFT的多尺度線調(diào)頻基稀疏信號分解在頻率變化簡單區(qū)間選擇大尺度基函數(shù)分解，在頻率變化復(fù)雜區(qū)間選擇小尺度基函數(shù)分解，分解出的嚙合頻率較好地吻合了實際頻率特征。分解嚙合頻率對應(yīng)I1,I2,…,I6動態(tài)時間支撐區(qū)，由于各區(qū)間線性調(diào)頻基函數(shù)的瞬時頻率都是斜直線，在各區(qū)間端點(diǎn)連接處出現(xiàn)了鋸齒波動，為了更好地貼近實際頻率，對各區(qū)間分解頻率中間點(diǎn)進(jìn)行三次樣條插值，根據(jù)插值后的嚙合頻率和階比，計算出插值后的瞬時轉(zhuǎn)頻(嚙合頻率/12.03)，結(jié)果如圖3(b)所示，插值后的瞬時轉(zhuǎn)頻能更好地貼近實際轉(zhuǎn)頻。

從圖3可以看出，變速器變轉(zhuǎn)速過程頻率呈曲線不規(guī)則變化，不同的變轉(zhuǎn)速過程，頻率曲線變化也會不同。傳統(tǒng)無轉(zhuǎn)速計階比方法采用單個多項式對頻率區(qū)間進(jìn)行整體擬合，在整體趨勢和局部特征上難以兩全；當(dāng)頻率變化復(fù)雜時，即使多項式階次很高，也難以貼近頻率變化特征擬合，而且對于不同信號，必須重新選擇合適的多項式階次，缺乏自適應(yīng)性，工程實用性差。如果采用分段擬合，會適當(dāng)降低擬合多項式階次并保證擬合精度，但如何根據(jù)頻率變化特征，自適應(yīng)合理分段是需要解決的關(guān)鍵問題。

分析圖3(b)發(fā)現(xiàn)，在嚙合頻率分解信號對應(yīng)的動態(tài)時間支撐區(qū)I1,I2,…,I6內(nèi)，轉(zhuǎn)頻曲線變化比較簡單，有利于采用低階多項式準(zhǔn)確擬合。因此，本文提出了一種基于FRFT多尺度線調(diào)頻基稀疏信號分解的分段擬合方法，即根據(jù)稀疏信號分解出的嚙合頻率信號對應(yīng)的動態(tài)時間支撐區(qū)對插值后的轉(zhuǎn)頻曲線進(jìn)行分段，在各分段內(nèi)采用二階多項式擬合轉(zhuǎn)頻曲線，得到轉(zhuǎn)頻的分段擬合函數(shù)。該分段擬合方法的優(yōu)點(diǎn)在于：

(1)無論頻率如何復(fù)雜變化，基于FRFT的多尺度線調(diào)頻基稀疏信號分解都能貼近信號頻率變化特點(diǎn)自適應(yīng)地將信號分解在不同尺度的動態(tài)時間支撐區(qū)內(nèi)，根據(jù)該動態(tài)時間支撐區(qū)對轉(zhuǎn)頻進(jìn)行分段，既能保證各段內(nèi)信號頻率變化簡單，又能使分段數(shù)最少；

(2)分段內(nèi)頻率曲線近似線性變化，采用二階多項式就能準(zhǔn)確擬合；對于不同的變轉(zhuǎn)速過程信號，稀疏信號分解都能將信號自適應(yīng)分段成頻率變化簡單的若干段，不需要重新選擇合適的多項式階次，采用二階多項式都能準(zhǔn)確擬合，提高了工程實用性。

因此，基于FRFT多尺度線調(diào)頻基稀疏信號分解的分段擬合方法是一種自適應(yīng)尋優(yōu)分段擬合方法，有效克服了單個多項式整體擬合精度不高和自適應(yīng)差的問題，為分段擬合方法的合理分段探索了新的有效途徑。

2.3 積分逼近求解等角度采樣時刻

按照無轉(zhuǎn)速計階比分析原理，確定了頻率擬合函數(shù)fi(t)，就可以計算等角度重采樣時刻。要求圖4所示的區(qū)間Ii內(nèi)的等角度重采樣時刻Tn，需要求解擬合頻率積分方程(10)中的實數(shù)解。當(dāng)函數(shù)fi(t)階次較高時，會使其原函數(shù)Fi(t)階次較高，從而不容易求解以下方程，甚至沒有實數(shù)解，得不到準(zhǔn)確的重采樣時刻Tn。

圖4 區(qū)間Ii的積分逼近

(10)

式中fi(t)為區(qū)間Ii內(nèi)的擬合頻率函數(shù)，Nθi為區(qū)間Ii內(nèi)的等角度采樣點(diǎn)數(shù)，可由下式求出。

(11)

式中t1i,t2i為區(qū)間Ii的時間起點(diǎn)和終點(diǎn)，Δθ為等角度采樣間隔。

(12)

設(shè)區(qū)間Ii內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)為N，等時間采樣間隔為ts，將Ii細(xì)化等分成M份，令ts′=ts/M，逐一計算時刻Tj=t1i+jts′,j=1,2,…,MN下的積分值q(j)為

(13)

n=1,2,…,Nθi

(14)

式(14)表明q(kn)與d(n)最接近，兩者相差Δn，則可近似認(rèn)為Tkn就是區(qū)間Ii內(nèi)第n個等角度重采樣時刻，即Tn=Tkn，為了更準(zhǔn)確地逼近Tn，可以調(diào)整細(xì)化倍數(shù)M，M的選擇可權(quán)衡精度和計算量確定。以上就是基于積分逼近求解等角度重采樣時刻的原理，該方法不需要求解復(fù)雜方程，計算簡單、實現(xiàn)方便，無論頻率如何復(fù)雜變化，該方法都能求出等角度重采樣時刻，有效解決了擬合頻率積分方程難求解和方程無實數(shù)解對階比分析的影響。

綜合以上分析，歸納整理得基于稀疏信號分解和分段擬合積分逼近的無轉(zhuǎn)速計階比(Order spectrum with no tachometer based on MSCSD_FRFT and segmental fitting-integral approach，OSNT_MSFIA)算法流程如下：

(1)采用基于FRFT的多尺度線調(diào)頻基稀疏信號分解對振動信號進(jìn)行分解，對分解出的嚙合頻率中間點(diǎn)進(jìn)行三次樣條插值，根據(jù)插值后的嚙合頻率計算瞬時轉(zhuǎn)頻；

(2)根據(jù)嚙合頻率對應(yīng)的動態(tài)時間支撐區(qū)Ii,i=1,2,…，NI(NI為分解頻率對應(yīng)的動態(tài)時間支撐區(qū)個數(shù))，對瞬時轉(zhuǎn)頻進(jìn)行分段，并在各段內(nèi)進(jìn)行2多項式擬合，得出轉(zhuǎn)頻分段函數(shù)fi(t)；

(3)確定最大分析階次Omax，計算等角度采樣間隔Δθ≤π/Omax；

(4)計算區(qū)間Ii內(nèi)等角度重采樣后數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)Nθi；

(5)積分逼近求解等角度重采樣時刻Tn=Tkn；

(6)根據(jù)Tn對振動信號進(jìn)行插值，實現(xiàn)等角度重采樣，對等角度重采樣后信號進(jìn)行FFT，得到基于稀疏信號分解和分段擬合積分逼近的無轉(zhuǎn)速計階比譜。

3 仿真分析

本算例以頻率曲線變化的仿真信號，驗證基于單個多項式整體擬合并求解擬合頻率積分方程確定等角度重采樣時刻的傳統(tǒng)階比譜的局限性，檢驗基于稀疏信號分解和分段擬合積分逼近的新階比的正確性和準(zhǔn)確性。設(shè)仿真信號為

x=[cos(4π(t6+2t3/3+3t2+30t))+1]×1.5cos(10π(t6+2t3/3+3t2+30t))

(15)

仿真轉(zhuǎn)頻為

f(t)=t5+2t2+6t+30

(16)

仿真齒數(shù)為5，信號x被2倍轉(zhuǎn)頻調(diào)制，信號中包含階比為3，5，7的三個階比分量。采樣頻率為1 024 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為2 048點(diǎn)。對仿真信號x進(jìn)行基于FRFT的多尺度線調(diào)頻基稀疏信號分解，分解出的嚙合頻率曲線如圖5(a)中實線所示，與實際嚙合頻率較好吻合；中間點(diǎn)插值后的嚙合頻率如圖5(b)中實線所示，很好地貼近了實際嚙合頻率。

圖5 方程求解階比譜和分段擬合積分逼近階比譜對比

根據(jù)插值嚙合頻率和仿真齒數(shù)計算出插值轉(zhuǎn)頻，分別對插值轉(zhuǎn)頻進(jìn)行2，3階多項式整體擬合，結(jié)果如圖5(c)所示；根據(jù)分解嚙合頻率對應(yīng)的動態(tài)時間支撐區(qū)，對插值轉(zhuǎn)頻進(jìn)行分段，在各段內(nèi)用2階多項式進(jìn)行擬合，分段擬合結(jié)果如圖5(d)中虛線所示，整體擬合和分段擬合的誤差(絕對誤差)分析如表1所示。

結(jié)合圖5(c),(d)和表1可以看出，整體擬合時2階多項式擬合誤差較大，3階多項式擬合效果較好；分段擬合的結(jié)果幾乎與插值頻率重合，誤差最小，證明了基于稀疏信號分解的分段擬合的準(zhǔn)確性。

表1 單一多項式整體擬合與分段擬合誤差分析

根據(jù)2階多項式整體擬合結(jié)果計算階比譜，結(jié)果如圖5(e)所示。圖中3個峰值階次為3.087，4.748和6.634，與理論階次3，5，7相差較大，這是2階多項式擬合精度低造成的階次模糊現(xiàn)象；根據(jù)3階多項式整體擬合結(jié)果計算階比譜，在求解個別等角度時刻時出現(xiàn)了方程無解或復(fù)數(shù)解，無法得到階比譜。可見，基于單個多項式整體擬合和求解擬合頻率積分方程的階比方法具有局限性，即低階多項式擬合精度低，階次模糊，高階多項式擬合精度高，擬合頻率積分方程難求解。

根據(jù)基于稀疏信號分解的分段擬合結(jié)果進(jìn)行積分逼近，求取等角度重采樣時刻，計算階比譜，結(jié)果如圖5(f)所示，圖中2.964，4.929，6.894三個階比峰值獨(dú)立而突出，分別對應(yīng)理論階次3，5，7。證明了基于稀疏信號分解和分段擬合積分逼近的無轉(zhuǎn)速計階比的正確性和準(zhǔn)確性。

4 實例應(yīng)用

試驗對象為BJ2020S變速器輸出軸軸承，試驗裝置構(gòu)成如圖6所示。電動機(jī)模擬發(fā)動機(jī)驅(qū)動變速器，發(fā)電機(jī)模擬負(fù)載。輸出軸承型號為50307，采用電火花在軸承外圈上加工坑點(diǎn)模擬早期剝落故障，以輸入軸為參考軸，外圈故障特征階比為1.132。采樣頻率40 kHz，采樣時間3.287 6 s。

圖6 試驗裝置構(gòu)成

為了驗證本方法分析實測振動信號的效果，對BJ2020S變速器置二檔時的變轉(zhuǎn)速過程振動信號進(jìn)行分析。分解出的二檔嚙合頻率曲線如圖7(a)所示；根據(jù)插值后的分解嚙合頻率計算出瞬時轉(zhuǎn)頻，結(jié)果如圖7(b)所示，很好地貼近了實際轉(zhuǎn)頻；對瞬時頻率進(jìn)行2，3，4階多項式整體擬合，結(jié)果如圖7(c)所示，都沒能很好地貼近瞬時轉(zhuǎn)頻，尤其是在端點(diǎn)處誤差更大。由于低階多項式擬合的階比譜會出現(xiàn)階次模糊，高階擬合頻率積分方程難求解，無法得到階比譜，因此無法對傳統(tǒng)階比譜進(jìn)行解調(diào)判斷軸承有無故障。為了更好地檢驗本文方法的有效性，將基于稀疏信號分解和分段擬合積分逼近的階比解調(diào)譜與有轉(zhuǎn)速計的實際階比解調(diào)譜進(jìn)行對比。

圖7 實測信號分段擬合積分逼近階比譜

對瞬時轉(zhuǎn)頻進(jìn)行基于稀疏信號分解的分段擬合，結(jié)果如圖7(d)所示，分段擬合頻率很好地吻合了瞬時頻率，證明了分段擬合的準(zhǔn)確性；根據(jù)分段擬合結(jié)果，對各區(qū)間進(jìn)行積分逼近求取等角度重采樣時刻，對等角度重采樣信號進(jìn)行階比解調(diào)分析，結(jié)果如圖7(e)所示，圖中1.135及其倍頻階次處出現(xiàn)明顯峰值，與外圈特征階次1.132非常接近，有效提取出了外圈故障特征階次；根據(jù)轉(zhuǎn)速脈沖信號計算的階比解調(diào)譜如圖7(f)所示，圖中1.133及其倍頻階次處出現(xiàn)明顯峰值，與外圈故障特征階次1.132對應(yīng)，可見圖7(e)，(f)都有效反映了外圈故障特征階次信息，證明了基于稀疏信號分解和分段擬合積分逼近的無轉(zhuǎn)速計階比方法分析實測信號的有效性，雖然與有轉(zhuǎn)速計階比相比精度略有差異，但已經(jīng)能滿足故障特征提取要求。

5 結(jié) 論

(1)根據(jù)稀疏信號分解嚙合頻率對應(yīng)的動態(tài)時間支撐區(qū)對轉(zhuǎn)頻進(jìn)行分段，各區(qū)間內(nèi)頻率變化簡單，分段數(shù)最少，是一種自適應(yīng)尋優(yōu)分段方法；

(2)在嚙合頻率分解區(qū)間內(nèi)瞬時轉(zhuǎn)頻變化簡單，只需要采用2多項式就能準(zhǔn)確擬合，無論頻率如何復(fù)雜變化，該方法都能高精度擬合，對于不同信號不需要重復(fù)選擇合適的多項式階次，有效解決了單個多項式整體擬合精度不高、缺乏自適應(yīng)性的問題；

(3)求解擬合頻率積分方程確定等角度重采樣時刻，受方程有無根、有無實根的影響，不易獲取準(zhǔn)確等角度重采樣時刻，影響階比分析精度；采用積分逼近方法，不需要求解方程，對任意信號都能求出等角度重采樣時刻，有效解決了方程根影響等角度重采樣時刻的問題；

(4)瞬時頻率準(zhǔn)確估計和等角度時刻準(zhǔn)確計算是無轉(zhuǎn)速計階比分析的關(guān)鍵步驟，基于稀疏信號分解的分段擬合積分逼近能更準(zhǔn)確實現(xiàn)兩個關(guān)鍵步驟，為無轉(zhuǎn)速計條件下旋轉(zhuǎn)機(jī)械變轉(zhuǎn)速過程階比分析探索了一條新途徑。

參考文獻(xiàn)：

[1] 郭瑜，秦樹人，湯寶平，等.基于瞬時頻率估計的旋轉(zhuǎn)機(jī)械階比跟蹤[J].機(jī)械工程學(xué)報，2003,39(3):32—36.Guo Yu, Qin Shuren, Tang Baoping, et al. Order tracking of rotating machinery based on instantaneous frequency estimation[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2003,39(3):32—36.

[2] 郭瑜，秦樹人.無轉(zhuǎn)速計旋轉(zhuǎn)機(jī)械升降速振動信號零相位階比跟蹤濾波[J].機(jī)械工程學(xué)報，2004,40(3):50—54.Guo Yu, Qin Shuren. Tacholess order tracking filtering for run-up or coast down vibration signal of rotating machinery based on zero-phase distortion digital filtering[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2004,40(3):50—54.

[3] Yang J M,Qin S R,Zhong J, et a1.Development of virtual instrument in characteristic analysis of rotating machinery based on instantaneous frequency estimation[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2004,17(4):490—493.

[4] Wu J D,Huang C W,Huang R W.An application of a recursive Kalman filtering algorithm in rotating machinery fault diagnosis[J].NDT & E International,2004, 37(5):411—419.

[5] 任凌志，于德介，彭富強(qiáng)，等.基于多尺度線調(diào)頻基稀疏信號分解的齒輪故障信號階比分析[J]. 機(jī)械工程學(xué)報，2011,47(13):92—97.Ren Lingzhi, Yu Dejie, Peng Fuqiang, et al. Order analysis of gear fault signals based on multi-scale chirplet and sparse signal decomposition[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2011,47(13):92—97.

[6] 陳向民，于德介，任凌志，等. 基于線調(diào)頻小波路徑追蹤階比能量解調(diào)的齒輪輪齒裂紋故障診斷[J]. 中國機(jī)械工程，2011,22(11):2 598—2 603.Chen Xiangmin, Yu Dejie, Ren Lingzhi, et al. Order energy demodulating approach based on chirplet path pursuit and its application to gear tooth crack fault diagnosis[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2011, 22(11):2 598—2 603.

[7] 鄧?yán)?，傅煒娜，董紹江，等. 無轉(zhuǎn)速計的旋轉(zhuǎn)機(jī)械Vold-Kalman階比跟蹤研究[J]. 振動與沖擊，2011,30(3):5—9.Deng Lei, Fu Weina, Dong Shaojiang, et al. Tacholess Vold-Kalman order tracking of rotating machinery[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011,30(3):5—9.

[8] 趙曉平，張令彌，郭勤濤.基于瞬時頻率估計的自適應(yīng)Vold-Kalman階比跟蹤研究[J].振動與沖擊，2008, 27 (12):112—116.Zhao Xiaoping, Zhang Lingmi, Guo Qintao. Adaptive Vold-Kalman order tracking based on instantaneous frequency estimation[J].Journal of Vibration and Shock, 2011,30(3):5—9.

[9] 彭富強(qiáng)，于德介，劉堅. 一種基于多尺度線調(diào)頻基的稀疏信號分解方法[J]. 振動工程學(xué)報，2010，23(3):333—338.Peng Fu-qiang, Yu De-jie, Liu Jian. Sparse signal decomposition method based on multi-scale chirplet[J]. Journal of Vibration Engineering , 2010,23(3):333—338.

[10] 彭富強(qiáng)，于德介，羅潔思. 基于多尺度線調(diào)頻基稀疏信號分解的齒輪故障診斷[J]. 中國機(jī)械工程，2009,20(14):1 726—1 730.Peng Fu-qiang, Yu De-jie, Luo Jie-si. Sparse signal decomposition method based on multi-scale chirplet and its application to gear fault diagnosis [J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2009,20(14):1 726—1 730.

[11] 任凌志，于德介. 基于多尺度線調(diào)頻基稀疏信號分解的齒輪故障信號階比分析[J]. 機(jī)械工程學(xué)報，2011,47(13):92—97.Ren Ling-zhi, Yu De-jie. Order analysis of gear fault signals based on multi-scale chirplet and sparse signal decomposition [J]. Journal of Mechanical Engineering, 2011,47(13):92—97.

[12] 彭富強(qiáng)，于德介. 基于多尺度線調(diào)頻基稀疏信號分解的軸承故障診斷[J]. 機(jī)械工程學(xué)報，2010,46(7):88—94.Peng Fu-qiang, Yu De-jie. Sparse signal decomposition method based on multi-scale chirplet and its application to bearing fault diagnosis [J]. Journal of Mechanical Engineering, 2010,46(7):88—94.

[13] 皮維，于德介，彭富強(qiáng)，等. 基于多尺度線調(diào)頻基稀疏信號分解的包絡(luò)階次譜在齒輪故障診斷中的應(yīng)用[J]. 中國機(jī)械工程，2011,22(1):69—73.Pi Wei, Yu Dejie, Peng Fuqiang, et al. Application of envelope order spectrum based on multi-scale chirplet and sparse signal decomposition to gearbox fault diagnosis[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2011,22(1):69—73.

[14] 陶然. 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換及其應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2009:3—7.Tao Ran. Fractional Fourier Transform and Its Applications[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2009:3—7.

[15] Candès E J, Charlton P R, Helgason H. Detecting highly oscillatory signals by chirplet path pursuit[J]. Applied and Computational Harmonic Analysis, 2008,24(1):14—40.