王 冰， 李洪儒， 許葆華

(軍械工程學(xué)院導(dǎo)彈工程系， 河北 石家莊 050003)

引 言

滾動(dòng)軸承是旋轉(zhuǎn)機(jī)械中的關(guān)鍵性元件，由于長(zhǎng)期受到載荷、安裝、潤(rùn)滑狀態(tài)等因素的影響，軸承極易受到損傷，進(jìn)而影響整個(gè)機(jī)械設(shè)備的性能。因此，軸承一直都是設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測(cè)與故障診斷領(lǐng)域的熱門研究對(duì)象[1]。

隨著維修理論的發(fā)展，基于狀態(tài)的維修越來(lái)越得到人們關(guān)注。故障預(yù)測(cè)技術(shù)是實(shí)現(xiàn)基于狀態(tài)維修的關(guān)鍵。主要包括三個(gè)方面：運(yùn)行狀態(tài)的特征提?。煌嘶癄顟B(tài)識(shí)別；故障預(yù)測(cè)[2，3]。其中，運(yùn)行狀態(tài)特征提取是實(shí)現(xiàn)退化狀態(tài)識(shí)別和故障預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)，直接影響退化狀態(tài)識(shí)別的準(zhǔn)確性和故障預(yù)測(cè)的可信性[4]。其著眼點(diǎn)在于特征信息對(duì)設(shè)備性能退化程度的量化反應(yīng)能力，而非對(duì)不同故障模式的區(qū)分能力。文獻(xiàn)[4，5]提取并選取小波相關(guān)特征尺度熵作為預(yù)測(cè)特征指標(biāo)；文獻(xiàn)[6，7]以小波包分解后的節(jié)點(diǎn)能量作為特征向量，定量評(píng)估樣本的退化程度；文獻(xiàn)[8]將通過(guò)循環(huán)平穩(wěn)分析得到的組合切片累積能量作為預(yù)測(cè)特征值，均取得了較好的效果。

滾動(dòng)軸承故障振動(dòng)信號(hào)是一種典型的非平穩(wěn)、非線性信號(hào)。分形維數(shù)則可以定量描述其復(fù)雜性和非線性。常見(jiàn)的分形維數(shù)有關(guān)聯(lián)維數(shù)、盒維數(shù)、信息維數(shù)等，其中，盒維數(shù)應(yīng)用最為廣泛[9]。但由于現(xiàn)有的盒維數(shù)估計(jì)方法不準(zhǔn)確[10]，文獻(xiàn)[11]提出一種基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的分形維數(shù)計(jì)算方法，該方法計(jì)算量小，計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定且準(zhǔn)確，已在軸承故障診斷領(lǐng)域得到了有效的應(yīng)用[12，13]。

本文在基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的分形維數(shù)計(jì)算方法基礎(chǔ)上，提出三種形態(tài)學(xué)分形維數(shù)廣義估算方法，以FBM仿真信號(hào)為例對(duì)其準(zhǔn)確性和適用性進(jìn)行分析。以此為基礎(chǔ)，提出基于數(shù)學(xué)形態(tài)分形維數(shù)與灰色關(guān)聯(lián)分析的退化狀態(tài)識(shí)別方法。并采用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)該方法進(jìn)行驗(yàn)證。

1 基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的分形維數(shù)計(jì)算方法

分形維數(shù)可以定量描述分形對(duì)象的復(fù)雜程度。在各種分形維數(shù)中，盒維數(shù)的應(yīng)用最為廣泛。然而盒維數(shù)的計(jì)算過(guò)程由于對(duì)信號(hào)進(jìn)行規(guī)則的網(wǎng)格劃分，因此影響了估算的精度[10]。針對(duì)此問(wèn)題，文獻(xiàn)[11]提出一種基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的分形維數(shù)估計(jì)方法。具體過(guò)程如下。

假設(shè)離散時(shí)間信號(hào)為f(n)，n=1,2,…,N，單位結(jié)構(gòu)元素為g，則在尺度ε下所使用的結(jié)構(gòu)元素定義為[14]

(1)

定義尺度ε對(duì)信號(hào)的覆蓋面積為

(2)

根據(jù)文獻(xiàn)[6]證明，覆蓋面積滿足如下條件

(3)

2 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的分形維數(shù)廣義估算方法

2.1 基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的分形維數(shù)廣義估算方法

從幾何意義上分析，在上述方法中，由式(2)所定義的形態(tài)學(xué)覆蓋面積是為信號(hào)f(n)以結(jié)構(gòu)元素εg進(jìn)行膨脹和腐蝕運(yùn)算后的差分，即形態(tài)梯度，本文稱該方法為基于形態(tài)梯度的形態(tài)覆蓋定義方法。為了分析其他形態(tài)學(xué)算子在形態(tài)學(xué)覆蓋定義中的有效性，本文提出3種形態(tài)學(xué)覆蓋廣義定義，其表達(dá)式如下：

(4)

(5)

(6)

根據(jù)覆蓋面積的定義方式，式(4)～(6)分別定義為基于形態(tài)膨脹、形態(tài)腐蝕和形態(tài)差值的形態(tài)學(xué)覆蓋。

以形態(tài)學(xué)覆蓋面積的廣義定義為基礎(chǔ)，通過(guò)最小二乘線性擬合即可得到對(duì)信號(hào)分形維數(shù)的廣義估計(jì)。

2.2 仿真分析

為了驗(yàn)證三種形態(tài)學(xué)覆蓋廣義定義在計(jì)算中的有效性，采用FBM信號(hào)進(jìn)行仿真分析。分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)(FBM)是描述時(shí)間(或空間)長(zhǎng)程相關(guān)、功率譜滿足指數(shù)規(guī)律、增量服從正態(tài)分布的非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型之一，是用來(lái)描述自然界隨機(jī)分形一種常用的分形模型，滿足如下定義[15]

(7)

式中k為常量，ξ為標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機(jī)過(guò)程。H(0

本文采用分形工具箱Fraclab中的函數(shù)fbmlevinson來(lái)生成BH(t)[16]，采樣頻率為f=2 048 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為N=2 048，圖1顯示了3種不同維數(shù)(D=1.1，1.5，1.9)下的FBM分形信號(hào)。

圖1 不同分形維數(shù)下的FBM時(shí)域波形

分別根據(jù)原定義和3種廣義估算方法計(jì)算FBM信號(hào)分形維數(shù)。選擇扁平結(jié)構(gòu)元素g=[0,0,0]，尺度進(jìn)行離散化設(shè)置，取值為[2,4,8,16,32,64,128,256]。

圖2對(duì)比了在4種形態(tài)學(xué)覆蓋的定義下，對(duì)D=1.1的FBM信號(hào)進(jìn)行尺度為64時(shí)的形態(tài)學(xué)覆蓋結(jié)果。在圖2(a)所示的原定義中，形態(tài)學(xué)覆蓋為膨脹和腐蝕之間所包含的區(qū)域，而其上覆蓋和下覆蓋分別為圖2(b)和(c)所描述的基于形態(tài)膨脹和形態(tài)腐蝕的形態(tài)學(xué)覆蓋。對(duì)比分析同一尺度下的形態(tài)學(xué)覆蓋面積大小，圖2(a)覆蓋最大，圖2(b)和(c)次之，圖2(d)中所定義的形態(tài)差值覆蓋最小。

圖2 尺度為64時(shí)的不同定義下的形態(tài)學(xué)覆蓋

圖3描述了形態(tài)學(xué)覆蓋面積與結(jié)構(gòu)元素尺度的變化關(guān)系。可以看出，尺度越大，形態(tài)學(xué)覆蓋面積越大。4種方法相比，基于形態(tài)梯度的原定義覆蓋面積最大，分析其原因，基于形態(tài)膨脹和形態(tài)腐蝕的定義分別用上覆蓋和下覆蓋代替原有覆蓋，導(dǎo)致覆蓋面積減小。基于形態(tài)差值的定義采用形態(tài)閉和開(kāi)運(yùn)算，運(yùn)算量加倍，覆蓋面積最小。

圖3 不同離散尺度下形態(tài)學(xué)覆蓋面積變化趨勢(shì)圖

由于分形維數(shù)是通過(guò)對(duì)覆蓋面積和尺度的最小二乘線性擬合而計(jì)算出的，因此形態(tài)覆蓋面積的變化趨勢(shì)影響著算法的有效性。從圖3可以看出，4種曲線具有近似的變化趨勢(shì)，從定性上分析，3種廣義估算方法是可行的。下面將進(jìn)行定量對(duì)比分析。

表1為4種定義方法對(duì)FBM信號(hào)分形維數(shù)的定量估計(jì)值和相對(duì)誤差。實(shí)驗(yàn)所采用計(jì)算機(jī)配置為Intel(R) Core i5-2400 CPU @3.10 GHz，內(nèi)存為4 GB，軟件為Matlab R2010b。

表1 FBM信號(hào)的分形維數(shù)估計(jì)

可以看出，基于形態(tài)差值的定義方法計(jì)算結(jié)果明顯偏低，誤差較大，耗時(shí)較長(zhǎng)。而基于形態(tài)膨脹和形態(tài)腐蝕的方法與原算法相比，計(jì)算精度相當(dāng)，誤差均較低。并且由于單次運(yùn)算只進(jìn)行一次腐蝕或膨脹操作，計(jì)算量減半，運(yùn)算速度更快。

綜上分析，基于形態(tài)膨脹和形態(tài)腐蝕的分形維數(shù)廣義估算方法在運(yùn)算精度方面與原算法相當(dāng)，運(yùn)算速度更快，可以在實(shí)際中替代原算法。基于形態(tài)差值的分形維數(shù)廣義估算方法效率精度較低，運(yùn)算速度較慢，不適合實(shí)際運(yùn)用。

3 基于分形維數(shù)和灰色關(guān)聯(lián)分析的軸承退化狀態(tài)識(shí)別

3.1 基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)分形維數(shù)的特征提取

如何選取能夠表征軸承性能退化程度的特征指標(biāo)，是對(duì)軸承進(jìn)行性能退化狀態(tài)識(shí)別的基礎(chǔ)。所選取的特征指標(biāo)應(yīng)具有良好的穩(wěn)定性和關(guān)聯(lián)性。穩(wěn)定性是指該指標(biāo)應(yīng)對(duì)工況變化以及環(huán)境噪聲具有很強(qiáng)的抗干擾能力；關(guān)聯(lián)性是指該指標(biāo)的變化趨勢(shì)應(yīng)與設(shè)備的性能退化過(guò)程具有相關(guān)聯(lián)，隨性能的退化表現(xiàn)出單調(diào)性的變化趨勢(shì)。

從軸承振動(dòng)信號(hào)的本質(zhì)分析，其信號(hào)在全壽命周期中的變化過(guò)程，就是其內(nèi)部隨機(jī)成分所占比例不斷變化的過(guò)程。因此，提出基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)分形維數(shù)的特征提取方法，用可以表征分形對(duì)象復(fù)雜度的分形維數(shù)表征軸承的性能退化程度。

為了該方法的有效性，采用仿真信號(hào)進(jìn)行分析[17]

(8)

式中 0.1t2cos(2π×10t+2)為故障模擬信號(hào)，cos(2π×50t)為常規(guī)振動(dòng)信號(hào)，n(t)代表高斯噪聲，幅值0.1t2用來(lái)近似反映故障隨時(shí)間的變化過(guò)程。信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)為N=10 240，采樣頻率為1 024 Hz。為了研究白噪聲的影響，分別設(shè)定3種噪聲強(qiáng)度1，3，6，圖4顯示了噪聲強(qiáng)度為1時(shí)的仿真信號(hào)時(shí)域波形。

圖4 仿真信號(hào)時(shí)域波形

將信號(hào)等分為10段并順序標(biāo)記，用10組數(shù)據(jù)近似描述仿真信號(hào)故障程度不斷加深的性能退化過(guò)程。采用基于形態(tài)膨脹的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)分形維數(shù)計(jì)算方法計(jì)算每一組數(shù)據(jù)的分形維數(shù)。選擇扁平型單位結(jié)構(gòu)元素g=[0,0,0]，尺度為[2,4,8,16,32,64,128,256]，不同噪聲強(qiáng)度下的仿真信號(hào)分形維數(shù)變化趨勢(shì)如圖5所示。

圖5 不同噪聲強(qiáng)度下分形維數(shù)變化趨勢(shì)圖

可以看出，隨著故障程度的不斷加深，基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的分形維數(shù)數(shù)值不斷減小，其值在區(qū)間[1.2,1.58]內(nèi)變化，呈現(xiàn)出遞減的趨勢(shì)。且在故障初期變化緩慢，分析認(rèn)為這與仿真信號(hào)以0.1t2進(jìn)行幅值變化緊密相關(guān)。另外，隨著噪聲強(qiáng)度的不斷加強(qiáng)，其中，當(dāng)噪聲強(qiáng)度為1時(shí)，分形維數(shù)的數(shù)值在區(qū)間[1.48,1.72]內(nèi)變化，噪聲強(qiáng)度為6時(shí)，其數(shù)值在區(qū)間[1.6,1.78]范圍內(nèi)變化，可見(jiàn)，噪聲強(qiáng)度越大，形態(tài)分形維數(shù)的計(jì)算結(jié)果越大，但從整體而言，依然保持遞減趨勢(shì)。綜上分析，基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的分形維數(shù)與性能退化過(guò)程具有較好的關(guān)聯(lián)性，并且對(duì)噪聲具有一定的抗干擾能力。

為了增強(qiáng)預(yù)測(cè)特征向量的完備性，本文另選取已在文獻(xiàn)[18]中驗(yàn)證的峰值、峰峰值、有效值3個(gè)故障預(yù)測(cè)特征參數(shù)，以此構(gòu)成對(duì)電機(jī)軸承性能退化狀態(tài)識(shí)別的四維預(yù)測(cè)特征向量。

3.2 性能退化狀態(tài)識(shí)別

性能退化狀態(tài)識(shí)別是一種多類分類問(wèn)題，與故障模式識(shí)別側(cè)重于對(duì)多故障類型分類不同，性能退化狀態(tài)識(shí)別更強(qiáng)調(diào)對(duì)性能退化狀態(tài)的分類?；疑P(guān)聯(lián)分析是灰色系統(tǒng)理論進(jìn)行系統(tǒng)分析的重要方法，它是根據(jù)系統(tǒng)各個(gè)因素之間的內(nèi)部聯(lián)系或發(fā)展態(tài)勢(shì)的相似程度來(lái)度量因素之間關(guān)聯(lián)度的方法[14]。本節(jié)在前文基礎(chǔ)上提出基于分形維數(shù)和灰色關(guān)聯(lián)分析的軸承性能退化狀態(tài)識(shí)別方法。其步驟如圖6所示。

圖6 基于分形維數(shù)和灰色關(guān)聯(lián)分析的軸承退化狀態(tài)識(shí)別流程圖

首先確定樣本對(duì)象，將性能退化過(guò)程振動(dòng)信號(hào)分為標(biāo)準(zhǔn)退化實(shí)驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)和待識(shí)別樣本實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。之后按照性能退化的程度將性能退化過(guò)程分為n個(gè)退化狀態(tài)，分別提取每個(gè)退化狀態(tài)下的特征向量，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行歸一化處理。特征向量記為F={F1,F2,…,Fi}，其中i為向量中特征參數(shù)的個(gè)數(shù)。本文取i=4。在此基礎(chǔ)上，建立標(biāo)準(zhǔn)退化模式矩陣和待識(shí)別樣本特征向量矩陣。計(jì)算待識(shí)別樣本特征向量與標(biāo)準(zhǔn)模式退化模式矩陣的灰色關(guān)聯(lián)度，關(guān)聯(lián)度最大值即為待識(shí)別樣本的性能退化狀態(tài)。

4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文所提方法在電機(jī)滾動(dòng)軸承性能退化狀態(tài)識(shí)別中的有效性，采用美國(guó)凱斯西儲(chǔ)大學(xué)電氣工程實(shí)驗(yàn)室的滾動(dòng)軸承振動(dòng)加速度實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)例分析[19]。測(cè)試軸承為SKF6205-2RS深溝球軸承，采樣頻率為48 kHz。轉(zhuǎn)速為1 730 r/min，載荷為2.25 kW。以4種不同故障程度的軸承內(nèi)圈和外圈振動(dòng)信號(hào)近似模擬內(nèi)外圈由正常狀態(tài)逐漸經(jīng)歷一系列不同的退化狀態(tài)直至完全失效的這一性能退化過(guò)程。故障程度通過(guò)軸承內(nèi)外圈點(diǎn)蝕的直徑來(lái)描述。分別以直徑0，0.18，0.36，0.54 mm的點(diǎn)蝕故障模擬軸承內(nèi)外圈正常狀態(tài)、輕度故障、中度故障、重度故障4種工作狀態(tài)。

選取軸承內(nèi)外圈在4種工作狀態(tài)下的振動(dòng)加速度數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為6 000，分別記為Si(i=1,…，4)，Ti(i=1,…，4)，其中i為軸承工作狀態(tài)序號(hào)，以此作為軸承內(nèi)外圈標(biāo)準(zhǔn)性能退化實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)；另外選取內(nèi)外圈在4種工作狀態(tài)下長(zhǎng)度為1 000的振動(dòng)加速度數(shù)據(jù)，分別記為Xij(i=1,…，4;j=1,…，10)，Yij(i=1,…，4;j=1,…，10)，其中i為軸承工作狀態(tài)序號(hào)，j為待識(shí)別樣本序號(hào)，以此作為軸承內(nèi)圈和外圈的待識(shí)別樣本數(shù)據(jù)。

圖7 滾動(dòng)軸承內(nèi)圈在4種工作狀態(tài)下振動(dòng)信號(hào)時(shí)域波形

圖7為軸承內(nèi)圈在4種工作狀態(tài)下的振動(dòng)加速度數(shù)據(jù)Si的原始時(shí)域波形。由圖中可以明顯看出，4種狀態(tài)下的軸承振動(dòng)信號(hào)在時(shí)域結(jié)構(gòu)上具有較為明顯的差異。正常信號(hào)呈現(xiàn)出幾乎隨機(jī)性的分布，隨著內(nèi)圈故障程度的不斷加深，信號(hào)的規(guī)律性明顯增強(qiáng)，幅值也不斷增大。

4.1 特征提取

采用3.1節(jié)提出的特征提取方法，分別計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)性能退化實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(Si，Ti)和待識(shí)別樣本數(shù)據(jù)(Xij，Yij)的特征向量，建立標(biāo)準(zhǔn)退化模式矩陣和待識(shí)別樣本特征向量矩陣。圖8(a)和(b)分別為經(jīng)歸一化處理后的軸承內(nèi)外圈標(biāo)準(zhǔn)性能退化實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)特征參數(shù)。其中，橫坐標(biāo)代表不同的性能退化程度，序號(hào)1，2，3，4分別代表軸承內(nèi)外圈正常狀態(tài)、輕度故障、中度故障、重度故障4種工作狀態(tài)。

可以看出，隨著軸承內(nèi)外圈的故障程度的不斷加深，4個(gè)特征參量均發(fā)生明顯的關(guān)聯(lián)性變化，分形

圖8 軸承內(nèi)外圈標(biāo)準(zhǔn)性能退化實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)特征參數(shù)

維數(shù)隨著故障退化程度的加深而不斷減小，峰值、峰峰值和有效值隨著故障退化程度的加深而不斷增加。且分形維數(shù)的分布更加平均，區(qū)分效果更好，有效值的效果次之，峰值和峰峰值對(duì)輕度和重度故障的區(qū)分效果不明顯。

4.2 灰色關(guān)聯(lián)分析與退化狀態(tài)識(shí)別

根據(jù)特征提取結(jié)果，分別建立軸承內(nèi)外圈的標(biāo)準(zhǔn)退化模式矩陣Fin和Fout，軸承內(nèi)外圈待識(shí)別樣本特征向量矩陣Aij(i=1,…,4;j=1,…,10),Bij(i=1,…,4;j=1,…,10)，其中i為實(shí)際軸承工作狀態(tài)序號(hào)，j為待識(shí)別樣本序號(hào)。

分別計(jì)算Aij與Fin,Bij與Fout的灰色關(guān)聯(lián)度，分辨系數(shù)ρ=0.5。根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)度的大小識(shí)別待識(shí)別樣本的性能退化狀態(tài)。圖9(a)～(d)顯示了不同內(nèi)圈退化狀態(tài)樣本的識(shí)別結(jié)果?？梢钥闯觯卸群椭囟裙收蠣顟B(tài)測(cè)試樣本中各有2個(gè)未被正確識(shí)別外，其余各個(gè)樣本均可被正確識(shí)別。其總體狀態(tài)識(shí)別成功率達(dá)到90%；在圖10(a)～(d)所顯示的軸承外圈故障性能退化狀態(tài)識(shí)別結(jié)果中，除重度故障狀態(tài)測(cè)試樣本有2個(gè)樣本未被正確識(shí)別外，其余各個(gè)樣本均被正確的識(shí)別。其總體狀態(tài)識(shí)別成功率達(dá)到95%。由此可見(jiàn)，在軸承內(nèi)外圈性能退化狀態(tài)識(shí)別中，基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)分形維數(shù)與灰色關(guān)聯(lián)分析的方法可以達(dá)到較高的識(shí)別率，效果理想。

圖9 軸承內(nèi)圈測(cè)試樣本Xij退化狀態(tài)識(shí)別結(jié)果

圖10 軸承外圈測(cè)試樣本Yij退化狀態(tài)識(shí)別結(jié)果

5 結(jié) 論

(1)基于形態(tài)膨脹、形態(tài)腐蝕、形態(tài)差值的分形維數(shù)廣義估算方法是從形態(tài)覆蓋的角度對(duì)原有算法的廣義擴(kuò)展。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)可以看出，基于形態(tài)膨脹、形態(tài)腐蝕的估算方法在精確度和運(yùn)算速度方面均具有一定的優(yōu)勢(shì)，而基于形態(tài)差值的估算方法則運(yùn)算量大，精確度較之其他方法也略低。

(2)基于形態(tài)分形維數(shù)與灰色關(guān)聯(lián)分析的性能退化狀態(tài)識(shí)別方法將形態(tài)學(xué)分形維數(shù)引入到預(yù)測(cè)特征提取中，在仿真和實(shí)例數(shù)據(jù)的分析處理中取得了較為理想的效果。

(3)機(jī)械設(shè)備在實(shí)際運(yùn)行中的性能退化過(guò)程要復(fù)雜得多，需要考慮轉(zhuǎn)速、載荷及環(huán)境因素時(shí)變性帶來(lái)的影響，且不易采集。采用不同損傷程度實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是一種用離散近似模擬連續(xù)的方法，必然有一定的局限性。

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