明 鋼，邵 亮，秦正輝，李 苗，代 熠

（武漢科技大學理學院，武漢430065）

1 符號和記號

引力量子化大體有兩種途徑.一種是利用引入其它場、延展體、超對稱等方法，企圖使引力量子化.這些方法中除超弦M－理論外，其余皆因解決可重整性問題無望而無法發(fā)展.而M－理論中，關(guān)于引力相互作用的核心問題，目前也欠全面和具體的闡明，完成引力的最終量子化，還需長期的過程.另一種是，在引力體制內(nèi)進行引力的量子化.這種方法歷史上提出的具體模式很多，其中最被推崇的是4－導數(shù)引力.這種理論是把廣義相對論中的微分同胚變換當作規(guī)范變換［1］，將模式中的引力場用Faddeev規(guī)范場量子化的方式量子化.其優(yōu)點是可以用（引力）曲率平方項的引入消去引力的發(fā)散，理論在表現(xiàn)上具有可重整性.它需要解決的問題是，理論中存在負能量的粒子；若解決負能量問題，可能破壞S矩陣的么正性.盡管如此，這一理論仍是協(xié)變方法實現(xiàn)引力量子化進行得最為徹底的一種理論.這一方法在引力量子化歷史上曾引起不小的關(guān)注，如，Rovelli在文獻［2］中回顧引力量子化簡史時，曾例舉過對Stelle提出的4－導數(shù)引力量子化的評述［3］.它指出，盡管4－導數(shù)引力存在需要進一步解決的問題，它曾仍被認為是解決量子引力問題的一種可行選擇.Gambini和Pullin在文獻［4］中談到引力量子化的可重整性時，也指出了4－導數(shù)引力在作用量中引入高次項的方法可以用于治療引力發(fā)散，不過應當去掉它為理論帶來的非物理性質(zhì).

在微擾量子引力中，協(xié)變量子化是應用較多的一種方法.它借助路徑積分法研究Einstein引力及其修正理論的量子化傳播子的重整化在現(xiàn)代物理中也是一個相當重要的問題.自上世紀初建立量子場論以來，量子場論一直是描述微觀高能粒子相互作用的成功理論與有效計算方法.采用微擾理論作低階（樹圖）微擾計算較為容易，且不出現(xiàn)“發(fā)散”困難；但作高階（圈圖）微擾計算時，將出現(xiàn)“發(fā)散”困難.雖然重整化理論能合理消除“發(fā)散”，但由此出現(xiàn)的重整化計算問題又將導致理論計算處理上的異常困難.重整化的計算可以分離掉高階（圈圖）計算中非物理“發(fā)散量”，而保留所需的物理“有限量”.在許多重要物理問題的深入研究中，尤其需要考慮并尋求至少單圈圖計算中的重整化“有限量”，其貢獻（輻射修正）雖然十分微小，但在理論的精確描述意義上卻顯得非常重要.由于重整化計算的重要性以及理論計算上出現(xiàn)的復雜性，致使重整化計算問題研究一直備受學術(shù)界關(guān)注.然而對于重整化問題作具體理論計算時，至今采用較多的仍然是針對具體物理問題作某些近似考慮后建立的各種近似理論與方法.本文將以引力場的自由傳播子為中心，對攜有高階微分項的引力的自由傳播子進行微擾計算.

以下對本文使用的符號和記號加以歸納，在Minkowski時空里，協(xié)變度規(guī)張量密度定義為：

協(xié)變度規(guī)張量gμν（x）展開為：

逆變度規(guī)張量gμν（x）展開為

其中，ημν是Minkowski背景的度規(guī)，hμν（x）代表其在真空中傳播的引力子.

逆變度規(guī)張量密度g～μν展開為：

協(xié)變度規(guī)張量密度g～μν展開為：

2 R＋R 2＋RμνRμν－引力的作用量的引力場hμν展開

N維Minkowski時空中的R＋R2＋RμνRμν－引力作用量為：

式中，α，β，γ為常數(shù).將（1）式代入Christoffel聯(lián)絡中，計算后得到：

將（2），（3）代入（5）式可得：

Ricci曲率張量為：

逆變Ricci曲率張量關(guān)于引力場hμν的一次展開式為：

根據(jù)（4）式，度規(guī)張量gμν關(guān)于引力場hμν的一次展開式即h（0）次項等于ημν.這樣一來，曲率標量關(guān)于引力場hμν的最低次展開式即h（1）的項為：

根據(jù)（12）式，曲率標量R2關(guān)于引力場hμν最低次展開式，即h（2）次的項為

作用量S關(guān)于引力場hμν的最低次展開式，即h（1）的項為零.hμν的二次展開式即h（2）的項為

使用分部積分法，得到：

同理，可得：

下面計算（4）的三個積分項：

將（15）、（16）和（18）分別代入（3）中，R＋R2＋RμνRμν—引力的作用量關(guān)于引力場hμν的二次展開式為：

3 R＋R2＋RμνRμν—引力的量子化生成泛函

根據(jù)Fadeev－Popov方法，R＋R2＋RμνRμν—引力的量子化生成泛函由下列項構(gòu)成：

在本文中

SFPG為Fadeev－Popov鬼粒子場作用量項.SE.S為作用量的外源項.本文采取下面的規(guī)范固定項：

其中Δ－1為規(guī)范參數(shù).將SGF導入到生成泛函中，得到：

計算后得到規(guī)范固定項SGF用下式表示：

4 R＋R2＋RμνRμν—引力的自由傳播子

引力的自由傳播子，由作用量關(guān)于引力場hμν的微擾展開式中的二次項即h（2）的項貢獻.有效作用量關(guān)于引力場hμν的微擾展開式中的二次項即h（2）用SFPG［2］表示，根據(jù)（19）和（25）有：

在樹圖近似下，正則頂點生成泛函等于有效作用量，即：

使用傅里葉變換，得到了動量表象中樹圖近似下正則頂點為：

R＋R2＋RμνRμν－引力的引力子傳播子由下列形式給出：

它和R＋R2＋RμνRμν引力的4－導數(shù)引力的引力子2點正則頂點Γh0，2（p）μν，αβ間存在倒數(shù)關(guān)系：

5 結(jié)論

通常在計算含引力子的自能圈圖時，會產(chǎn)生重整化無法消除的發(fā)散，使計算過程無法進行下去.本文利用維數(shù)正規(guī)化方法，利用度規(guī)張量密度態(tài)的微擾展開，結(jié)合FaddeevPopov的量子化方法計算了攜有高階微分項的R＋R2＋RμνRμν的引力自由傳播子.此種微擾法計算出來的結(jié)果發(fā)散固然存在，但在后續(xù)工作中，理論上可采用幾何方法消除.文獻［3］曾計算過引力場自由傳播子，本文與其在原理上是一致的，不過，在具體計算技巧上有不同.本文的結(jié)果是直接用作用量中引力場hμν的直接表達式.這一結(jié)果計算明確，更便于同廣義相對論量子化得到的結(jié)果進行比較.

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