鈕健平

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）明確指出：“在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力?！毙W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一項重要任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生正確、快速的計算能力，這對進(jìn)一步學(xué)習(xí)和今后的生活與工作有著十分重要的作用。但學(xué)生在實際學(xué)習(xí)中，計算差錯多，準(zhǔn)確率低，經(jīng)常出現(xiàn)這樣那樣的錯誤，嚴(yán)重干擾著小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣以及教師的正常教學(xué)，我們不能簡單地把這種錯誤歸咎于學(xué)生“粗心”“馬虎”等，其實學(xué)生在計算中出現(xiàn)錯誤的原因是多方面的。為了弄清楚小學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法計算中常見的錯誤有哪些，其產(chǎn)生的原因是什么，我們根據(jù)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的有關(guān)內(nèi)容，編制了乘法計算診斷性測試卷，對我校三、四年級（每個年級各抽3個班共150人）進(jìn)行測試。每次測試都是在學(xué)生學(xué)完該項目的三四周后進(jìn)行。本文將從分析學(xué)生在不同類型的乘法計算產(chǎn)生的錯誤入手，研究其產(chǎn)生的原因，以及學(xué)生認(rèn)知上的一些特點。

一、學(xué)生解不同類型乘法計算題的錯誤情況

通過測試我們發(fā)現(xiàn)，不存在學(xué)生對某種類型的題目絕對不會做的情況。通過教學(xué)，學(xué)生對乘法運(yùn)算法則均能基本掌握，但是在不同類型的題目中，學(xué)生所出現(xiàn)的錯誤率的差異是明顯的，也就是說，某類型的題目對學(xué)生來說，難度較大，較容易出錯，其結(jié)果見表1、表2。

表1 一個因數(shù)是一位數(shù)的乘法計算中的錯誤情況

[題型＼&錯誤率%＼&題型＼&錯誤率%＼&A類：不進(jìn)位＼&2.0＼&D類：一個因數(shù)中間有0的＼&6.9＼&B類：一次進(jìn)位＼&2.8＼&E類：一個因數(shù)末尾有0 的＼&4.6＼&C類：多次進(jìn)位＼&9.5＼&]

（表中的錯誤率指該項錯誤次數(shù)占該類總測試題次的比率。）

表2 因數(shù)是兩位數(shù)的乘法計算中的錯誤情況

[題型＼&錯誤率%＼&A類：多次進(jìn)位的＼&15.1＼&B類：多次進(jìn)位并含有7、8、9口訣的題＼&20.5＼&C類：因數(shù)中間有0的＼&10.4＼&D類：兩個因數(shù)末尾都有0 的＼&8.6＼&]

從以上兩表中我們可以看到，學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法過程中錯誤出現(xiàn)增多的一些發(fā)展趨勢：

1.因數(shù)是兩位數(shù)的乘法，錯誤率增高。

2.有兩次以上進(jìn)位的乘法計算題的錯誤率明顯高于不進(jìn)位或只有一次進(jìn)位的乘法計算題（見表1）。

3.有多次進(jìn)位并含有7、8、9口訣的乘法計算題的錯誤率高于多次進(jìn)位但不含有7、8、9口訣的乘法計算題（見表2）。

4.因數(shù)中間有0 的計算題的錯誤率高于因數(shù)末尾有0 的計算題。

二、學(xué)生乘法計算的錯誤類型及其分析

根據(jù)對試卷的分析，我們將學(xué)生在乘法計算中的錯誤進(jìn)行分類，列入表3（表中的錯誤率指該項錯誤次數(shù)占該類總測試題次的比率）。

表3 乘法計算中的錯誤類型

[錯誤類型＼&因數(shù)是一位數(shù)的乘法＼&因數(shù)是兩位數(shù)的乘法＼&錯誤次數(shù)＼&錯誤率%＼&錯誤次數(shù)＼&錯誤率%＼&粗心錯誤＼&66＼&27.7＼&112＼&15.9＼&加法及進(jìn)位錯誤＼&69＼&29＼&303＼&42.9＼&乘法口訣錯誤＼&61＼&25.6＼&159＼&22.5＼&位數(shù)錯誤＼&10＼&4.2＼&66＼&9.3＼&0 的錯誤＼&11＼&4.6＼&5＼&0.7＼&加法與乘法混淆＼&5＼&2.1＼&37＼&5.2＼&其他錯誤＼&16＼&6.7＼&24＼&3.4＼&總計＼&238＼&706＼&]

從表中我們可以看到，小學(xué)生學(xué)習(xí)乘法計算中的錯誤類型與學(xué)習(xí)除法計算題中的錯誤類型有驚人的相似之處（對于除法計算我們也做了類似的研究），學(xué)生在學(xué)完每項內(nèi)容的三四周后，出現(xiàn)最多的錯誤仍然是粗心錯誤和積累性錯誤（積累性錯誤是指與先前所學(xué)內(nèi)容的混淆而產(chǎn)生的錯誤，表3中的加法及進(jìn)位錯誤即屬于這類錯誤），這兩項錯誤的總和占了三、四年級學(xué)生學(xué)習(xí)不同位數(shù)乘法時所犯錯誤次數(shù)總和的一半以上。這種情況進(jìn)一步說明了在乘除法計算的教學(xué)中，在把握好教學(xué)重點和難點的同時，要將粗心錯誤和積累性錯誤放在重要的地位上來處理。這類錯誤在乘除法計算中，其表現(xiàn)形式既有相同之處，又有不同之處。下面我們就一些主要的錯誤類型分別進(jìn)行分析和研究。

1.粗心錯誤。（1）忘記在橫式中寫得數(shù)；（2）抄錯題或抄錯得數(shù)；（3）當(dāng)因數(shù)有0 時，在列式計算后，忘記將0 移下來等。粗心錯誤在教師、家長及學(xué)生本人看來，既不認(rèn)為是一種嚴(yán)重的錯誤，卻又感到頭痛。其實，經(jīng)常出現(xiàn)粗心錯誤的學(xué)生往往不是由于認(rèn)知結(jié)構(gòu)上存在什么問題，而是心理品質(zhì)、行為習(xí)慣上存在著某種偏差引起的。兒童心理學(xué)認(rèn)為小學(xué)生感知事物的特點是比較籠統(tǒng)、粗糙、不具體的，往往只注意到一些孤立的現(xiàn)象，看不出事物的聯(lián)系及特征，因而頭腦中留下的印象缺乏整體性。學(xué)生計算時，往往只感知數(shù)據(jù)、符號本身而較少考慮其意義，對相似、相近的數(shù)據(jù)或符號容易產(chǎn)生感知失真，造成差錯。如一些學(xué)生常把“+”看作“×”，把“56”寫成“65”，把“109”當(dāng)成“169”，等等。要克服這類錯誤，應(yīng)在教學(xué)活動中強(qiáng)化訓(xùn)練，如加強(qiáng)審題、估算和檢查等程序，使學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真、細(xì)心做作業(yè)的良好習(xí)慣。

2.加法及進(jìn)位錯誤。乘法計算中的加法運(yùn)算有兩種思維過程：一種是內(nèi)隱的思維過程，即在兩個因數(shù)相乘時，將口訣運(yùn)算中十位數(shù)上的數(shù)目記在頭腦中，當(dāng)兩個因數(shù)中高一位數(shù)相乘以后，再加上這個數(shù)；另一種思維與普通加法運(yùn)算的思維過程相同，是外顯的，即乘法運(yùn)算中最后一次運(yùn)算——加法運(yùn)算。學(xué)生較多的錯誤發(fā)生在內(nèi)隱的思維過程中，如：

[ 6 3 9

9 7

4 4 7 3

5 8 5 1

6 2 9 8 3][×]

之所以出現(xiàn)這種情況，可能出于兩方面的原因：其一是從兒童思維發(fā)展進(jìn)程看，內(nèi)隱的思維出現(xiàn)得較晚，可以認(rèn)為是一種更高層次的思維過程；其二是這種思維過程中，有一個短時記憶的過程，這種短時記憶在受到干擾時極易遺忘。乘法口訣不太熟練的學(xué)生出現(xiàn)這類錯誤較多，這主要是當(dāng)他們在做一個因數(shù)與下一個數(shù)位上的數(shù)相乘時，需要投入較多的注意力，這時原來進(jìn)位的數(shù)往往就不清晰了。此外，在初學(xué)豎式乘法時，對乘法運(yùn)算的規(guī)則不太熟悉，也需要投入較多的注意力，這也是使得短時記憶消失的原因之一。因此，在學(xué)習(xí)豎式乘法的初級階段，可以用筆將進(jìn)位的數(shù)記下，以減少錯誤，同時需要加強(qiáng)口訣乘法的練習(xí)，在熟練的基礎(chǔ)上，這種錯誤是可以逐漸減少的。endprint

3.口訣錯誤。在豎式乘法中，口訣錯誤所占的比例還是比較高（見表3），尤其在6、7、8、9口訣中錯誤率明顯增高，見表4。

表4 口訣錯誤情況

[口訣順序＼&1＼&2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&7＼&8＼&9＼&錯誤率%＼&0＼&0＼&2.5＼&6.5＼&2.5＼&13.7＼&15.1＼&32.4＼&27.5＼&]

（錯誤率指各項口訣錯誤次數(shù)占總口訣錯誤次數(shù)的比率）

從表3、表4我們可以看出，口訣錯誤在三、四年級學(xué)生學(xué)習(xí)乘法運(yùn)算時經(jīng)常發(fā)生，尤其是在含6、7、8、9口訣乘法運(yùn)算中錯誤發(fā)生的頻率更高，這種情況與除法運(yùn)算中的口訣錯誤比率大致相當(dāng)。在調(diào)查中我們了解到，一些學(xué)生在初學(xué)乘法時，按順序往往可以準(zhǔn)確無誤地背出乘法口訣，但順序一打亂，錯誤便出現(xiàn)了，出現(xiàn)這種情況主要是由于當(dāng)按順序背誦時，學(xué)生往往采用連加的方法進(jìn)行背誦，而且記憶的成分比較大，這在初始階段有助于學(xué)生對乘法的理解和背誦口訣，但在學(xué)習(xí)的后階段，應(yīng)經(jīng)常采用打亂順序的口算乘法訓(xùn)練形式，幫助學(xué)生提高口訣乘法的熟練程度，達(dá)到自動化，以減少運(yùn)算過程中口訣乘法的錯誤。

4.有關(guān)“0”的錯誤。常見錯誤有：

（1）當(dāng)因數(shù)末尾有“0” 時，在列式計算中忘記將0移下來。此類錯誤已列入粗心錯誤。

（2）當(dāng)因數(shù)中間有“0” 時，學(xué)生漏乘0，這類錯誤的產(chǎn)生主要是由于學(xué)生對“0” 的理解不夠。

“0” 的問題在乘法計算教學(xué)中是被作為難點來教的，因此錯誤的比例不高，但仍要在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)對“0” 概念的理解，對經(jīng)常出現(xiàn)此類錯誤的學(xué)生加強(qiáng)個別輔導(dǎo)。

5.加法和乘法混淆錯誤。有些學(xué)生受到加法定勢的影響，在用一個因數(shù)各位乘另一個因數(shù)的各位時，時而出現(xiàn)加法計算，如：

[×] [ 4 6

4 2

9 2

1 0 4

1 1 3 2]

這類錯誤主要出現(xiàn)在初學(xué)階段，學(xué)生對乘法計算過程還未熟練掌握，往往受到前置學(xué)習(xí)的加法運(yùn)算的影響所致。

以上我們分析了學(xué)生學(xué)習(xí)乘法計算題中容易發(fā)生的錯誤類型，我們認(rèn)為產(chǎn)生錯誤的原因是多方面的，有些是受學(xué)生思維發(fā)展水平和心理因素（感知粗略、注意失調(diào)、記憶還原、表象模糊、情感脆弱、強(qiáng)信息干擾、思維定勢副作用等）發(fā)展的制約；有些是由于某些不良的學(xué)習(xí)習(xí)慣引起的；還有些是受熟練程度的影響；還有些可能是教材的因素，如蘇教版分小段編排，三年級上冊第七單元一位數(shù)乘多位數(shù)安排了七個課時左右的乘法教學(xué)，三年級下冊第四單元兩位數(shù)乘兩位數(shù)安排了五個課時左右乘法教學(xué)，四年級上冊教學(xué)除法計算時，教材很少編排乘法計算題，直到四年級下冊才安排多位數(shù)乘法教學(xué)，這樣安排時間跨度太大，不利于學(xué)生計算能力的培養(yǎng)。提升學(xué)生的計算能力是一個比較漫長、耐心細(xì)致的過程，在教學(xué)實踐中，教師可以針對具體的學(xué)習(xí)情況在以上幾個方面改進(jìn)教學(xué)。endprint

3.口訣錯誤。在豎式乘法中，口訣錯誤所占的比例還是比較高（見表3），尤其在6、7、8、9口訣中錯誤率明顯增高，見表4。

表4 口訣錯誤情況

[口訣順序＼&1＼&2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&7＼&8＼&9＼&錯誤率%＼&0＼&0＼&2.5＼&6.5＼&2.5＼&13.7＼&15.1＼&32.4＼&27.5＼&]

（錯誤率指各項口訣錯誤次數(shù)占總口訣錯誤次數(shù)的比率）

從表3、表4我們可以看出，口訣錯誤在三、四年級學(xué)生學(xué)習(xí)乘法運(yùn)算時經(jīng)常發(fā)生，尤其是在含6、7、8、9口訣乘法運(yùn)算中錯誤發(fā)生的頻率更高，這種情況與除法運(yùn)算中的口訣錯誤比率大致相當(dāng)。在調(diào)查中我們了解到，一些學(xué)生在初學(xué)乘法時，按順序往往可以準(zhǔn)確無誤地背出乘法口訣，但順序一打亂，錯誤便出現(xiàn)了，出現(xiàn)這種情況主要是由于當(dāng)按順序背誦時，學(xué)生往往采用連加的方法進(jìn)行背誦，而且記憶的成分比較大，這在初始階段有助于學(xué)生對乘法的理解和背誦口訣，但在學(xué)習(xí)的后階段，應(yīng)經(jīng)常采用打亂順序的口算乘法訓(xùn)練形式，幫助學(xué)生提高口訣乘法的熟練程度，達(dá)到自動化，以減少運(yùn)算過程中口訣乘法的錯誤。

4.有關(guān)“0”的錯誤。常見錯誤有：

（1）當(dāng)因數(shù)末尾有“0” 時，在列式計算中忘記將0移下來。此類錯誤已列入粗心錯誤。

（2）當(dāng)因數(shù)中間有“0” 時，學(xué)生漏乘0，這類錯誤的產(chǎn)生主要是由于學(xué)生對“0” 的理解不夠。

“0” 的問題在乘法計算教學(xué)中是被作為難點來教的，因此錯誤的比例不高，但仍要在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)對“0” 概念的理解，對經(jīng)常出現(xiàn)此類錯誤的學(xué)生加強(qiáng)個別輔導(dǎo)。

5.加法和乘法混淆錯誤。有些學(xué)生受到加法定勢的影響，在用一個因數(shù)各位乘另一個因數(shù)的各位時，時而出現(xiàn)加法計算，如：

[×] [ 4 6

4 2

9 2

1 0 4

1 1 3 2]

這類錯誤主要出現(xiàn)在初學(xué)階段，學(xué)生對乘法計算過程還未熟練掌握，往往受到前置學(xué)習(xí)的加法運(yùn)算的影響所致。

以上我們分析了學(xué)生學(xué)習(xí)乘法計算題中容易發(fā)生的錯誤類型，我們認(rèn)為產(chǎn)生錯誤的原因是多方面的，有些是受學(xué)生思維發(fā)展水平和心理因素（感知粗略、注意失調(diào)、記憶還原、表象模糊、情感脆弱、強(qiáng)信息干擾、思維定勢副作用等）發(fā)展的制約；有些是由于某些不良的學(xué)習(xí)習(xí)慣引起的；還有些是受熟練程度的影響；還有些可能是教材的因素，如蘇教版分小段編排，三年級上冊第七單元一位數(shù)乘多位數(shù)安排了七個課時左右的乘法教學(xué)，三年級下冊第四單元兩位數(shù)乘兩位數(shù)安排了五個課時左右乘法教學(xué)，四年級上冊教學(xué)除法計算時，教材很少編排乘法計算題，直到四年級下冊才安排多位數(shù)乘法教學(xué)，這樣安排時間跨度太大，不利于學(xué)生計算能力的培養(yǎng)。提升學(xué)生的計算能力是一個比較漫長、耐心細(xì)致的過程，在教學(xué)實踐中，教師可以針對具體的學(xué)習(xí)情況在以上幾個方面改進(jìn)教學(xué)。endprint

3.口訣錯誤。在豎式乘法中，口訣錯誤所占的比例還是比較高（見表3），尤其在6、7、8、9口訣中錯誤率明顯增高，見表4。

表4 口訣錯誤情況

[口訣順序＼&1＼&2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&7＼&8＼&9＼&錯誤率%＼&0＼&0＼&2.5＼&6.5＼&2.5＼&13.7＼&15.1＼&32.4＼&27.5＼&]

（錯誤率指各項口訣錯誤次數(shù)占總口訣錯誤次數(shù)的比率）

從表3、表4我們可以看出，口訣錯誤在三、四年級學(xué)生學(xué)習(xí)乘法運(yùn)算時經(jīng)常發(fā)生，尤其是在含6、7、8、9口訣乘法運(yùn)算中錯誤發(fā)生的頻率更高，這種情況與除法運(yùn)算中的口訣錯誤比率大致相當(dāng)。在調(diào)查中我們了解到，一些學(xué)生在初學(xué)乘法時，按順序往往可以準(zhǔn)確無誤地背出乘法口訣，但順序一打亂，錯誤便出現(xiàn)了，出現(xiàn)這種情況主要是由于當(dāng)按順序背誦時，學(xué)生往往采用連加的方法進(jìn)行背誦，而且記憶的成分比較大，這在初始階段有助于學(xué)生對乘法的理解和背誦口訣，但在學(xué)習(xí)的后階段，應(yīng)經(jīng)常采用打亂順序的口算乘法訓(xùn)練形式，幫助學(xué)生提高口訣乘法的熟練程度，達(dá)到自動化，以減少運(yùn)算過程中口訣乘法的錯誤。

4.有關(guān)“0”的錯誤。常見錯誤有：

（1）當(dāng)因數(shù)末尾有“0” 時，在列式計算中忘記將0移下來。此類錯誤已列入粗心錯誤。

（2）當(dāng)因數(shù)中間有“0” 時，學(xué)生漏乘0，這類錯誤的產(chǎn)生主要是由于學(xué)生對“0” 的理解不夠。

“0” 的問題在乘法計算教學(xué)中是被作為難點來教的，因此錯誤的比例不高，但仍要在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)對“0” 概念的理解，對經(jīng)常出現(xiàn)此類錯誤的學(xué)生加強(qiáng)個別輔導(dǎo)。

5.加法和乘法混淆錯誤。有些學(xué)生受到加法定勢的影響，在用一個因數(shù)各位乘另一個因數(shù)的各位時，時而出現(xiàn)加法計算，如：

[×] [ 4 6

4 2

9 2

1 0 4

1 1 3 2]

這類錯誤主要出現(xiàn)在初學(xué)階段，學(xué)生對乘法計算過程還未熟練掌握，往往受到前置學(xué)習(xí)的加法運(yùn)算的影響所致。

以上我們分析了學(xué)生學(xué)習(xí)乘法計算題中容易發(fā)生的錯誤類型，我們認(rèn)為產(chǎn)生錯誤的原因是多方面的，有些是受學(xué)生思維發(fā)展水平和心理因素（感知粗略、注意失調(diào)、記憶還原、表象模糊、情感脆弱、強(qiáng)信息干擾、思維定勢副作用等）發(fā)展的制約；有些是由于某些不良的學(xué)習(xí)習(xí)慣引起的；還有些是受熟練程度的影響；還有些可能是教材的因素，如蘇教版分小段編排，三年級上冊第七單元一位數(shù)乘多位數(shù)安排了七個課時左右的乘法教學(xué)，三年級下冊第四單元兩位數(shù)乘兩位數(shù)安排了五個課時左右乘法教學(xué)，四年級上冊教學(xué)除法計算時，教材很少編排乘法計算題，直到四年級下冊才安排多位數(shù)乘法教學(xué)，這樣安排時間跨度太大，不利于學(xué)生計算能力的培養(yǎng)。提升學(xué)生的計算能力是一個比較漫長、耐心細(xì)致的過程，在教學(xué)實踐中，教師可以針對具體的學(xué)習(xí)情況在以上幾個方面改進(jìn)教學(xué)。endprint