李小華
摘 要 學生中出現“綜合能力差”、“上課聽得懂,自己做不來”等現象,其實質上都是思維缺乏深刻性造成的。反思性學習是培養(yǎng)高中學生數學思維深刻性的良方。
關鍵詞 反思性學習 思維深刻性 數學
中圖分類號:G424 文獻標識碼:A
1 在數學思維能力培養(yǎng)中學會反思很有必要
反思是一種特殊的再概括,它是從個別推廣到一般的思維方法。數學教學中反思性學習包括反思解題思路,數學知識、數學思想方法、題意的理解過程的反思,解題結果反思等。數學的反思性學習具有如下教育價值:一是情感、態(tài)度、價值觀方面:諸如①培養(yǎng)實事求是的態(tài)度和理性精神;②良好的反饋信息、謹慎,細心等習慣;③激發(fā)好奇心和求知欲;④自我反思性評價。二是常規(guī)數學思維能力方面:諸如①歸納、猜想和合情推理;②數學聯結與數學洞察;③理性思維與構建體系。三是數學創(chuàng)新能力方面:諸如①提出數學問題和質疑能力;②建立新數學模型并用于實踐的能力;③發(fā)現數學規(guī)律的能力;④推廣現有數學結論的能力;⑤將不同領域的知識進行數學聯結的能力。
高中數學學習中教師一定要引導學生學會反思,積極反思,要充分調動學生求知、求思的積極性和主動性,養(yǎng)成善于觀察、善于分析、善于思考的學習習慣,提高學生發(fā)現問題和解決問題的能力。
2 培養(yǎng)途徑例說
2.1 對定義、概念進行反思性學習
單純地記住一個定義、概念或簡單地直接運用,對學生而言,并非難事,但要真正理解其內涵,達到靈活運用,并非易事。究其原因,學生往往是膚淺、形式地認識定義、概念,而通過反思性數學學習,對定義、概念不斷深入探討,理解就會不斷深入,思維活動也就會不斷深刻。
例1 設都是非零向量,則。這是新教材下冊第五章向量數量積中的一個重要性質,為了深刻理解它,教學中筆者讓學生進行反思性學習。
反思一:設都是非零向量,若,則成立嗎?由公式,學生馬上得出結論:“能”;
反思二:如果去掉條件:“設都是非零向量”,即若,則成立嗎?
生:“分情況討論。” 師“分幾種?”經過激烈爭論,師生共同統(tǒng)一為三種結果:(1)都是非零向量:(2)都是零向量;(3)中只有一個是零向量。
通過討論分析,不但解決了這個問題,而且深化認識了規(guī)定:零向量與任一向量的數量積為0。
反思三:反過來,若,則成立嗎?(*)有了反思二的基礎,學生會想到條件,隱含著為的可能性,而我們規(guī)定與任一向量平行,所以不一定有。
反思四:那再加上什么條件,(*)式可成立呢?
為了避免反思三的可能性,我們只要加上條件“設都是非零向量,”即設都是非零向量,若,則成立。再結合反思一結論:設都是非零向量,若,則也成立。
綜上反思結果:學生認識到只能在“都是非零向量”的前提條件下才可成立。通過反思,也讓學生深刻理解了這個重要性質及有關其它條件的情況,而且充分熟悉了兩個規(guī)定的應用,真可謂“一舉兩得”。
對定義、概念進行反思性數學學習,能促使學生從一個新的角度,多層次地對概念及解決問題的思維過程進行全面的考察、分析和思考,從而深化對概念的理解,揭示問題本質,探索出解題方法的一般規(guī)律,溝通知識間的相互聯系,促進知識的同化和遷移,并進而產生新的發(fā)現和推廣。
2.2 對定理、公理進行反思性學習
在定理、公理的學習中,就要完整地掌握它們(條件、結論和適用范圍),領會其精神實質,切忌形式主義、表面化和盲目套用公式。
例2 求 = + ()的最小值。
對于這道題,學生常有如下錯誤的解法:
解答一:因為,所以3>0,>0,則 = + ≥2 = 4。當且僅當3 = ,即 = 時,有最小值2。
解答二:因為,所以 = + = + 2 + ≥3· = 6
故有最小值6。
反思一:因為利用基本不等式“ ,, + ≥2(當且僅當 = 時取等號)”求最值的前提條件是不等式的一邊必須為常數(定值)。而解答一只是簡單套用公式,而忽視了 = 2要為定值的條件,導致結論錯誤。
反思二:在解答二中,取得最小值,當且僅當要 = 2 = ,而此時的無解,即沒有相對應的使得取到最小值6。其錯誤的根源在于忽視了公式取到等號成立的條件。
其實,其正確解答如下:因為,所以 = 3 + = + + ≥3·· = 3。
當且僅當 = ,即 = 時,有最小值3。造成以上錯誤原因都是對公式認識膚淺性所致,因而教學中特別要加強類似(1)求方程 + 1 = 0的一切實數解;(2)求 = 1 + + 的值域等題目的反思。引導學生辨別是非,弄清根源,培養(yǎng)學生思維的深刻性。
對數學定理、公理進行反思性學習,是訓練深刻性思維、優(yōu)化思維品質的極好方法,是促進知識同化和遷移的可靠途徑。通過反思不斷分析、解決問題,層層深入領會問題及解決方法的實質,培養(yǎng)了學生思維的深刻性。
2.3 對解題思路進行反思性學習
在解題教學中,學生做完一道題后,引導他們進行反思性數學學習,搞清問題實質,拓寬解題思路,擇優(yōu)解法,訓練發(fā)散思維,再把問題引向深入,培養(yǎng)學生思維的深刻性。
例3. 已知拋物線 = + + 與軸的兩個交點的橫坐標是3、5,與軸交點的縱坐標是15,求這個二次函數的解析式。
學生分析題意后解題,得如下解答:
方法一:依題意知拋物線經過(3,0),(5,0),(0,15)三點,由此列出關于的方程組,可求出的值。
反思:已知三點用待定系數法確定二次函數解析式,學生較熟悉。但我提問:有沒有較簡便的解法?這激發(fā)了學生反思,探究得如下解答:
方法二:拋物線與軸的兩個交點是對稱點,易求得其對稱軸為 = 4,設解析式 = ,將點(3,0),(0,15)的坐標代入上式可求得。
反思:利用對稱性,先求對稱軸,再設頂點式,分散難點,便于計算,思維靈活。
受上述思維啟發(fā),有學生獲得如下解答:
方法三:依據拋物線過點(0,15),可設其解析式為 = + + 15,聯想到拋物線與軸交點的橫坐標3和5,就是方程 + + 15=0的兩根,代入即可求得 = 1, =-8。
反思:巧用數形轉換,將交點橫坐標轉化成一元二次方程的根,計算便利,正是創(chuàng)造性思維所致。
受到啟發(fā),經深入探究,又有學生獲新解答:
方法四:依據拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標分別是3、5,可設其解析式為 = ,再將點(0,15)代入得 = 1。
反思:利用交點式求解,思維簡捷,過程簡潔。
習題教學中,通過引導學生對問題的不斷反思,可以深化學生用待定系數法求二次函數解析式常規(guī)方法:設一般式、頂點式、交點式。然后引導學生反思上述四種方法的利弊,通過比較,發(fā)現后面三種方法的巧妙是在于對知識的感悟,在設解析式時減少了一個待定系數。在比較中學生明確了解題關鍵,理清了解題思路,掌握了解題方法,逐漸優(yōu)化思維品質,思維更加有序。
參考文獻
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