任國(guó)恒，朱 變，朱 海

(周口師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河南 周口 466001)

0 引 言

遙測(cè)數(shù)據(jù)直接反映了衛(wèi)星在軌運(yùn)行的狀態(tài).衛(wèi)星的遙測(cè)數(shù)據(jù)具有非平穩(wěn)變化的特點(diǎn)，而具有非平穩(wěn)性的遙測(cè)數(shù)據(jù)的各階常用統(tǒng)計(jì)量(如均值、自相關(guān)函數(shù)等)經(jīng)常隨時(shí)間的變化而改變[1]，這給遙測(cè)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)帶來了很大的困難.傳統(tǒng)的預(yù)測(cè)方法，如自回歸模型(Auto-Regressive model，簡(jiǎn)稱AR)、自動(dòng)回歸移動(dòng)平均模型(Auto-Regressive and Moving Average model，簡(jiǎn)稱ARMA)等常用預(yù)測(cè)模型，適合處理平穩(wěn)的數(shù)據(jù)[2]，對(duì)于非平穩(wěn)的數(shù)據(jù)不能滿足預(yù)測(cè)需要.

筆者通過對(duì)衛(wèi)星歷史遙測(cè)數(shù)據(jù)分析研究建立適用于非平穩(wěn)時(shí)間序列的預(yù)測(cè)模型，對(duì)遙測(cè)參數(shù)的未來趨勢(shì)進(jìn)行短期預(yù)測(cè)，通過預(yù)測(cè)遙測(cè)數(shù)據(jù)序列潛在的故障趨勢(shì)，為指導(dǎo)故障發(fā)生前的正確決策提供重要支持[3]，降低衛(wèi)星潛在的風(fēng)險(xiǎn)，提高衛(wèi)星運(yùn)行可靠性.

筆者以衛(wèi)星運(yùn)行期間太陽(yáng)翼的輸出功率數(shù)據(jù)為研究對(duì)象.太陽(yáng)翼的輸出功率序列具有隨機(jī)性和一定的周期性，這是不同頻率分量的疊加結(jié)果.遙測(cè)數(shù)據(jù)的不同頻率分量可分兩部分，即慢變和快變，其中慢變部分反映了序列主體，快變部分體現(xiàn)了序列的細(xì)節(jié)[4].對(duì)遙測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行短期的預(yù)測(cè)要求能夠捕捉到在時(shí)域上表現(xiàn)瞬時(shí)、隨機(jī)的分量.由于遙測(cè)數(shù)據(jù)的趨勢(shì)中心隨時(shí)間變化，傳統(tǒng)的時(shí)域分析方法不能準(zhǔn)確分析瞬時(shí)、隨機(jī)的分量變化規(guī)律，而小波分析可對(duì)遙測(cè)數(shù)據(jù)信號(hào)中的頻率分量進(jìn)行粗細(xì)分離.

1 小波變換相關(guān)工作

采用多分辨率分析思想用小波變換對(duì)遙測(cè)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行分解，得到反映序列主體變化的低頻分量和代表序列細(xì)節(jié)的高頻部分[5].遙測(cè)數(shù)據(jù)原始序列根據(jù)所選擇的小波基函數(shù)和適宜的分解尺度被分解為頻率不同的分量，各分量在長(zhǎng)度上與原序列保持一致[6].低頻分量代表原始序列中基本不變的主體部分[7]，即太陽(yáng)翼基本輸出功率；高頻分量表示原序列中的瞬時(shí)、隨機(jī)的分量，即太陽(yáng)翼隨機(jī)輸出功率.

1.1 小波基選擇

在工程應(yīng)用中小波函數(shù)除了要滿足容許條件和正則性條件，還要滿足以下3個(gè)條件：良好的緊支撐性；Ψ(t)具有消失矩；滿足正交性.常用的小波函數(shù)，如Morlet、Mexican小波函數(shù)不存在尺度函數(shù)，即不滿足正交性；Haar小波在時(shí)域上不是連續(xù)的，不適合做小波基.筆者選擇dbN(Daubechies小波)小波函數(shù)做小波基，dbN小波是具有高階消失矩的緊支集正交小波函數(shù)，階數(shù)N的具體取值通過小波變換對(duì)實(shí)際序列分解的結(jié)果判定.

圖1是某同步衛(wèi)星太陽(yáng)翼輸出功率序列采用dbN小波在N取1、2、3時(shí)進(jìn)行分解后，近似部分與原序列的比較結(jié)果.N為3時(shí)，較好的體現(xiàn)了序列的變化趨勢(shì)，且趨勢(shì)中的突出點(diǎn)被保留下來；N為1、2時(shí)，序列的平滑度不利于分量預(yù)測(cè)模型的建立.所以，選擇db3小波作為小波基對(duì)原序列進(jìn)行分解.

圖1 dbN小波分解結(jié)果Fig.1 Decomposition result based on dbN

1.2 分解尺度研究

遙測(cè)數(shù)據(jù)的變化是緩變和快變結(jié)合，與之對(duì)應(yīng)的是長(zhǎng)度周期嵌套.這是時(shí)間序列的能量集中分布在一些頻率帶上的結(jié)果[8].因此，將不同的頻率分量分開，使其變化規(guī)律更加直觀.

對(duì)遙測(cè)序列進(jìn)行分解結(jié)果是將原序列分解為幾個(gè)細(xì)節(jié)部分和一個(gè)近似部分.分解尺度偏大，序列的采樣密度會(huì)變稀，序列的主體曲線會(huì)越來越平滑，導(dǎo)致獲得的近似序列失真；分解尺度若偏小，序列的主體變化趨勢(shì)又不太明顯，不易觀察到各分量的變化規(guī)律[9].

圖2是經(jīng)db3小波分解后的近似部分aN在不同尺度下的分解結(jié)果.分析圖2發(fā)現(xiàn)分解尺度

圖2 不同分解尺度下近似部分比較Fig.2 Comparation of aN with different scale

為2時(shí)，近似部分的曲線a2已經(jīng)足夠光滑，同時(shí)保持了原曲線的形狀；而a3、a4隨著分解次數(shù)的增加，采樣點(diǎn)減少，所得曲線過分平滑，序列的變化趨勢(shì)已失真，因此本文選擇的分解尺度為2.

2 基于小波變換的預(yù)測(cè)模型構(gòu)建

2.1 周期自回歸模型

若有一時(shí)間序列X，表達(dá)式為

Xt=a0t+a1tXt-1+…+aptXt-p+εt

(1)

滿足以下條件：

XKT+T=a0T+a1TXKT+T-1+…+

apTXKT+T-p+εKT+T

(2)

a01+a11Xn+…+ap1Xn-p-1

(3)

(4)

對(duì)于遙測(cè)數(shù)據(jù)分解序列建立一小時(shí)預(yù)測(cè)模型，選取周期的長(zhǎng)度為60，即p=T=60.負(fù)荷序列的PAR模型如式(5)：

(5)

遙測(cè)數(shù)據(jù)短期預(yù)測(cè)模型共有未知參數(shù)(p+1)T個(gè)，記為

a(i)=(a0,i,a1,i,…,a60,i)

(6)

式(5)中的未知參數(shù)可由式(6)確定.已知ai擬合式(5)的殘差平方和定義為

St=

[Xn+k-a0,kXt(k-1)-…-a60,kXt(k-60)]2

(7)

j=0,1,2,…,p

(8)

2.2 遙測(cè)數(shù)據(jù)短期預(yù)測(cè)模型

利用馬特拉(Mallat)小波變換算法和db3小波基對(duì)太陽(yáng)翼輸出功率數(shù)據(jù)序列進(jìn)行2尺度的分解，圖3是對(duì)4小時(shí)內(nèi)的輸出功率負(fù)荷的原始序列和進(jìn)行分解后的小波分量結(jié)果.

圖3 太陽(yáng)翼輸出功率數(shù)據(jù)分解結(jié)果Fig.3 Decomposition result of solar panel output power

從圖3可以看出對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行2尺度分解后，得到的低頻數(shù)據(jù)a2具有較強(qiáng)的周期性，這是因?yàn)榈皖l數(shù)據(jù)反映原序列的主體信息，變化規(guī)律較強(qiáng)；高頻數(shù)據(jù)d1、d2體現(xiàn)原序列的細(xì)節(jié)，是待分解序列中變化較快的部分.

由于分量d1、d2和a2的曲線變化特征不同，應(yīng)根據(jù)不同分量的特點(diǎn)構(gòu)建預(yù)測(cè)模型.筆者對(duì)各個(gè)子序列作如下區(qū)別對(duì)待：

(1)主體信息a2周期性顯著，變化相對(duì)平緩，對(duì)分解得到的15個(gè)點(diǎn)進(jìn)行周期自回歸預(yù)測(cè)；

(2)高頻分量d1、d2隨機(jī)性較強(qiáng)，為提高預(yù)測(cè)的實(shí)時(shí)性，高頻部分采用二次指數(shù)平滑法進(jìn)行預(yù)測(cè).

指數(shù)平滑法由R.G.Brown提出，該算法的優(yōu)點(diǎn)是預(yù)測(cè)模型構(gòu)建過程中只需少量的歷史數(shù)據(jù)，計(jì)算量小，便于實(shí)時(shí)預(yù)測(cè).模型建立過程中是利用算法對(duì)原始時(shí)間序列的不規(guī)則性進(jìn)行平滑，獲得原序列的變化規(guī)律和趨勢(shì)，對(duì)未來某時(shí)刻的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，更多的考慮數(shù)據(jù)的更新.指數(shù)平滑法計(jì)算公式如式(9)：

Yt=yt=axt -1+(1-a)yt -1

(9)

式(9)中:xt -1、yt -1分別是t-1時(shí)刻的實(shí)際值和預(yù)測(cè)值；yt為t時(shí)刻的平滑值；Yt為t時(shí)刻的預(yù)測(cè)值；a為平滑系數(shù)，取值范圍為0

Yt=yt=

axt+(1-a)[yt -1+(yt -1-yt -2)]

(10)

式(10)中:xt為t時(shí)刻的實(shí)際值；yt為t時(shí)刻的二次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)值；yt -1、yt -2為t-1時(shí)刻的一次指數(shù)平滑值；一次指數(shù)平滑與二次指數(shù)平滑區(qū)別是二次指數(shù)平滑利用一次指數(shù)平滑得到的預(yù)測(cè)值來建立預(yù)測(cè)模型.二次指數(shù)平滑的預(yù)測(cè)模型為：

(11)

指數(shù)平滑法對(duì)高頻數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)時(shí)平滑系數(shù)a根據(jù)時(shí)間序列的情況在0～1之間選擇.由圖3可以看出高頻數(shù)據(jù)的變化的隨機(jī)性很大，筆者在實(shí)際計(jì)算中將a的取值范圍定在了0.6～0.8，對(duì)平滑參數(shù)a取不同值時(shí)高頻序列d1、d2進(jìn)行預(yù)測(cè)后的均方根誤差分析發(fā)現(xiàn)，序列d1、d2在a=0.8時(shí)，均方根誤差最小，因此，筆者在進(jìn)行實(shí)際計(jì)算中取平滑參數(shù)a值為0.8.

針對(duì)太陽(yáng)翼輸出功率所建立的基于Mallat算法的時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型框圖如圖4所示.

圖4 基于Mallat算法的預(yù)測(cè)模型框圖Fig.4 Forecasting model based on Mallat algorithm

3 遙測(cè)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)實(shí)例分析

基于構(gòu)建的模型對(duì)所研究某衛(wèi)星2011年1月12日11:00至15:00這4小時(shí)太陽(yáng)翼輸出功率為歷史數(shù)據(jù)輸入模型，對(duì)未來15:00至16:00這1小時(shí)內(nèi)輸出功率進(jìn)行預(yù)測(cè).圖5為低頻數(shù)據(jù)a2和高頻數(shù)據(jù)d1、d2的預(yù)測(cè)結(jié)果.

圖5 低頻數(shù)據(jù)a2和高頻數(shù)據(jù)d1、d2的預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.5 Prediction result of a2 and d1、d2

對(duì)各分量序列進(jìn)行重構(gòu)的預(yù)測(cè)值與原始輸出功率趨勢(shì)進(jìn)行對(duì)比的結(jié)果如圖6所示.

圖6 基于Mallat算法的預(yù)測(cè)值Fig.6 Forecasting value based on Mallat algorithm

通過實(shí)際的太陽(yáng)翼輸出功率的變化趨勢(shì)與預(yù)測(cè)值的對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)預(yù)測(cè)結(jié)果的邊界和突變的趨勢(shì)不是很理想.

Mallat算法對(duì)序列進(jìn)行分解時(shí)，每分解一次都要進(jìn)行二元抽樣，使得序列不能在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上建立直觀的尺度關(guān)系，影響了對(duì)突變點(diǎn)的預(yù)測(cè).另外，小波變換算法都是建立在多分辨分析的基礎(chǔ)上的，在快速M(fèi)allat算法中每次進(jìn)行小波變換時(shí)都把序列看成是無限長(zhǎng)的，但是在實(shí)際的應(yīng)用中，輸出功率序列是有限的.所以，待預(yù)測(cè)序列在經(jīng)Mallat小波變換算法分解時(shí)會(huì)對(duì)序列進(jìn)行延拓，這就使得在對(duì)各個(gè)子序列進(jìn)行重構(gòu)時(shí)，小波變換后的低頻部分和高頻部分的數(shù)據(jù)總數(shù)將大于原始輸入序列的長(zhǎng)度；并且這種情況在濾波器長(zhǎng)度增大時(shí)，數(shù)據(jù)量也會(huì)隨之增大，顯然會(huì)引起邊界數(shù)據(jù)不可信，在重構(gòu)預(yù)測(cè)結(jié)果時(shí)導(dǎo)致峰值和谷值的預(yù)測(cè)誤差也較大.通過上面的分析可知，預(yù)測(cè)誤差是由以下3種原因產(chǎn)生的：

(1)用Mallat進(jìn)行序列分解時(shí)因抽樣產(chǎn)生的誤差；

(2)輸入的序列長(zhǎng)度有限，而經(jīng)小波變換算法后使各個(gè)子序列的長(zhǎng)度增加，并將此數(shù)據(jù)作為了各個(gè)序列預(yù)測(cè)的初始值；

(3)各子序列的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行重構(gòu)時(shí)，在進(jìn)行小波逆變換時(shí)并沒進(jìn)行數(shù)據(jù)的壓縮，沒有實(shí)現(xiàn)精確的重構(gòu)從而產(chǎn)生預(yù)測(cè)誤差.

Mallat算法自身產(chǎn)生的誤差無法消除，針對(duì)后兩種情況的解決方案是在對(duì)序列進(jìn)行分解前，先對(duì)序列的邊界進(jìn)行延拓.在小波分析中常用的邊界延拓方法有零延拓、周期延拓、平滑延拓等.由于太陽(yáng)翼輸出功率本身就有一定的周期性，所以筆者選用周期延拓對(duì)序列進(jìn)行邊界的延拓，周期延拓的思想是將信號(hào)看成是一個(gè)周期信號(hào).

具體的處理工作如下：

(1)對(duì)序列進(jìn)行小波變換前先對(duì)序列進(jìn)行邊界延拓，使其成為無限長(zhǎng)的序列，讓序列通過濾波器并進(jìn)行隔點(diǎn)抽樣，保證盡可能不丟失信息的情況下，對(duì)各個(gè)子序列適當(dāng)?shù)慕厝〉皖l部分和高頻部分，以保證序列的數(shù)據(jù)總量不變；

(2) 在重構(gòu)前先對(duì)有限的子序列延拓，然后進(jìn)行向上的抽樣并濾波，對(duì)濾波后的結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕厝?，恢?fù)原信號(hào).

圖7 修正后的預(yù)測(cè)值Fig.7 Corrected forecasting value

由圖7可以看出，在對(duì)序列進(jìn)行延拓后再做小波變換，所得的預(yù)測(cè)結(jié)果要比直接做小波變換所得預(yù)測(cè)結(jié)果的邊界吻合效果更加理想.

對(duì)筆者提出的預(yù)測(cè)模型和常用的指數(shù)平滑模型的性能進(jìn)行分析評(píng)價(jià).以平均絕對(duì)誤差、均方值誤差、計(jì)算時(shí)間、最大誤差為評(píng)價(jià)的指標(biāo)，分別對(duì)未來1小時(shí)的輸出功率進(jìn)行預(yù)測(cè).經(jīng)計(jì)算，基于Mallat算法的預(yù)測(cè)時(shí)間為25.76 s，平均絕對(duì)誤差為1.545，最大誤差為5.196，均方根誤差為1.891；指數(shù)平滑模型的預(yù)測(cè)時(shí)間為18.76 s，平均絕對(duì)誤差為1.418，最大誤差為5.996，均方根誤差為2.040.由此可見，筆者提出的預(yù)測(cè)模型在預(yù)測(cè)精度上具有明顯的優(yōu)勢(shì)，預(yù)測(cè)時(shí)間相對(duì)增加的原因是原始序列需要經(jīng)過頻率分解，增加了計(jì)算量，但在衛(wèi)星遙測(cè)數(shù)據(jù)的短期預(yù)測(cè)應(yīng)用中，預(yù)測(cè)的精度是預(yù)測(cè)模型性能的主要評(píng)價(jià)指標(biāo).

4 結(jié) 語

筆者依據(jù)衛(wèi)星遙測(cè)數(shù)據(jù)短期預(yù)測(cè)的要求和意義，對(duì)遙測(cè)數(shù)據(jù)特性進(jìn)行了分析，針對(duì)遙測(cè)數(shù)據(jù)具有非平穩(wěn)性和一定周期性的特點(diǎn)，筆者提出了基于Mallat算法對(duì)遙測(cè)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行分解的方法，將序列中的分量分解到不同的頻率帶上，非平穩(wěn)序列簡(jiǎn)化為變化緩慢的平穩(wěn)序列和一些特殊的序列的分量組合.針對(duì)每個(gè)分量的變化特點(diǎn)建立合適的時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型對(duì)各個(gè)子序列進(jìn)行預(yù)報(bào)，并將各個(gè)子序列的預(yù)測(cè)結(jié)果采用小波變換的逆算法進(jìn)行重構(gòu)，依據(jù)模型，以歷史輸出功率數(shù)據(jù)為源數(shù)據(jù)對(duì)未來1小時(shí)的輸出功率進(jìn)行預(yù)測(cè)，并進(jìn)行驗(yàn)證分析，得到理想的預(yù)測(cè)結(jié)果，表明筆者提出的預(yù)測(cè)方法可以有效的解決遙測(cè)數(shù)據(jù)的短期預(yù)測(cè)問題，滿足了工程應(yīng)用需要.

致 謝

本研究在開展、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證分析過程中和論文撰寫過程中，西安工業(yè)大學(xué)于帆教授提出了很多寶貴的建議，謹(jǐn)致謝意.感謝國(guó)家自然科學(xué)基金委員會(huì)對(duì)本研究提供的資金支持.

[1] 郭小紅,徐小輝,趙樹強(qiáng)，等.基于新信息灰色預(yù)測(cè)的衛(wèi)星遙測(cè)數(shù)據(jù)參數(shù)狀態(tài)預(yù)測(cè)及應(yīng)用[J].宇航學(xué)報(bào),2010(8):1938-1943. GUO Xiao-hong,XU Xiao-hui,ZHAO Shu-qiang,et al.Satellite telemetry parameter trend forecast algorithm based on new information and application[J].Journal of Astronautics,2010(8):1938-1943.(in Chinese)

[2] 孫振明,姜興渭,王曉鋒,等.Trous小波在衛(wèi)星遙測(cè)數(shù)據(jù)遞歸預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J].南京理工大學(xué)學(xué)報(bào),2004,28 (6):606-611. SUN Zhen-ming,JIANG Xing-wei,WANG Xiao-feng,et al.Application of Trous wavelet to satellite telemetry data recursive prediction[J].Journal of Nanjing University of Science and Technology,2004,28 (6):606-611.(in Chinese)

[3] 余國(guó)浩,蔡遠(yuǎn)文.自適應(yīng)指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)遙測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)趨勢(shì)研究[J].裝備指揮技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2007,18(2):66-69. YU Guo-hao,CAI Yuan-wen.Research on exponent-smoothing model with variable parameters applied in real-time trend prediction of telemetry data[J].Journal of the Academy of Equipment Command &Tchnology,2007,18(2):66-69.(in Chinese)

[4] 魯明.衛(wèi)星數(shù)據(jù)的信息識(shí)別[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué),2006. LU Ming.Recognition of information from satellite data [D].Harbin:Harbin Institute of Technology,2006.(in Chinese)

[5] 劉輝,田紅旗,陳超，等.基于小波分析法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法的非平穩(wěn)風(fēng)速信號(hào)短期預(yù)測(cè)優(yōu)化算法[J].中南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,42(9):2705-2709. LIU Hui,TIAN Hong-qi,CHEN Chao,et al.Short-term forecasting optimization algorithm for unsteady wind speed signal based on wavelet analysis method and neutral networks method[J].Journal of Central of South University:Science and Technology,2011,42(9):2705-2709.(in Chinese)

[6] TAI Nengling,Jurgen Stenzel,WU Hong-xiao.Tech-niques of applying wavelet transform into combined model for short-term load forecasting [J].Electric Power Systems Research,2006,76(6/7):525-533.

[7] 徐軍華.電力系統(tǒng)短期負(fù)荷預(yù)測(cè)模型與優(yōu)選的研究[D].成都：四川大學(xué),2004. XU Jun-hua.Research on power system short-term load forecasting model and optimum selsction[D].Chengdu:Sichuan University,2004.

[8] TANG Jian,LUAN Jiahui,LIU Yalong,et al.A novel design of prediction interval for telemetry data [C]// Proceedings of the Annual Reliability and maintainability symposium (RAMS),24-27 January 2011,Lake Buena Vista,FL2011:1-5.

[9] LIU Yu,ZENG De-liang,LIU Ji-zhen,et al.Short-term wind speed forecast based on wavelet packet transform and LS-SVM[C]//Proceedings of the 2012 24th Chinese Control and Decision Conference(CCDC),23-25 May 2012,Taiyuan,China.Sigapore:IEEE Industrial Electronics(IE)Chapter2012:2811-2814.