周亞華

著名的數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為，中學(xué)教育根本的宗旨是教會年輕人思考，掌握數(shù)學(xué)意味著善于解題，不僅善于解一些標(biāo)準(zhǔn)的問題，而且善于解一些要求獨立思考，思路合理，見解獨到和需要創(chuàng)造力的問題。

初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一線教師不難發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中成績中等學(xué)生在新授課時一般都能聽懂老師上課內(nèi)容，對于一些標(biāo)準(zhǔn)問題，也能模仿完成，但需要獨立完成的思考題他們則顯得困難重重，那么如何提高中等學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力呢？

一、重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)新知自主感悟，掌握數(shù)學(xué)思維的規(guī)律性

中等學(xué)生能聽懂新知但不會解能力題，這主要是因為直接從老師或書本那兒被動地不假思索地接受過來的知識，可能很快忘掉，難于成為自己的東西，更難形成解決問題的方法。在新知學(xué)習(xí)中若能由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，理解就深刻，也容易掌握其中的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系。例如：上教版九年級課本“相似三角形”一章中的“平行線分線段成比例定理”即兩條直線被三條平行直線所截，截得的對應(yīng)線段成比例，對于定理的證明教材上給出“標(biāo)準(zhǔn)圖形”（見圖1）的證明，配套的例題也是“標(biāo)準(zhǔn)圖形”下的計算，而中等學(xué)生在練習(xí)中遇到如圖2時，直線l1、l2、l3分別交直線l4于點A、B、C，交直線l5于點D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知AB=3，AC=5，DF=9，求DE、EF的長。他們就束手無策，或試圖通過添輔助線轉(zhuǎn)化成“標(biāo)準(zhǔn)圖形”。為解決此問題，在教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生在證明定理的環(huán)節(jié)中，自主畫出兩條直線被三條平行直線所截時可能出現(xiàn)的除標(biāo)準(zhǔn)圖形外各種不同的位置，見圖3、圖4、圖5，自主感悟平行線分線段成比例定理與三角形一邊平行線性質(zhì)定理及推論的關(guān)系，從而提高解決問題的能力。

“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，學(xué)生解題能力的形成，不僅僅是教師傳授，更是學(xué)生通過親自經(jīng)歷，自主動手、動腦，不斷總結(jié)歸納的結(jié)果，掌握數(shù)學(xué)思維的規(guī)律性。

二、重視數(shù)學(xué)解題過程中類比方法應(yīng)用，增強(qiáng)數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性

學(xué)習(xí)難，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更難，許多人對數(shù)學(xué)望而生畏，大有談虎色變的趨勢，不少人有這樣的經(jīng)歷。一道題，自己總也想不出解法，而別人卻輕而易舉地給出了絕妙的解法，此時你最希望知道的是“你是怎樣想出這個解法？為什么我沒有想到呢？”

例如：2013年黃浦區(qū)中考模擬題第25題如圖6，在梯形ABCD中，AD=BC=10，tan∠ADC= ，E是AD腰上一點，且AE：ED=1：3。（1）當(dāng)AB：CD=1：3時，求梯形ABCD的面積；（2）當(dāng)∠ABE=∠BCE時，求BE線段的長；（3）當(dāng)△BCE是直角三角形時，求邊AB的長。

參考答案見下：

解：（1）作AH⊥CD，垂足為H，

在Rt△ADH中，AD=10，tan∠D= ，

設(shè)AH=4k，DH=3k，則（4k）2+（3k）2=102，

解得k=2，所以AH=4k=8，DH=3k=6，

由等腰梯形ABCD知，CD=AB+12，又AB：CD=1：3，

得AB=6，CD=18，

所以梯形ABCD的面積為S= （AB+CD）·AH=96。

（2）延長BE、CD交于點P，

∵AE：ED=1：3，AB∥CD，

∴BE：EP=1：3，令BE=x，則BP=4x，

∵AB∥CD，

∴∠ABE=∠P，又∠ABE=∠BCE，

∴∠BCE=∠P，又∠CBE=∠PBC，

∴△BCE∽△BPC，

∴ = ，

即x·4x=102，

解得x=5，即BE=5。

（3）設(shè)AB=a，則DP=3a，CP=12+4a，

當(dāng)∠CBE=900時，

在Rt△BCP中，BC=10，tan∠BCP=tan∠ADC= ，

所以BP=10× = ，

CP= = ，

=12+4a，解得a= 。

當(dāng)∠CEB=900時，

過E作底邊CD的垂線，在底邊AB、CD上的垂足分別為M、N，

易知△AME∽△DNE∽△AHD，

∴ME=2，MA= ，EN=6，DN= ，

= ，即 = ，

解得a=- ± （舍負(fù)），

又∵∠BCE<∠BCP<900，

所以當(dāng)△BCE是直角三角形時，AB= 或- + 。

本題第（3）題難度較高，學(xué)生練習(xí)后統(tǒng)計準(zhǔn)確解答的人數(shù)較少，那讓我們一起看一位優(yōu)秀學(xué)生的解答，他在討論∠CBE=900時，添的輔助線是過點E作EF⊥AB，CG⊥AB，形成三個直角三角形，其中兩個直角三角形△EBF∽△BCG相似，這樣討論∠CEB=900時，過E作AB的垂線，可證明同時垂直于CD，也形成三個直角三角形，其中兩個直角三角形相似，把需要分類的兩種不同情況很好地結(jié)合起來。

我們來聽聽他是如何交流的：“我們在學(xué)習(xí)相似三角形時書上有三個直角三角形相似的基本圖形（見課本P36頁，作者注），練習(xí)冊也有類似的題目（見練習(xí)冊P12頁第3題，P14第3題，作者注），利用相似三角形對應(yīng)邊成比例能建立等量關(guān)系，我由此想到了解題方法。”善于歸納和聯(lián)想是他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的法寶，也啟發(fā)當(dāng)我們直接求解困難時要考慮輔助方法，這就需要我們聯(lián)想，我們可以考慮能不能想出一個更容易著手的有關(guān)問題？一個類比的問題？在學(xué)習(xí)幾何新知時，重視基本圖形很重要，在不斷模仿解決問題的步驟和方法，爭取達(dá)到靈活運(yùn)用和創(chuàng)造地解決問題。

正如波利亞指出：解題的價值不是答案，而是弄清是“怎樣想到這個解法”“是什么促使你這樣想，這樣做”，這就是說解題過程是一個思維過程，是一個把知識與問題聯(lián)系起來思考、分析、探索的過程。endprint

三、重視數(shù)學(xué)解題通法的歸納，提升數(shù)學(xué)思維的集中性

在初中教學(xué)中我們還發(fā)現(xiàn)差不多類型的題目，成績中等的學(xué)生往往是會解這一題，但另一題就不會了，而思維靈活的學(xué)生會舉一反三解一類題。這就需要我們在教學(xué)中重視解題中的通法，在學(xué)法指導(dǎo)時除幫助學(xué)生解決手頭的問題，更要培養(yǎng)學(xué)生將來能夠獨立解題的能力。例如：在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)基本要求P109～P111例題3，已知：如圖7，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E是邊CD的中點，點F在邊BC上，EF∥AB。求證：BF= （AD+BC）。

這道例題的作用是復(fù)習(xí)梯形中常用添輔助線的方法。從結(jié)論出發(fā)考慮學(xué)生很容易想到取AB的中點M，聯(lián)結(jié)EM，利用梯形的中位線證明，本題應(yīng)考慮從特殊到一般，重視通法，證明一條線段等于另兩條線段的和，通法是作一條長度等于AD+BC的線段，于是考慮把AD平移到BC相接的位置，可通過聯(lián)結(jié)AE并延長交BC的延長線于G。

再看本題后的一道“想一想”問題：已知：如圖8，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E是邊CD的一點，且DE：EC=1：2，點F在邊BC上，EF∥AB，問BF與AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系是什么？如何證明？此時E不是中點了，但我們有思考線段和差之間的通法，學(xué)生能得出多種證明方法，如類比例題證法，還是聯(lián)結(jié)AE并延長交BC的延長線于G，易證CG=2AD，而FG=2BF，變換易得出BF= （2AD+BC）。另可延長FE、AD交于點M，易證BF=AM，DM= CF，變換也易得出BF= （2AD+BC）。也可以過D作DG∥AB，把AD移到BC上，與BG相等，易證FG= CF，變換易得出結(jié)論。

本題還可以拓展：在梯形ABCD中，AD∥BC，點E是邊CD的一點，且DE：EC=1：m，點F在邊BC上，EF∥AB，問BF與AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系是什么？如何證明？對同一問題不斷拓展，這樣能更好訓(xùn)練思維，要提高中等學(xué)生的思維靈活性，思考問題的方法很重要。

“授人以魚，不如授人以漁”，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是學(xué)生自己體驗、探索、實踐的過程，讓學(xué)生自己去“做”數(shù)學(xué)，“想”數(shù)學(xué)，認(rèn)真體會數(shù)學(xué)的思想與方法。

四、重視學(xué)生解題后自主反思，挖掘數(shù)學(xué)思維的深刻性

數(shù)學(xué)是一門以嚴(yán)密性為主要特征的學(xué)科，要求在解題過程中對推理論證、計算等語言表達(dá)嚴(yán)密、邏輯性強(qiáng)。而中等學(xué)生往往在解題中出現(xiàn)表達(dá)不完整，忽略試題中的限制條件。因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中讓學(xué)生學(xué)會反思解題過程。

例如：已知：x= ，y= ，試用含x的代數(shù)式表示y。

部分學(xué)生的初步解題過程如下：由x= ，

去分母整理得（x+1）k=1-x，

兩邊同除以（x+1），可得k= 。

由y= ，

去分母整理得（3-2y）k=2-3y，

兩邊同除以（3-2y），

可得k= 。

從而可知 = ，

去分母整理得（5x+1）k=5x-1，

兩邊同除以（5x+1），

可得y= 。

引導(dǎo)學(xué)生反思解題過程，提出了四個問題，

（1）（x+1）k=1-x，為什么兩邊可以同除以（x+1）得k= ？

（2）（3-2y）k=2-3y，為什么兩邊同除以（3-2y）得k= ？

（3）（5x+1）k=5x-1，為什么兩邊可以同除以（5x+1）得y= ？

（4）最后式子y= 中是否有限制條件？

學(xué)生自主反思后發(fā)現(xiàn)問題：

（1）當(dāng)x+1=0時，出現(xiàn)0·k=2，此等式不可能成立。所以x≠1。

（2）當(dāng)3-2y=0時，出現(xiàn)0·k=- ，此等式不可能成立。所以3-2y≠0。

（3）由條件y= 可知3-2k≠0，所以k≠ ，

而當(dāng)k= 時，x=- ，所以5x+1≠0。

（4）最后結(jié)y= 論中應(yīng)有限制條件x≠-1。

提高了學(xué)生解題的反思能力，其本質(zhì)是提高了他們的自主學(xué)習(xí)能力，使數(shù)學(xué)成為有趣的事情，這從優(yōu)秀學(xué)生的話語中我們不難發(fā)現(xiàn)，“這道題我驗算過肯定正確！”“太高興了！我發(fā)現(xiàn)了一種更簡便的方法！”當(dāng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有了興趣，相信數(shù)學(xué)的解題會成為思維的體操，成為一種樂趣。

綜上所述，中等水平的學(xué)生雖然對標(biāo)準(zhǔn)、基礎(chǔ)題能解，但對思考題、綜合問題卻難于入手，通過多方面的努力，從數(shù)學(xué)思維出發(fā)，在規(guī)律性、發(fā)散性、集中性、深刻性上做足文章，中等水平學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力的上升空間仍然是很大的。

（作者單位：上海市羅星中學(xué)）endprint

三、重視數(shù)學(xué)解題通法的歸納，提升數(shù)學(xué)思維的集中性

在初中教學(xué)中我們還發(fā)現(xiàn)差不多類型的題目，成績中等的學(xué)生往往是會解這一題，但另一題就不會了，而思維靈活的學(xué)生會舉一反三解一類題。這就需要我們在教學(xué)中重視解題中的通法，在學(xué)法指導(dǎo)時除幫助學(xué)生解決手頭的問題，更要培養(yǎng)學(xué)生將來能夠獨立解題的能力。例如：在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)基本要求P109～P111例題3，已知：如圖7，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E是邊CD的中點，點F在邊BC上，EF∥AB。求證：BF= （AD+BC）。

這道例題的作用是復(fù)習(xí)梯形中常用添輔助線的方法。從結(jié)論出發(fā)考慮學(xué)生很容易想到取AB的中點M，聯(lián)結(jié)EM，利用梯形的中位線證明，本題應(yīng)考慮從特殊到一般，重視通法，證明一條線段等于另兩條線段的和，通法是作一條長度等于AD+BC的線段，于是考慮把AD平移到BC相接的位置，可通過聯(lián)結(jié)AE并延長交BC的延長線于G。

再看本題后的一道“想一想”問題：已知：如圖8，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E是邊CD的一點，且DE：EC=1：2，點F在邊BC上，EF∥AB，問BF與AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系是什么？如何證明？此時E不是中點了，但我們有思考線段和差之間的通法，學(xué)生能得出多種證明方法，如類比例題證法，還是聯(lián)結(jié)AE并延長交BC的延長線于G，易證CG=2AD，而FG=2BF，變換易得出BF= （2AD+BC）。另可延長FE、AD交于點M，易證BF=AM，DM= CF，變換也易得出BF= （2AD+BC）。也可以過D作DG∥AB，把AD移到BC上，與BG相等，易證FG= CF，變換易得出結(jié)論。

本題還可以拓展：在梯形ABCD中，AD∥BC，點E是邊CD的一點，且DE：EC=1：m，點F在邊BC上，EF∥AB，問BF與AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系是什么？如何證明？對同一問題不斷拓展，這樣能更好訓(xùn)練思維，要提高中等學(xué)生的思維靈活性，思考問題的方法很重要。

“授人以魚，不如授人以漁”，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是學(xué)生自己體驗、探索、實踐的過程，讓學(xué)生自己去“做”數(shù)學(xué)，“想”數(shù)學(xué)，認(rèn)真體會數(shù)學(xué)的思想與方法。

四、重視學(xué)生解題后自主反思，挖掘數(shù)學(xué)思維的深刻性

數(shù)學(xué)是一門以嚴(yán)密性為主要特征的學(xué)科，要求在解題過程中對推理論證、計算等語言表達(dá)嚴(yán)密、邏輯性強(qiáng)。而中等學(xué)生往往在解題中出現(xiàn)表達(dá)不完整，忽略試題中的限制條件。因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中讓學(xué)生學(xué)會反思解題過程。

例如：已知：x= ，y= ，試用含x的代數(shù)式表示y。

部分學(xué)生的初步解題過程如下：由x= ，

去分母整理得（x+1）k=1-x，

兩邊同除以（x+1），可得k= 。

由y= ，

去分母整理得（3-2y）k=2-3y，

兩邊同除以（3-2y），

可得k= 。

從而可知 = ，

去分母整理得（5x+1）k=5x-1，

兩邊同除以（5x+1），

可得y= 。

引導(dǎo)學(xué)生反思解題過程，提出了四個問題，

（1）（x+1）k=1-x，為什么兩邊可以同除以（x+1）得k= ？

（2）（3-2y）k=2-3y，為什么兩邊同除以（3-2y）得k= ？

（3）（5x+1）k=5x-1，為什么兩邊可以同除以（5x+1）得y= ？

（4）最后式子y= 中是否有限制條件？

學(xué)生自主反思后發(fā)現(xiàn)問題：

（1）當(dāng)x+1=0時，出現(xiàn)0·k=2，此等式不可能成立。所以x≠1。

（2）當(dāng)3-2y=0時，出現(xiàn)0·k=- ，此等式不可能成立。所以3-2y≠0。

（3）由條件y= 可知3-2k≠0，所以k≠ ，

而當(dāng)k= 時，x=- ，所以5x+1≠0。

（4）最后結(jié)y= 論中應(yīng)有限制條件x≠-1。

提高了學(xué)生解題的反思能力，其本質(zhì)是提高了他們的自主學(xué)習(xí)能力，使數(shù)學(xué)成為有趣的事情，這從優(yōu)秀學(xué)生的話語中我們不難發(fā)現(xiàn)，“這道題我驗算過肯定正確！”“太高興了！我發(fā)現(xiàn)了一種更簡便的方法！”當(dāng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有了興趣，相信數(shù)學(xué)的解題會成為思維的體操，成為一種樂趣。

綜上所述，中等水平的學(xué)生雖然對標(biāo)準(zhǔn)、基礎(chǔ)題能解，但對思考題、綜合問題卻難于入手，通過多方面的努力，從數(shù)學(xué)思維出發(fā)，在規(guī)律性、發(fā)散性、集中性、深刻性上做足文章，中等水平學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力的上升空間仍然是很大的。

（作者單位：上海市羅星中學(xué)）endprint

三、重視數(shù)學(xué)解題通法的歸納，提升數(shù)學(xué)思維的集中性

在初中教學(xué)中我們還發(fā)現(xiàn)差不多類型的題目，成績中等的學(xué)生往往是會解這一題，但另一題就不會了，而思維靈活的學(xué)生會舉一反三解一類題。這就需要我們在教學(xué)中重視解題中的通法，在學(xué)法指導(dǎo)時除幫助學(xué)生解決手頭的問題，更要培養(yǎng)學(xué)生將來能夠獨立解題的能力。例如：在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)基本要求P109～P111例題3，已知：如圖7，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E是邊CD的中點，點F在邊BC上，EF∥AB。求證：BF= （AD+BC）。

這道例題的作用是復(fù)習(xí)梯形中常用添輔助線的方法。從結(jié)論出發(fā)考慮學(xué)生很容易想到取AB的中點M，聯(lián)結(jié)EM，利用梯形的中位線證明，本題應(yīng)考慮從特殊到一般，重視通法，證明一條線段等于另兩條線段的和，通法是作一條長度等于AD+BC的線段，于是考慮把AD平移到BC相接的位置，可通過聯(lián)結(jié)AE并延長交BC的延長線于G。

再看本題后的一道“想一想”問題：已知：如圖8，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E是邊CD的一點，且DE：EC=1：2，點F在邊BC上，EF∥AB，問BF與AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系是什么？如何證明？此時E不是中點了，但我們有思考線段和差之間的通法，學(xué)生能得出多種證明方法，如類比例題證法，還是聯(lián)結(jié)AE并延長交BC的延長線于G，易證CG=2AD，而FG=2BF，變換易得出BF= （2AD+BC）。另可延長FE、AD交于點M，易證BF=AM，DM= CF，變換也易得出BF= （2AD+BC）。也可以過D作DG∥AB，把AD移到BC上，與BG相等，易證FG= CF，變換易得出結(jié)論。

本題還可以拓展：在梯形ABCD中，AD∥BC，點E是邊CD的一點，且DE：EC=1：m，點F在邊BC上，EF∥AB，問BF與AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系是什么？如何證明？對同一問題不斷拓展，這樣能更好訓(xùn)練思維，要提高中等學(xué)生的思維靈活性，思考問題的方法很重要。

“授人以魚，不如授人以漁”，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是學(xué)生自己體驗、探索、實踐的過程，讓學(xué)生自己去“做”數(shù)學(xué)，“想”數(shù)學(xué)，認(rèn)真體會數(shù)學(xué)的思想與方法。

四、重視學(xué)生解題后自主反思，挖掘數(shù)學(xué)思維的深刻性

數(shù)學(xué)是一門以嚴(yán)密性為主要特征的學(xué)科，要求在解題過程中對推理論證、計算等語言表達(dá)嚴(yán)密、邏輯性強(qiáng)。而中等學(xué)生往往在解題中出現(xiàn)表達(dá)不完整，忽略試題中的限制條件。因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中讓學(xué)生學(xué)會反思解題過程。

例如：已知：x= ，y= ，試用含x的代數(shù)式表示y。

部分學(xué)生的初步解題過程如下：由x= ，

去分母整理得（x+1）k=1-x，

兩邊同除以（x+1），可得k= 。

由y= ，

去分母整理得（3-2y）k=2-3y，

兩邊同除以（3-2y），

可得k= 。

從而可知 = ，

去分母整理得（5x+1）k=5x-1，

兩邊同除以（5x+1），

可得y= 。

引導(dǎo)學(xué)生反思解題過程，提出了四個問題，

（1）（x+1）k=1-x，為什么兩邊可以同除以（x+1）得k= ？

（2）（3-2y）k=2-3y，為什么兩邊同除以（3-2y）得k= ？

（3）（5x+1）k=5x-1，為什么兩邊可以同除以（5x+1）得y= ？

（4）最后式子y= 中是否有限制條件？

學(xué)生自主反思后發(fā)現(xiàn)問題：

（1）當(dāng)x+1=0時，出現(xiàn)0·k=2，此等式不可能成立。所以x≠1。

（2）當(dāng)3-2y=0時，出現(xiàn)0·k=- ，此等式不可能成立。所以3-2y≠0。

（3）由條件y= 可知3-2k≠0，所以k≠ ，

而當(dāng)k= 時，x=- ，所以5x+1≠0。

（4）最后結(jié)y= 論中應(yīng)有限制條件x≠-1。

提高了學(xué)生解題的反思能力，其本質(zhì)是提高了他們的自主學(xué)習(xí)能力，使數(shù)學(xué)成為有趣的事情，這從優(yōu)秀學(xué)生的話語中我們不難發(fā)現(xiàn)，“這道題我驗算過肯定正確！”“太高興了！我發(fā)現(xiàn)了一種更簡便的方法！”當(dāng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有了興趣，相信數(shù)學(xué)的解題會成為思維的體操，成為一種樂趣。

綜上所述，中等水平的學(xué)生雖然對標(biāo)準(zhǔn)、基礎(chǔ)題能解，但對思考題、綜合問題卻難于入手，通過多方面的努力，從數(shù)學(xué)思維出發(fā)，在規(guī)律性、發(fā)散性、集中性、深刻性上做足文章，中等水平學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力的上升空間仍然是很大的。

（作者單位：上海市羅星中學(xué)）endprint