【摘要】本文分別利用 Euler Perdersen 兩種方法對CIR利率模型進行參數(shù)估計。

【關(guān)鍵詞】利率模型 Euler格式 模擬似然函數(shù)

一、背景介紹

隨機微分方程被廣泛應(yīng)用于金融，物理，生物等領(lǐng)域。然而在數(shù)學(xué)建模的時候我們假定是連續(xù)時間模型但是在實際應(yīng)用的時候觀測的數(shù)據(jù)是離散的數(shù)據(jù)。同時，隨機微分方程的漂移項和擴散項收斂速率不一樣，以上種種原因，加上問題本身在經(jīng)濟金融中的重要性，使得隨機微分方程的參數(shù)估計統(tǒng)計推斷成為了統(tǒng)計中很熱門的一個方向。統(tǒng)計中的很多方法也可以應(yīng)用到這個方向上，在實際使用中我們主要依據(jù)不同的要求使用不同的方法，本文只使用兩種最基本的方法估計Shibor利率。

一般而言一個單因子利率模型可以寫成下述隨機微分方程的形式：

如果他的轉(zhuǎn)移概率密度有顯示的表達式的話，就可以直接寫出他的似然函數(shù)，然后使用數(shù)值的方法估計出參數(shù)。然而，不幸的是，這種情況非常罕見。

估計（1.1）式的難點在于漂移項和擴散項的收斂速度不一樣，這樣一來，一項估計的較精確，另一項就會相對表現(xiàn)較差。利率模型的重要性和上述估計的困難，吸引了大量的統(tǒng)計學(xué)家從事這一領(lǐng)域，而事實上大量的統(tǒng)計方法也確實可以用在這一領(lǐng)域中。本文使用Euler Perdersen 兩種方法估計Shibor 3M 利率，時間從2012年3M數(shù)據(jù)（共249個數(shù)據(jù)）。

二、估計方法

（一）Euler 法

Euler 法是基本的參數(shù)估計方法，因為他在原理上的簡潔性，在實際中也得到了很多應(yīng)用。Euler法在時間間隔較小的時候比較精確，但是一旦時間間隔過大，效果就很不好。此外，對時間間隔和擴散項也有一些要求，就不一一列舉了。設(shè)隨機微分方程形式為，那么用Euler格式將其

在區(qū)間離散化。如果足夠小，那么。據(jù)此可以寫出似然函數(shù)。

（二）Perdersen 模擬似然函數(shù)方法

Pedersen ，A，R（1995）的方法思想上比較巧妙。上述Euler法在時間間隔比較短的情況下較為好用，但是假設(shè)一個區(qū)間太長，比如是月度數(shù)據(jù)的話，估計結(jié)果就會很不精確。結(jié)局的辦法是再把區(qū)間分成N份（一般取N=5效果就足夠好了），先用Euler 離散的格式走到第四個點，然后再用第四個點到終點兩個點的值應(yīng)用（1，1）式的離散形式，這樣就完成了一次抽樣。設(shè)完成M次抽樣，一般M=10000。最后一段轉(zhuǎn)移密度的值用。計算，再把這些轉(zhuǎn)移密度的值做平均，即得到一個的轉(zhuǎn)移密度的替代值值，因為并不是真正的轉(zhuǎn)移密度值，所以這也是一種QMLE的方法。這樣一來，最后一步的轉(zhuǎn)移密度的Monte Carlo表達式可以寫成。我們注意到實際的循環(huán)次數(shù)是非常多的。假設(shè)有251個觀測數(shù)據(jù)，那么有250個，那么最少需要有

250100004=1e+07次計算。那么不難理解為什么有非常多的工作致力于用一些方差縮減技術(shù)提高抽樣精度，減少抽樣次數(shù)。

三、估計結(jié)果

我們估計下列簡單的CIR模型的參數(shù)：

四、結(jié)論

Euler 法簡潔有效，而Perdersen的方法如果M不是取得足夠大的話反而會不精確。而且Perdersen的方法非常耗時間。--一般的電腦配置，一年250個數(shù)據(jù)，取M = 10000的話大概要算8個小時。所以要滿足即時報價的要求的話，Perdersen的方法是很難做到的。當然，以上的兩種方法是最基礎(chǔ)的方法，事實上 ，計量中比較有代表新的估計方法都可以應(yīng)用到隨機利率模型的參數(shù)估計之中。那么，已經(jīng)有那么多種估計，為什么還要研究隨機微分方程的參數(shù)估計呢，主要的原因在于隨機微分方程的漂移項與擴散項的收斂速度不一樣，換言之，一個的信息會干擾另一個的信息，一項估計的準確，另一項就會不準確。然而實際的使用上又是離散的觀測值，所以這個問題一直是熱門的問題。

五、展望

現(xiàn)在的研究幾種在多維，帶跳的過程，Levy過程。其中數(shù)值方法應(yīng)用與帶跳的隨機微分方程的文獻一直較少，不過最近Eckhard Platen 出了一本專著Numerical Solution of Stochastic Differential Equations with Jumps in Finance ?？梢宰鳛檠芯康钠瘘c，但是要在高維滿足簡潔精確快速地要求一方面是大量的問題，另一方面是嚴峻的挑戰(zhàn)。

參考文獻

[1] SM Iacus.Simulation and inference for stochastic differential equations： with R examples [J]. Springer，2009.

[2] SM Iacus.Option Pricing and Estimation of Financial Models with R[J]. Wiley，2011.

[3] BLSP Rao.Statistical inference for diffusion type processes[J]. Wiley，1999.

作者簡介：張睿（1982-），四川成都人，漢族，西南財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院，碩士研究生，研究方向：金融數(shù)量分析。

（編輯：陳岑）