【摘要】期權(quán)作為最基礎(chǔ)的金融衍生產(chǎn)品之一，為其定價(jià)一直是金融工程的重要研究領(lǐng)域。主要使用的定價(jià)方法有偏微分方程法、鞅方法和數(shù)值方法。而數(shù)值方法又包括了二叉樹(shù)方法、有限差分法和蒙特卡洛模擬方法。本文就是探討蒙特卡羅方法在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】期權(quán)定價(jià) 蒙特卡羅模擬 R軟件

一、前言

期權(quán)作為最基礎(chǔ)的金融衍生產(chǎn)品之一，為其定價(jià)一直是金融工程的重要研究領(lǐng)域。20世紀(jì)70年代以來(lái)，伴隨著期權(quán)市場(chǎng)的迅速發(fā)展，期權(quán)定價(jià)理論的研究取得了突破性進(jìn)展。第一個(gè)完整的期權(quán)定價(jià)模型由布萊克（Fisher Black）和斯科爾斯（Myron Scholes）創(chuàng)立并于1973年公之于世。在基本假設(shè)條件下他們推導(dǎo)出了Black-Scholes微分方程及期權(quán)定價(jià)公式。在此基礎(chǔ)上很多學(xué)者對(duì)基本假設(shè)條件逐一進(jìn)行放寬，提出了許多修正模型：如Hull和White的隨機(jī)波動(dòng)率模型，Hoggard、Whalley和Wilmott提出的考慮交易成本的期權(quán)組合定價(jià)模型，Merton的跳躍擴(kuò)散模型等。在這些模型中，我們可以得到期權(quán)價(jià)值所滿足的偏微分方程，從而解出精確的期權(quán)解析定價(jià)公式。但是，在許多情況下要想得到期權(quán)價(jià)值的解析卻是做不到的。這時(shí)就需要借助數(shù)值算法，蒙特卡羅模擬法就是應(yīng)用最為廣泛的數(shù)值算法之一。本文就是探討該方法在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用。

二、蒙特卡羅模擬的基本思路及其實(shí)現(xiàn)

（一）基本思路

期權(quán)定價(jià)的蒙特卡洛方法的理論依據(jù)是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，理論基礎(chǔ)是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，其實(shí)質(zhì)是通過(guò)模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格路徑預(yù)測(cè)期權(quán)的平均回報(bào)并得到期權(quán)價(jià)格估計(jì)值。一般地，期權(quán)定價(jià)的蒙特卡洛模擬方法包含以下幾步（以歐式看漲期權(quán)為例）：

1.在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下模擬標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格從初始時(shí)刻開(kāi)始至到期日止的一條隨機(jī)路徑。

2.計(jì)算在這條路徑下期權(quán)的到期回報(bào)，并根據(jù)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率求得回報(bào)的貼現(xiàn)。

3.重復(fù)前兩步，得到大量期權(quán)回報(bào)貼現(xiàn)值的抽樣樣本。

4.求樣本均值，得到期權(quán)價(jià)格的蒙特卡洛模擬值。

（二）軟件實(shí)現(xiàn)

1.實(shí)現(xiàn)過(guò)程

表示資產(chǎn)在期權(quán)簽約日的價(jià)格，表示初始時(shí)刻，表示期權(quán)到期日，表示持有期，表示時(shí)間間隔，將持有期分成個(gè)相等的時(shí)段，則，表示標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)間的價(jià)格，表示經(jīng)過(guò)時(shí)間間隔后標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格。

從資產(chǎn)在期權(quán)簽約日的價(jià)格起，重復(fù)利用式（2）次可得資產(chǎn)在期權(quán)到期日的一個(gè)價(jià)格。在的基礎(chǔ)上利用可以計(jì)算得到期權(quán)在到期日的一個(gè)價(jià)值。這樣，重復(fù)模擬次可獲得個(gè)可能的期權(quán)價(jià)值，最后取。

2.應(yīng)用實(shí)例

本文選取樣本股票為瀘州老窖（000568），模擬其1個(gè)月、3個(gè)月和6個(gè)月之后的期權(quán)價(jià)格，首先需要計(jì)算股票的月收益率方差，為此選擇樣本區(qū)間為2011年4月1日—2013年5月31日，在軟件中將周期選擇為月線，我們得到這26個(gè)月的收盤(pán)價(jià)，通過(guò)公式：當(dāng)前周期的收益率=（當(dāng)前周期的收盤(pán)價(jià)-上一周期的收盤(pán)價(jià)）/上個(gè)周期的收盤(pán)價(jià)，計(jì)算出收益率，從而得到收益率的方差。各指標(biāo)值分別如下：

3.模擬結(jié)果

（1）歐式期權(quán)

通過(guò)模擬計(jì)算，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格如表1。

通過(guò)模擬計(jì)算，歐式看跌期權(quán)的價(jià)格如表2。

（2）美式期權(quán)

運(yùn)用最小二乘蒙特卡羅模擬方法為美式期權(quán)定價(jià)的基本原理與蒙特卡羅模擬方法基本相同，并且用最小二乘回歸同時(shí)還可解決各樣本時(shí)點(diǎn)上繼續(xù)持有期權(quán)價(jià)值的確定和各樣本路徑的最優(yōu)停時(shí)的確定。其基本思路是：在期權(quán)的有效期內(nèi)，將其標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程離散化，隨機(jī)模擬出標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的多條樣本路徑，從而得到每個(gè)時(shí)刻資產(chǎn)價(jià)格的截面數(shù)據(jù)。選取以某時(shí)刻資產(chǎn)價(jià)格為變量的一組基函數(shù)作為解釋變量，下一時(shí)刻期權(quán)價(jià)值的貼現(xiàn)值作為被解釋變量，進(jìn)行最小二乘法回歸求得該時(shí)刻期權(quán)的持有價(jià)值，并與該時(shí)刻期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值作比較，若后者較大，則應(yīng)該立即執(zhí)行期權(quán)，否則，就應(yīng)繼續(xù)持有期權(quán)。

最小二乘蒙特卡羅模擬方法定價(jià)的基本實(shí)現(xiàn)步驟：首先，隨機(jī)生成標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的多條樣本路徑；然后，從到期時(shí)刻逆向求解，比較期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值與持有價(jià)值，確定出各時(shí)刻期權(quán)價(jià)值和每條樣本路徑的最優(yōu)停時(shí)；最后，將所有樣本的的期權(quán)價(jià)值求取按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的算數(shù)平均值便是模擬的期權(quán)價(jià)值。

通過(guò)不斷地迭代回歸，我們可以得到各個(gè)時(shí)期的期權(quán)價(jià)格

三、總結(jié)

1.期權(quán)定價(jià)的蒙特卡羅方法的理論依據(jù)是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，理論基礎(chǔ)是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，其實(shí)質(zhì)是通過(guò)模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格路徑預(yù)測(cè)期權(quán)的平均回報(bào)并得到期權(quán)價(jià)格估計(jì)值。蒙特卡羅模擬方法可以用在那些依賴(lài)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變量的期權(quán)定價(jià)中。

2.運(yùn)用蒙特卡羅模擬時(shí)值得注意的是：通過(guò)增加模擬的次數(shù)或者縮短標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng)的時(shí)間步長(zhǎng)可以提高估計(jì)的精度。

3.為了提高蒙特卡羅模擬精度需要進(jìn)行大量的模擬運(yùn)算，為了平衡精度和運(yùn)算量，我們可以通過(guò)邊際模擬價(jià)值來(lái)判斷是否結(jié)束運(yùn)算。如果邊際價(jià)值近似為0，這時(shí)的模擬次數(shù)就作為最佳的蒙特卡羅模擬次數(shù)（邊際模擬價(jià)值=期權(quán)價(jià)值的變動(dòng)度/每1000次模擬）。

參考文獻(xiàn)

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[3]薛毅，等.統(tǒng)計(jì)建模與R軟件[M].北京：清華大學(xué)出版社，2007.

作者簡(jiǎn)介：原少斌，男，山西運(yùn)城人，蘭州商學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)專(zhuān)業(yè)，研究生；廖化敏，女，重慶江津人，蘭州商學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)專(zhuān)業(yè)，研究生。

（編輯：劉影）