【摘要】以Black-Scholes模型為開(kāi)端，現(xiàn)代期權(quán)定價(jià)理論已經(jīng)擁有了近40年的歷史。隨著現(xiàn)代金融市場(chǎng)的發(fā)展，市場(chǎng)上創(chuàng)造了很多更為復(fù)雜的期權(quán)產(chǎn)品，而且隨著股票、債券、外匯和期貨市場(chǎng)的發(fā)展，以其為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)產(chǎn)品也在收益率和價(jià)格上發(fā)生了變化。本文根據(jù)不同期權(quán)產(chǎn)品的基本特征，分析并研究目前存在的定價(jià)理論方法以及存在的問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】期權(quán) 定價(jià)模型 布朗運(yùn)動(dòng) 維納過(guò)程 BS模型

一、引言

期權(quán)是一種金融衍生工具，期權(quán)最主要的特征是賦予期權(quán)的購(gòu)買者一種交易或者操作的權(quán)利，在滿足一定條件或者發(fā)生某種具體事件時(shí)，期權(quán)的買方通過(guò)執(zhí)行權(quán)力可以轉(zhuǎn)移風(fēng)險(xiǎn)或者獲利。

期權(quán)不僅包括以金融資產(chǎn)為標(biāo)的資產(chǎn)并在公開(kāi)市場(chǎng)交易的期權(quán)，也包括以實(shí)物資產(chǎn)為標(biāo)的物的實(shí)物期權(quán)和以期權(quán)為標(biāo)的資產(chǎn)的復(fù)合期權(quán)。但是，實(shí)物期權(quán)是一種不可交易的、依附于實(shí)體投資的選擇權(quán)，分析投資決策過(guò)程中的重要因素，會(huì)顯著地影響實(shí)物投資未來(lái)收益狀況。

在分析期權(quán)定價(jià)問(wèn)題之前，首先需要認(rèn)識(shí)目前存在的期權(quán)產(chǎn)品，因?yàn)椴煌再|(zhì)的期權(quán)擁有不同的價(jià)格分布、風(fēng)險(xiǎn)特征、波動(dòng)率交易規(guī)則和偏差率等問(wèn)題。由于不同的期權(quán)行權(quán)條件、到期標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格計(jì)算方式、期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)種類以及權(quán)利性質(zhì)是不同的，因此，在期權(quán)定價(jià)問(wèn)題上目前的學(xué)者都是根據(jù)具體期權(quán)的性質(zhì)和特征，并尋找可以復(fù)制或者描述該具體期權(quán)價(jià)格分布、波動(dòng)性或者收益率變動(dòng)的數(shù)學(xué)模型或者資產(chǎn)組合，最后通過(guò)合成投資組合或者數(shù)學(xué)模型加以計(jì)算期權(quán)的價(jià)格和價(jià)格變化軌跡。

二、Black-Scholes模型

1973年布萊克和斯科爾斯推導(dǎo)出以無(wú)股利支付的股票為標(biāo)的資產(chǎn)的歐式期權(quán)的定價(jià)模型。該模型假設(shè)：（1）期權(quán)為歐式期權(quán)；（2）期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)的收益率服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布；（3）在期權(quán)有效期內(nèi)，標(biāo)的資產(chǎn)不支付股利；（4）市場(chǎng)是無(wú)摩擦的，不存在交易費(fèi)用、稅收、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；（5）無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率和標(biāo)的資產(chǎn)收益率的變量是恒定的；（6）市場(chǎng)交易是連續(xù)的，不存在間斷性和跳躍性特征；（7）標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率為恒定值；（8）標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即：，其中表示股票的在t時(shí)間的價(jià)格，和分別表示股票的波動(dòng)率和預(yù)期收益率，表示標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

BS模型的基本思路是：影響標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的各種不確定因素也會(huì)對(duì)以該資產(chǎn)為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)產(chǎn)生影響，在標(biāo)的資產(chǎn)和期權(quán)都服從維納過(guò)程（布朗運(yùn)動(dòng)）的條件下，通過(guò)建立期權(quán)和標(biāo)的資產(chǎn)的適當(dāng)頭寸的投資組合，用以抵消連續(xù)時(shí)間隨機(jī)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，則投資組合實(shí)現(xiàn)不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)和零風(fēng)險(xiǎn)，收益率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率。BS模型微分方程為：

BS模型是現(xiàn)代金融期權(quán)定價(jià)模型的基礎(chǔ)，之后所提出的期權(quán)模型有些是根據(jù)對(duì)BS模型假設(shè)的修改，從新推導(dǎo)新的期權(quán)定價(jià)模型，或者是根據(jù)具體期權(quán)的性質(zhì)從新的思路和方法中分析具體期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題。

三、蒙特卡洛模擬法

由于解析法的數(shù)學(xué)模型擁有十分嚴(yán)格的假設(shè)條件，因此很多期權(quán)產(chǎn)品受到標(biāo)的資產(chǎn)種類、交易規(guī)則、執(zhí)行價(jià)格決定方式等的限制，使用數(shù)學(xué)模型求解期權(quán)價(jià)格可能存在很大的誤差，甚至是錯(cuò)誤的。為了避免使用數(shù)學(xué)模型估計(jì)期權(quán)價(jià)格所面對(duì)的維數(shù)問(wèn)題和收斂問(wèn)題，可以通過(guò)多次運(yùn)算進(jìn)行大數(shù)統(tǒng)計(jì)的方法求解期權(quán)平均價(jià)格和期望值。

Monte Carlo模擬法是一種統(tǒng)計(jì)與概率論相結(jié)合的綜合性計(jì)算方法。蒙特卡洛模擬法的基本思路是：在風(fēng)險(xiǎn)中性的假設(shè)前提下，通過(guò)已知的標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格分布函數(shù)，將期權(quán)的有效期平均分割成若干的小時(shí)間段，在每個(gè)小時(shí)間段通過(guò)計(jì)算機(jī)對(duì)已知的分布函數(shù)進(jìn)行隨機(jī)抽樣用來(lái)模擬標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格可能的走勢(shì)，再根據(jù)一定的數(shù)學(xué)方法計(jì)算期權(quán)的最終價(jià)值，利用具體的收益率進(jìn)行折現(xiàn)計(jì)算期權(quán)的當(dāng)期價(jià)值，將此次計(jì)算出的當(dāng)期價(jià)值作為期權(quán)價(jià)格的一個(gè)樣本，不斷地重復(fù)以上的計(jì)算步驟，求解更多可能的期權(quán)價(jià)格隨機(jī)樣本數(shù)值，重復(fù)至少幾千次同樣的運(yùn)算步驟，在根據(jù)求得的期權(quán)價(jià)格隨機(jī)樣本數(shù)值計(jì)算算術(shù)平均值，求得期權(quán)的平均價(jià)格。

蒙特卡洛模擬法在歐式期權(quán)定價(jià)方面的使用上，因?yàn)闅W式期權(quán)只有在到期日才可以執(zhí)行，因此按照以上提出的思路，計(jì)算出從期權(quán)發(fā)行日到期權(quán)到期日的時(shí)間內(nèi)各個(gè)小時(shí)間段的收盤價(jià)，并根據(jù)執(zhí)行價(jià)格和到期收盤價(jià)的差值計(jì)算期權(quán)的到期價(jià)值。數(shù)學(xué)表達(dá)為：假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)服從風(fēng)險(xiǎn)中性的幾何布朗運(yùn)動(dòng)，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的微分方程為，設(shè)Z是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)樣本，如果整個(gè)時(shí)間段被分隔成，根據(jù)伊藤定理標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格公式為，所以是服從均值為方差為的正態(tài)分布，通過(guò)隨機(jī)抽樣模擬標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格走勢(shì)，按照或者的原則確定買入期權(quán)或者賣出期權(quán)的價(jià)值，最后根據(jù)折現(xiàn)后的期權(quán)價(jià)值現(xiàn)值或者，計(jì)算算術(shù)平均值或者以確定期權(quán)的當(dāng)期價(jià)格。亞式期權(quán)定價(jià)與歐式期權(quán)基本相同，但是在確定執(zhí)行價(jià)格時(shí)，要依靠整個(gè)模擬過(guò)程的價(jià)格走勢(shì)來(lái)計(jì)算執(zhí)行價(jià)格。

美式期權(quán)可以在整個(gè)期權(quán)有效期內(nèi)的任何時(shí)間執(zhí)行， Longstaff和Schwartz（2000）提出利用最小二乘蒙特卡洛模擬法。在使用蒙特卡洛模擬法計(jì)算美式期權(quán)價(jià)格時(shí)，一般來(lái)說(shuō)引入收益率概念，通過(guò)比較持有期權(quán)的收益率和執(zhí)行期權(quán)的收益率，判斷是否執(zhí)行期權(quán)。利用最小二乘法求解持有期權(quán)的期望收益的系數(shù)，收益率的期望數(shù)方程為，需要通過(guò)模擬的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格走勢(shì)進(jìn)行逆向求解的方式獲得。

在確定蒙特卡洛模擬法的模擬次數(shù)的時(shí)候，需要平衡運(yùn)算量和期權(quán)價(jià)格準(zhǔn)確性，保證最有模擬次數(shù)。可以引入邊際模擬價(jià)值概念來(lái)決定最優(yōu)的模擬次數(shù)，公式為：，當(dāng)邊際模擬價(jià)值接近或等于0時(shí)，表明此時(shí)的模擬次數(shù)是最優(yōu)的。

四、二叉樹(shù)模型

二叉樹(shù)模型是由Cox、Ross和Rubinstein在1979年提出的，二叉樹(shù)模型與蒙特卡洛模擬法一樣，是一種確定期權(quán)價(jià)格的數(shù)值法。本質(zhì)是通過(guò)預(yù)測(cè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)方向和價(jià)格，根據(jù)概率和風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)，得到具體期權(quán)的預(yù)期價(jià)值，通過(guò)逆推方法得到期權(quán)的當(dāng)前價(jià)格。

建立二叉樹(shù)模型的基本思路是通過(guò)將期權(quán)的有效期分割成若干個(gè)小的時(shí)間段，設(shè)定價(jià)格上升和下降的幅度，再根據(jù)假設(shè)的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)的微分方程，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性原則計(jì)算價(jià)格上下變動(dòng)的概率，之后計(jì)算期權(quán)有效期所有時(shí)間段的可能價(jià)格。如果期權(quán)是歐式期權(quán)則考慮到期日日時(shí)的價(jià)格并計(jì)算期權(quán)價(jià)值，在通過(guò)折現(xiàn)求解期權(quán)的當(dāng)前價(jià)格；如果期權(quán)是美式期權(quán)，則在每個(gè)價(jià)格點(diǎn)上計(jì)算期權(quán)的當(dāng)期價(jià)值， 在t時(shí)刻如果期權(quán)價(jià)值大于0則執(zhí)行期權(quán)，如果期權(quán)小于0則放棄執(zhí)行，使用具體的收益率進(jìn)行折現(xiàn)，使用具體的概率值求解期望值，從而得到期權(quán)在t-1時(shí)刻的價(jià)值，重復(fù)以上步驟直到當(dāng)前時(shí)刻，得到期權(quán)的當(dāng)期價(jià)格。數(shù)學(xué)模型表達(dá)為：一個(gè)美式買入期權(quán)當(dāng)前標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為執(zhí)行價(jià)格為X有效期為T，將期權(quán)的有效期分割為n個(gè)小時(shí)間段，期權(quán)的價(jià)格只按照u上漲或者按照d下降，第1期買入期權(quán)價(jià)值為 ，且 ，以此類推直至第n期的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格并且計(jì)算美式買入期權(quán)的價(jià)值，建立買入標(biāo)的資產(chǎn)和賣出美式買入期權(quán)的投資組合，在無(wú)套利原則下無(wú)論標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格如何變動(dòng)，投資組合的收益率始終是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，公式表達(dá)為 且 ，以此計(jì)算對(duì)沖比例值，根據(jù)方程組計(jì)算上升的概率和下降的概率，計(jì)算結(jié)果為，再延伸至n期的定價(jià)模型中，美式買入期權(quán)的定價(jià)公式為。美式賣出期權(quán)的定價(jià)思路與美式買入期權(quán)的定價(jià)思路是一樣的，但是在確定賣出期權(quán)的價(jià)值時(shí)需要注意確定原則是，此外計(jì)算方法和上升下降的概率公式是一樣的。

五、其他期權(quán)定價(jià)模型

目前，隨著數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、心理學(xué)等學(xué)科的發(fā)展，更多其他專業(yè)的研究成果被應(yīng)用到期權(quán)定價(jià)問(wèn)題的研究上，極大地豐富了期權(quán)定價(jià)領(lǐng)域的內(nèi)容。但是，現(xiàn)實(shí)中各個(gè)國(guó)家的金融市場(chǎng)受到本國(guó)國(guó)家發(fā)展的影響，有些國(guó)家的期權(quán)市場(chǎng)很難實(shí)現(xiàn)經(jīng)典模型中所要求的“復(fù)制”，從而造成使用風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)、不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利投資組合原則的經(jīng)典期權(quán)定價(jià)模型實(shí)用性降低。

金融市場(chǎng)作為一個(gè)綜合性多層次的交易環(huán)境，市場(chǎng)中所有的組成要素都在隨時(shí)隨地發(fā)生變化，傳統(tǒng)的線性模型經(jīng)常無(wú)法滿足現(xiàn)實(shí)中金融市場(chǎng)的條件。在期權(quán)定價(jià)領(lǐng)域中，目前最為普遍使用的非線性模型就是基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的期權(quán)定價(jià)模型。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)生物的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行模擬，神經(jīng)元作為基本的計(jì)算單位，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的信息處理由網(wǎng)絡(luò)單元的輸入輸出、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)所決定的一個(gè)典型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)由輸入層、隱含層和輸出層組成，如圖所示：

如果想要獲得所預(yù)期的結(jié)果，就必須經(jīng)過(guò)訓(xùn)練，每條連接的弧線都有自身相應(yīng)的權(quán)重，學(xué)習(xí)導(dǎo)致弧線的權(quán)重?cái)?shù)值變化，從而影響實(shí)際輸入和預(yù)期輸出之間的誤差。輸入和輸出之間存在一個(gè)激活函數(shù)，輸入值是激活函數(shù)自變量的函數(shù)，即：；輸出結(jié)果是激活函數(shù)因變量，即：，并且存在反饋效應(yīng)。描述期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建定價(jià)模型中的參數(shù)的混合密度網(wǎng)絡(luò)，并基于參數(shù)的混合分布計(jì)算一段時(shí)間后標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，進(jìn)而確定期權(quán)的價(jià)值。

六、結(jié)尾語(yǔ)

現(xiàn)代金融學(xué)，金融資產(chǎn)的定價(jià)理論是以無(wú)套利定價(jià)原則和投資組合復(fù)制原則為基礎(chǔ)發(fā)展起來(lái)的。未來(lái)在金融工具定價(jià)的問(wèn)題上，需要不斷引入更多其他學(xué)術(shù)領(lǐng)域的研究成果用以幫助定價(jià)理論的發(fā)展，再者更需要尋找除了無(wú)套利原則和投資組合復(fù)制原則以外的其他定價(jià)模型推導(dǎo)的原則，深入研究金融市場(chǎng)的特征和與產(chǎn)品市場(chǎng)、甚至政府之間的關(guān)聯(lián)，在模型使用上擴(kuò)大涉及的范圍，在原則上更加貼近現(xiàn)實(shí)需要。

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基金項(xiàng)目：北京市屬高校人才強(qiáng)教深化計(jì)劃——中青年骨干教師培養(yǎng)計(jì)劃（2013），項(xiàng)目代碼00491362340122

作者簡(jiǎn)介：淮濤（1989-），男，漢族，安徽人，就讀于首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，研究方向：國(guó)民經(jīng)濟(jì)學(xué)。

（編輯：劉婷婷）